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专题01 空间向量在立体几何中的应用


立体几何

空间向量在立体 几何中的应用

平面向量复习
一.基本知识
? 一组概念
1.定义:既有大小又有方向的量 注:向量可以平行移动,与起点位置无关 2. 两个特殊向量:零向量与单位向量 3. 两个向量之间的关系: (1)平行向量(也称共线向量): 方向相同或相反的二个向量 规定零向量与任意向量平行

(2)相等向量: 大小相等,方向相同的两个向量 (3)垂直向量: 夹角是90o的两个向量 4. 向量的坐标: 有且只有一对实数x、y,使得

? ? ? a ? xi ? yj

则(x,y)叫做向量a的坐标.

? i ? ?1,0?

? j ? ?0,1?

? 0 ? ?0,0?

5. 向量的模: 向量的大小或长度


? a ? ?x, y ?

,则

? 2 2 a ? x ?y

? ? 已知两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a, OB ? b , ? ? 0 0 则 ?AOB ? ? (0 ? ? ? 180 ) 叫做向量 a 与b 的夹角.
cos ? ? a ?b | a ?b |

6. 向量的夹角: 向量夹角的范围[0,π]

7. b 在

a 方向上的投影: ? b cos? 叫做 b 在 a 方向上的投影

? 四种运算
1. 加法运算:
?

?

(1)三角形法则:

a
?

b
?

首尾相接

a? b
?

?

(2)平行四边形法则:

a a? b
?

?

起点相同

b

(3) 向量加法满足的运算律:交换律和结合律 ? 坐标运算

a ? ( x1, y1 ),b ? ( x2 , y2 )

a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?

2. 减法运算: (1)三角形法则:
?

a
?

?

a? b

?

相同起点

b
? 坐标运算

a ? ( x1, y1 ),b ? ( x2 , y2 )

a ? b ? ?x1 ? x2 , y1 ? y2 ?

3.实数与向量的积: (1)定义:

?a ? ? a

(2) 当? ? 0 时, a 的方向与 a 的方向相同; ? 当? ? 0 时, a 的方向与 a 的方向相反; ? 特别地,当 ? ? 0 或 a ? 0 时, a ? 0 ? ? 坐标运算

a ? ( x1 , y1 )

? a ? ??x1 , ?y1 ?

? 运算律: 设a,b为任意向量,λ,μ为任意实数,则有:

? ? ? ??a ? ? ??? ?a ? ? ? ?? ? ? ?a ? ?a ? ?a

? ? ? ? ? a ? b ? ?a ? ?b

?

?

4.平面向量的数量积: 定义:

? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b cos? (?为a与b 的夹角 )

? ? ? 几何意义: a 与b 在a方向上投影的乘积
运算律: 分配律、交换律、 数乘结合律

数量积的性质:

? ? ? ? a ? b ? a ?b ? 0

? ? ?2 ? 2 a ? a ? a ?| a |

? ? a ?b cos? ? ? ? | a |?| b |

? 坐标运算

a ? ( x1, y1 ),b ? ( x2 , y2 )

? a ? b ? x1 x2 ? y1 y2

? 五个结论

1.平面向量基本定理
若 e1 , e2 是平面上两个不共线向量,则此平面上的任意 一个向量 a 均可表示为下列形式:
? ?

a ? ?1 e1 ? ?2 e2

2、向量共线定理:

a // b ? a ? ?b
a ? ?x1, y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?, a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

3.向量垂直定理:

a ? b ? a ?b ? 0
a ? ?x1, y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?,

a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0

4.距离公式:
a ? ?x1, y1 ?, b ? ?x2 , y2 ?,

| AB |? ( x2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 )
2

2

???? ? ???? 设P ? x, y ? , P ? x1 , y1 ? , P ? x2 , y2 ? , 且PP ? ? PP2 , 则 1 2 1

5.线段的定比分点公式:

x1 ? ?x 2 ? ?x ? 1? ? ? y1 ? ? y2 ?y? 1? ? ?

中 点 坐 标 公 式

x1 ? x2 ? ?x ? ? 2 ? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

空间向量
一.基本概念
1、空间直角坐标系
D' A' B' z C'

O ? xyz
右手直角坐标系

O
C A

y

B

x O为坐标原点, x轴,y轴,z轴叫坐标轴,通过每两个坐标轴的平 面叫坐标平面

2、空间直角坐标系中点的坐标 有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标 系中的坐标,记作M(x,y,z)其中x叫做点M的横

坐标,y叫做点M的纵坐标, z叫做点M的竖坐标

点M

(x,y,z)

3、直线的方向向量
? ? ? 若a // l, 则称a是直线l 的方向向量

4、平面的法向量

如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于
平面α,称这个向量垂直于平面α,记作n⊥α,这时向 量n叫做平面α的法向量. α

n

? ?

5、平面法向量的求法

设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面α内的两个不共
线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若 n⊥a且n⊥b,则n⊥α.换句话说,若n· = 0且n· = 0, a b 则n⊥α.可按如下步骤求出平面的法向量的坐标

1、假设平面法向量的坐标为n=(x,y,z) 2、根据n· = 0且n· = 0可列出方程组 a b

n b

? x1 x ? y1 y ? z1 z ? 0 ? ? x2 x ? y2 y ? z2 z ? 0

a

3、取某一个变量为常数(当然取得越简单越好), 便得到平面法向量n的坐标.

例:已知A(2,1,1),B(-2,7,0),C(6,4,-1).求平面ABC的法向量 解:平面ABC的法向量为:

? n ? ?x, y, z ?

AB ? ?? 4,6,?1?, AC ? ?4,3,?2?
? 4x ? 6 y ? z ? 0 ?z ? 4 x 得 ? ? ?4 x ? 3 y ? 2 z ? 0 ?z ? 3y ? n ? ?3,4,12? 令z ? 12 ? ?平面ABC的法向量 n ? (3, 4,12)

5、两法向量所成的角与二面角的关系

n1

?
l

n2
?

n1

?
l

n2
?

设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法向量,

由几何知识可知,二面角α-L-β的大小与法向量n1 、
n2夹角相等或互补,于是求二面角的大小可转化 为求两个平面法向量的夹角

二.基本公式
1、两点间的距离公式(线段的长度)

AB ? AB ?

?x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ?z2 ? z1 ?
2 2

2

2、向量的长度公式(向量的模)

? 2 2 2 a ? x ?y ?z

3、向量的坐标运算公式

? ? 若 a ? ( x1, y1, z1 ) b ? ( x2 , y2 , z2 ) 那么

? ? a ? (? x1, ? y1, ? z1 )

? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 , z1 ? z2 )

? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2

4、两个向量平行的条件

? ? a || b ? x1 ? ? x2 , y1 ? ? y2 , z1 ? ? z2 (? ? R)


? ? x1 y1 z1 a || b ? ? ? x2 y2 z2

5、两个向量垂直的条件

? ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0

6、中点坐标公式

x1 ? x2 ? ?x ? 2 ? y1 ? y2 ? ?y ? 2 ? z1 ? z 2 ? ?z? 2 ?

7、重心坐标公式

x1 ? x2 ? x3 ? ?x? 3 ? y1 ? y2 ? y3 ? ?y ? 3 ? z1 ? z2 ? z3 ? ?z? 3 ?

8、直线与直线所成角公式

??? ??? ? ? | AB ? CD | ? ? cos ? ? ??? ??? | AB | ? | CD |
9、直线与平面所成角公式 ????? ?? ?

| PM ? n | ? sin ? ? ????? ?? | PM | ? | n |

( PM ? l

? M ? ? n 为 ? 的法向量)

10、平面与平面所成角公式

?? ?? ? n1 ? n2 ? cos ? ? ?? ?? | n1 | ? | n2 | ?? ?? ? ( n1 n2 为二面角两个半平面的法向量)
11、点到平面的距离公式

???? ? ? | PM ? n | ? d? |n|

(PM为平面 ? 的斜线,

? n 为平面 ? 的法向量)

12、异面直线的距离公式

? (A,B为异面直线上两点, n 为公垂线的方向向量)

??? ? ? | AB ? n | ? d? |n|

三.基本应用

利 用 向 量 求 角

直线与直线所成的角 直线与平面所成的角 平面与平面所成的角(二面角)

点到点的距离 利 用 向 量 求 距 离

点到直线的距离
点到平面的距离

直线到直线的距离
直线到平面的距离 平面到平面的距离

利 用 向 量 证 平 行

直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行

利 用 向 量 证 垂 直

直线与直线垂直 直线与平面垂直 平面与平面垂直

四.基本方法
1. 平行问题

? ? 直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u ,? ? ? ? ? 线线平行 l // m ? a // b ? a ? ?b ? ? ? ? l // ? ? a ? u ? a ? u ? 0 线面平行 ? ? ? ? ? // ? ? u //? ? u ? ?? 面面平行

2. 垂直问题

? ? 直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u ,? ? ? ? ? 线线垂直 l ? m ? a ? b ? a ?b ? 0 ? ? ? ? 线面垂直 l ? ? ? a // u ? a ? ?u ? ? ? ? 面面垂直 ? ? ? ? u ? ? ? u ?? ? 0

3. 角度问题

? ? 直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ? ? 平面 ? , ? 的法向量分别为 u ,?
①直线 l, m 所成的角 ②直线 l 和平面 ? 所成的角

? ? a ?b cos ? ? ? ? ab

? ? a ?u sin ? ? ? ? au
? ? u ?? cos ? ? ? ? u?

③平面? 和平面 ? 所成的角

4. 距离问题 ①点到点的距离、点到平面的距离、直线到直线 的距离直接用公式求解。

②点到直线的距离、直线到平面的距离、平面到 平面的距离转化为点到平面的距离求解。

?点到点的距离
空间中两点间的距离:设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z3),则

??? ? 2 2 2 AB ? ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? ( z1 ? z2 )

?点到面的距离

d ? PO ? PA sin ? ? ? PA ? n PA ? n ? PA ? ? ? n PA n

? n
?

P

O

?

A

?线到线的距离
①作直线a、b的方向向量a、b,求a、b的法向量n,即此
异面直线a、b的公垂线的方向向量; ②在直线a、b上各取一点A、B,作向量AB; ③求向量AB在n上的射影d,则异面直线a、b间的距离为

??? ? ? AB ? n ??? ? ??? ? ? d ? AB ? cos ? AB , n ? ? ? n

a M

A

n

?

N

B

b

五.典型例题
? 利用向量求角 题型一:线线角
F1
A1

C1

B1
D1

C

B

A ?BCA ? 900 ,现将沿着平面ABC的 Rt?ABC 中, 法向量平移到 A1B1C1 位置,已知 BC ? CA ? CC1 ,取1B1 , A1C1 的中点1 , F1 ,求 1 与 1 所 BD A D AF 成的角的余弦值

FF1
1

C1
C

z
C1 D D11 C B B y

B B1
1

解:以点C 为坐标原点建立空间 直角坐标系 C ? xyz 如图所示, 不妨设 CC1 ? 1 则 ?1 ? ?1 1 ? A?1,0,0? B?0,1,0? F1 ? ,0,1? D1 ? 2 , 2 ,1? ? ?2 ? ? ?1 1 ? ? 1 ? AF1 ? ? ? ,0,1? BD1 ? ? ,? ,1? ?2 2 ? ? 2 ?
30 cos ? AF1 , BD1 ?? ? 10 AF1 BD1 AF1 ? BD1

A1

AA

x

题型二:线面角
AD AB 在长方体 ABCD? A1B1C1D1 中, ? 6, ? 8 ,

AA ? 6 ,M为 B1C1 上的一点,且 B1M ? 2 ,点N在 1

线段 A1D 上,A1 N ? 5,求 AD 与平面 ANM 所成的角
A1 1 B1 M 1
D1 1
NC

C1 1
D D

A
B B

C C

z
A1 1
解:如图建立坐标系A-xyz,则

D1 1
NC

B1 M 1

C1 1
D D

A(0,0,0)

M (6,2,6)

A

y

由A1 N ? 5, 可得 N (0,4,3)

AM ? (6,2,6)

AN ? (0,4,3)

x B1

B B

C C

? 设平面?的法向量n ? ( x, y, z),由 ? ? AM ? n ? 0 ? ?6 x ? 2 y ? 6 z B 0 ? 即 ? ? ? ?4 y ? 3 z ? 0 ? AN ? n ? 0 ?

? 4 得n ? (1,1,? ) 3

又 AD ? (0,8,0)

???? ? ???? ? | AD ? n | ? sin ? ? cos ? AD, n ?? ???? ? | AD || n |
| 0 ? 1? 8 ? 0 | 3 34 ? ? , 34 4 2 2 2 8 ? 1 ? 1 ? (? ) 3

3 34 AD与平面ANM 所成角的正弦值是 34

题型三:面面角 已知 ABCD 是一直角梯型, ?ABC ? 900 ,SA ? 平 1 AD 面 ABCD , ? AB ? BC ? 1 , ? ,求面SCD与 SA 面SBA所成的二面角的余弦值。
S
B
C
D

2

A

z

解:如图建立坐标系A-xyz,则

S

B C A(0,0,0), C (?1,1,0), D(0, 1 ,0), S (0,0,1) 2 y D A ? x ? 1 易知,面SBA 的法向量n1 ? AD ? (0, ,0), 2 ? 1 ? ? 1 ? CD ? ?1,? ,0 ?, SD ? ? 0, ,?1? ? 2 ? ? 2 ? ?? ? ?? ??? ?? ??? ? ? ? ? 设平面 SCD的法向量n2 ? ( x, y, z ), 由n2 ? CD, n2 ? SD, 得: ? ? y ? ? ? ? ? x ? 2 ? 0 解得:n ? (1,2,1) ? cos ? n1 , n2 ?? n1 ? n2 ? 6 , ? ? ? 2 | n1 || n2 | 3 ? 6 ?y ?z ?0 即所求二面角的余弦值是 。 ?2 ? 3

?利用向量证平行垂直

题型四:线线垂直 例.在三棱柱ABC ? A ' B ' C '中,底面是正三角形,

AA ' ? 底面ABC,A ' C ? AB ', 求证:BC ' ? AB '
C' A' B'

C

B A

z
C' B' A'

解:如图建立坐标系O-xyz, 不妨设底面边长为2,高为h

A( 3,0,0) B(0,1,0) C ?0,?1,0? A( 3,0, h) B(0,1, h) C ?0,?1, h?

C

B A

y

AB' ? (? 3,1, h), A' C ? (? 3,?1,?h), BC' ? (0,?2, h)
AB' ? A' C ? 3 ? 1 ? h 2 ? 0 ? h 2 ? 2 AB' ? BC ' ? 0 ? 2 ? h 2 ? 0 ? BC ' ? AB'

x

题型五:线面平行 在正方体AC1中,E为DD1的中点, 求证:DB1//面A1C1E

D1 A1 E D A

F
B1

C1

C B

D1
证明:如图建立坐标系D-xyz,

z

F

C1

设AD=2 A1 (2,0,2) C1 (0,2,2)

A1
E (0,0,1)

B1
E D B C y

A1C1 ? (?2,2,0) A1E ? (?2,0,?1) DB1 ? (1,1,1) ? 设平面A1E C1的法向量n ? ( x, y, z ), 则 ? ? A ? 2x ? 2 y ? 0 A1C1 ? n ? 0 x 即 ? ? ? ? 2x ? z ? 0 A1 E ? n ? 0

解得n ? (1,1,?2) ? ? ? DB1 ? n ? 1 ? 1 ? 2 ? 0, ? DB1 ? n, ? DB1 // 平面A1C1E.

题型六:线面垂直 在长方体 ABCD? A1B1C1D1 中,E,F分别是 CC ' , BD 的中点,求证:A' F ? 平面BDE

E

F

z 证明:如图建立坐标系D-xyz

设AD=2 A(2,0,0) B(2,2,0) A' (2,0,2) E (0,2,1) F (1,1,0)

E

A' F ? ?? 1,1,?2?

DB ? ?2,2,0?

DE ? ?0,2,1?

y

F
x

A' F ? DB ? 0 ? A' F ? DB

A' F ? DE ? 0 ? A' F ? DE

DB ? DE ? D ? A' F ? 平面 BDE

或先求平面BDE的法向量

? ? n 再证明 A' F // n

题型七:面面平行 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 求证:面A1BD∥面CB1D1
D
C

A
D1

B

C1

A 1

B1

z
证明:如图建立坐标系D1-xyz

D

A
D(0,0,1)
D1

C

设AD=1 A1 (1,0,0) B1 (1,1,0)

B

C (0,1,1)

C1

A1D ? (?1,0,1) ? A1D // B1C
同理可证

B1C ? (?1,0,1) A1D // 平面CB1D1 A1B // 平面CB1D1

x

A 1

B1

y

平面CB1D1 // 平面A1BD

? ? 或先求两平面的法向量 n1 , n2 , 再证明 n1 // n2

题型八:面面垂直
在正方体AC1中,E、F分别是BB1、CD的中点, 求证:面AED⊥面A1FD1 z D1

C1 B1 E

证明两平面的 法向量垂直

A1

D F A B x

C y

? 利用向量求距离 题型九:点面距离(线面距离、面面距离) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E 为D1C1的中点, z 求B1到面A1BE的距离

D1
A1

E

C1

B1
D
C

A

x

B

y

z
解:如图建立坐标系D-xyz

D1

E

C1

1 ? ? A1 E ? ? ? 1, ,0 ? A1B ? ?0,1,?1? A1 2 ? ? ? 设n ? ?x, y, z ?为平面A1BE的法向量 D ? ???? 1 ? y ? 2 x, ? ?n ? A1 E ? 0, ?? x ? y ? 0, 即 ? ? 2 ? ? ? ???? ? z ? 2 x, A ?n ? A1 B ? 0, ? y ? z ? 0, ? ? x ? 取x=,得平面A1BE的一个法向量n ? (1, 2, 2) 1 ???? ? 选点B1到面A1BE的斜向量为A1B1 ? ? 0,1,0 ? ,

B1
C

B

y

???? ? ? A1 B1 ? n 2 得B1到面A1 BE的距离为d ? ? ? 3 n

线面距离

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E 为D1C1的中点, z 求D1C到面A1BE的距离
解:∵D1C∥面A1BE
∴ D1到面A1BE的距离即为D1C到 面A1BE的距离 仿上法求得

D1
A1

E

C1

B1
D
C

????? ? D1 A1 ? n 1 D1到面A1 BE的距离为d ? ? A ? 3 n

x

B

y

面面距离

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E 为D1C1的中点, 求面A1DB与面D1CB1的距离

z

解:∵面D1CB1∥面A1BD

∴ D1到面A1BD的距离即为面 D1CB1到面A1BD的距离 A1 ? 易得平面A1 BD的一法向量 n ? ( ?1,1,1) ????? ????? ? 且 D1 A1 ? (1, 0, 0) D1 A1 ? n 3D 则D1到面A1 BD的距离为d ? ? ? 3 n

D1

C1

B1
C

y

A

B

x

题型十:线线距离——异面直线的距离 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为1,E 为D1C1的中点,
求异面直线D1B与A1E的距离

z

D1
A1

E

C1

B1
D
C

A

x

B

y

解:如图建立坐标系D-xyz
1 ? ? A1 E ? ? ? 1, ,0 ? 2 ? ?

D1
A1

E

C1

D1B ? ?1,1,?1?

B1
D
C

? ???? ???? ? ? 设 n ? ( x , y , z )是与 A1 E , D1 B都垂直的向量, 则

A

1 ? ? ? x ? y ? 0, ? y ? 2 x, 2 ? 即? 得A1 E与BD1的距离 z ? 3 x, ? x ? y ? z ? 0, ? ? ????? ? ? D1 A1 ? n 14 取x=1,得其中一个n ? (1, 2, 3) d? ? ? ????? 14 n 选A1 E与BD1的两点向量为 D1 A1 ? ? 1,0,0 ? ,

? ???? ? ? n ? A1 E ? 0, ? ? ? ? ???? ? n ? D1 B ? 0, ?

x

B

y

小结 利用法向量来解决上述立体几何题目,最大的 优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂 足的位置,完全依靠计算就可以解决问题。但是 也有局限性,用代数推理解立体几何题目,关键 就是得建立空间直角坐标系,把向量通过坐标形 式表示出来,所以能用这种方法解题的立体几何 模型一般都是如:正(长)方体、直棱柱、正棱 锥等。


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