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2013高一数学必修1教师用书:第二章 §3 函数的单调性(北师大版)


知识点一

理解教材新知 知识点二 第 二 章 函 数
§3

考点一
函 数 的 单 调 性

把握热点考向

考点二 考点三

应用创新演练

给定了几个函数的图像

问题1:从图像上升或下降的角度,你能描述

一下上面 几个函数的变化规律吗?

提示:(1)中,从左向右是上升的.

(2)中,从左向右在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是
下降的. (3)中,从左向右上升→下降→上升. 问题2:以上几个图像的升与降反映了函数值y与自 变量x怎样的变化规律? 提示:在上升部分的图像上,y随x的增大而增大, 在下降部分的图像上,y随x的增大而减小.

对于函数y=f(x)的定义域内的一个区间A,
(1)如果对于任意两数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那么,就称函数y=f(x)在区间A上是增加的, 有时也称函数y=f(x)在区间A上是 递增的 . (2)如果对于 任意 两数x1,x2∈A,当x1<x2时,都有 f(x1)>f(x2) ,那么,就称函数y=f(x)在区间A上是减少的, 有时也称函数y=f(x)在区间A上是 递减的 .

函数y=f(x)在[-3,3]上的图像如下:

问题:该函数的图像在哪些区间上呈上升趋势? 在哪些区间上呈下降趋势? 提示:在区间[-3,-2],[2,3]上呈上升趋势, 在区间[-2,2]上呈下降趋势.

1.单调性 如果y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的,那么就称A 为 单调区间 ;如果函数y=f(x)在定义域的某个子集上是增 加的或是减少的,那么就称函数y=f(x)在这个子集上具有单

调性.
2.单调函数 如果函数y=f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的, 分别称这个函数为 增函数 或 减函数 ,统称为单调函数.

1.单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在
定义域的不同的区间上可以有不同的单调性. 2.单调性是函数在某一区间上的“整体”性质,因此定 义中的x1、x2有以下几个特征:一是任意性,即任意取x1, x2,“任意”二字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以

两个特殊值替换;二是有大小,通常规定x1< x2;三是属于
同一个单调区间.

3.单调性能使自变量取值之间的不等关系和函数值的 不等关系正逆互推,即由f(x)是增(减)函数且f(x1)<f(x2)? x1<x2(x1>x2). 4.并不是所有函数都具有单调性.若一个函数在定义 区间上既有增区间又有减区间,则此函数在这个区间上不

存在单调性.

[例 1]

1 证明函数 f(x)=x+x在(0,1)上为减函数. 在(0,1)上任取 x1 、x2 且 x1<x2 ,只需证明 设 0<x1<x2<1,则

[思路点拨] f(x1)>f(x2) [精解详析]

1 1 f(x1)-f(x2)=(x1+x )-(x2+x ) 1 2 x2-x1 =(x1-x2)+ x x 1 2 1 =(x1-x2)(1-x x ) 1 2

?x1-x2??x1x2-1? = . x1x2
已知 0<x1<x2<1, 则 x1x2-1<0,x1-x2<0. ∴f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 1 ∴f(x)=x+x在(0,1)上为减函数.

[一点通]
用定义判断或证明单调性的步骤: (1)设元:在指定区间内任取x1,x2且x1<x2. (2)作差变形:计算f(x2)-f(x1),并通过因式分解、通 分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的式子(几个

因式的积或几个完全平方和).
(3)定号:确定f(x2)-f(x1)的符号,当符号不确定时, 可考虑分类讨论.

(4)判断:根据f(x2)-f(x1)的符号及定义判断函数的单
调性.

1 1.本例中,“函数 f(x)=x+x”不变,讨论 f(x)在(0, +∞)上的单调性.
解:设 0<x1<x2,则 1 1 f(x1)-f(x2)=(x1+x )-(x2+x ) 1 2 1 =(x1-x2)(1-x x ). 1 2

1 ①当 0<x1<x2≤1 时,x1-x2<0,1-x x <0, 1 2 所以 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 1 因此 f(x)=x+x在(0,1]上是减函数. 1 ②当 1<x1<x2 时,x1-x2<0,1-x x >0, 1 2 所以 f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 1 因此 f(x)=x+x在(1,+∞)上是增函数.

1 2. 利用单调性的定义证明函数 f(x)=x2在(-∞, 0)上是增函数. 证明:法一:对于任意的 x1,x2∈(-∞,0),且 x1<x2,
2 2 1 1 x2-x1 ?x2-x1??x2+x1? 则 f(x1)-f(x2)=x2-x2= x2x2 = . x2x2 1 2 1 2 1 2

∵x1<x2<0, ∴x2-x1>0,x1+x2<0,x2x2>0. 1 2 ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 1 ∴函数 f(x)=x2在(-∞,0)上是增函数.

法二: x1, 2∈(-∞, 且 x1<x2, 设 x 0), 1 f?x1? x2 x2 1 2 则 = = 2, f?x2? 1 x1 x2 2 ∵x1<x2<0,∴x1-x2<0,x1+x2<0. 2 ∴(x1-x2)(x1+x2)>0,即 x1-x2>0. 2 x2 f?x1? 2 2 2 ∴x1>x2>0.∴ 2<1.∴ <1, x1 f?x2? 1 又∵f(x2)= 2>0, x2 ∴f(x1)<f(x2). 1 ∴f(x)= 2在(-∞,0)上是增函数. x

[例 2] 画出函数 y=-x2+2|x|+3 的图像,并指出函数 的单调区间. [思路点拨] 只需画出函数的图像, 看曲线在哪些区间是 上升的,在哪些区间是下降的,即可确定函数的单调区间. [精解详析] y=-x2+2|x|+3 ?-x2+2x+3=-?x-1?2+4,x≥0, ? =? ?-x2-2x+3=-?x+1?2+4,x<0. ?

函数图像如图所示.

函数在(-∞,-1]和[0,1]上是增函数;

函数在[-1,0]和[1,+∞)上是减函数.
所以函数的单调增区间是(-∞,-1]和[0,1],单调 减区间是[-1,0]和[1,+∞).

[一点通]

利用函数图像确定函数的单调区间,具体做

法是:先化简函数解析式,然后再画出它的草图,最后根据
函数定义域与草图的位置、状态,确定函数的单调区间.

注意:当单调性相同的区间多于一个时,用“和”“或”连接,
不能用“∪”连接.

3.函数y=|x|(1-x)的单调增区间为________.
解析:y=|x|(1-x) 12 1 ? ?-?x-2? +4 ?x≥0?, =? ??x-1?2-1 ?x<0?. 2 4 ? 1 如右图,原函数在[0, ]上递增. 2 1 答案:[0,2]

4.已知f(x)=|x2-x-12|,求f(x)的单调区间.
解:f(x)=|x2-x-12|
? 1 2 49? =??x-2? - 4 ?. ? ?

如图,作出函数的简图观察 其图像,知函数 f(x)的单
? 1? 调递增区间为?-3,2?和 ? ? ?1 ? [4,+∞),单调递减区间为(-∞,-3]和?2,4?. ? ?

[例 3]

ax+1 已知 f(x)= 在区间(-2,+∞)上是增函数, x+2

求实数 a 的取值范围. [思路点拨] 利用函数单调性的定义,算出 f(x2)-f(x1)

后,通过差的符号确定 a 的取值范围. [精解详析] 任设-2<x1<x2, ax2+1 ax1+1 则 f(x2)-f(x1)= - x2+2 x1+2 ax2x1+2ax2+x1+2-ax1x2-x2-2ax1-2 = ?x2+2??x1+2?

?x1-x2??1-2a? = . ?x1+2??x2+2? ∵-2<x1<x2, ∴x2-x1>0,x1+2>0,x2+2>0. ∵f(x)在(-2,+∞)上是增函数, ∴f(x2)-f(x1)>0. 1 ∴1-2a<0,∴a> . 2

[一点通]

函数单调性的应用比较广泛,主要有:

(1)求参数的范围;(2)解不等式;(3)比较大小.解题时, 注意分类讨论和数形结合思想的应用 .

5.若函数f(x)在(-∞,+∞)上为减函数,则
A.f(a)>f(2a) C.f(a2-1)<f(a) B.f(a2)<f(a)

(

)

D.f(a2+1)<f(a) 12 3 2 解析:∵a +1-a=(a-2) +4>0,∴a2+1>a.
∴f(a2+1)<f(a).

答案:D

6.函数f(x)=2x2-mx+3,当x∈[-2,+∞)时是增函数,
x∈(-∞,-2]时是减函数,则f(1)=________.
解析:∵函数 f(x)在(-∞,-2]上是减函数,在[-2,+∞) 上是增函数, b m ∴x=-2a= 4 =-2, ∴m=-8,故 f(x)=2x2+8x+3, ∴f(1)=13.

答案:13

7.已知函数f(x)=x2+2(a-1) x+2在区间(-∞,4]上是减函

数,求实数a的取值范围.
解:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2, ∴此二次函数的对称轴为x=1-a. ∴f(x)的单调减区间为(-∞,1-a]. ∵f(x)在(-∞,4]上是减函数, ∴对称轴x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合. ∴1-a≥4,解得a≤-3.

1.基本初等函数的单调性: (1)一次函数 y=ax+b(a≠0): 当 a>0 时,在(-∞,+∞)上是增函数; 当 a<0 时,在(-∞,+∞)上是减函数. k (2)反比例函数 y=x(k≠0): 当 k>0 时,函数在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数; 当 k<0 时,函数在(-∞,0)和(0,+∞)上均为增函数.

(3)y=a(x-m)2+n,a>0时单调减区间为(-∞,m], 单调增区间为[m,+∞);a<0时单调增区间为(-∞,m], 单调减区间为[m,+∞). (4)函数y=-f(x)与函数y=f(x)的单调性相反. 2.判断函数单调性的方法:①定义法;②图像法.

3.已知函数的单调性求参数的取值范围,要注意

数形结合思想,采用逆向思维.利用已知函数研究函数
单调性问题,像一次函数、二次函数、正、反比例函数

的单调性不必用定义研究,直接判断即可.

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