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2015年最新高考高三选修4-5 第2讲


第2讲

不等式的证明

基础巩固题组
(建议用时:40 分钟)

一、填空题 1.(2013· 江苏卷改编)已知 a≥b>0,M=2a3-b3,N=2ab2-a2b,则 M、N 的大 小关系为________. 解析 2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)

/>=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b). 因为 a≥b>0,所以 a-b≥0,a+b>0,2a+b>0, 从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,故 2a3-b3≥2ab2-a2b. 答案 M≥N

2.已知 x+y=1,那么 2x2+3y2 的最小值是________. 解析 ?? ?? 由柯西不等式(2x2+3y2)· ?? 1 ?2 ? 1 ?2? ? +? ?? 2? ? 3? ?

1 1? ? ≥? 2x· + 3y· ?2=(x+y)2=1, 2 3? ? 6 3 2 ∴2x2+3y2≥5,当且仅当 2x=3y,即 x=5,y=5时,等号成立. 答案 6 5

3.若直线 3x+4y=2,则 x2+y2 的最小值为________,最小值点为________. 解析 由柯西不等式(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2,

4 得 25(x2+y2)≥4,所以 x2+y2≥ . 25 x y 当且仅当3=4时等号成立,为求最小值点, 3x+4y=2, ? ? 需解方程组?x y = . ? ?3 4 6 x = ? ? 25, ∴? 8 ? ?y=25.

6 8 4 因此,当 x=25,y=25时,x2+y2 取得最小值,最小值为25,最小值点为 8? ?6 ?25,25?. ? ? 答案 4 25 8? ?6 ?25,25? ? ? a b + ,N= a+ b,则 M、N 的大小 b a

4.若 a,b 均为正实数,且 a≠b,M= 关系为________. 解析 ∴ ∴ ∵a≠b,∴

a b + b>2 a, + a>2 b, b a

a b + b+ + a>2 a+2 b, b a a b + > a+ b.即 M>N. b a M >N

答案

2 2 2 5.设 a、b、c 是正实数,且 a+b+c=9,则a+b+c的最小值为________. 解析 ?2 2 2? ∵(a+b+c)?a+b+ c? ? ? 2?2 ? ? +? a? ? 2?2 ? ? +? b? ? 2?2? ?? c? ?

?? =[( a)2+( b)2+( c)2]?? ??

2 2 2? ? ≥? a· + b· + c· ?2=18. a b c? ? 2 2 2 2 2 2 ∴a+b+ c≥2.∴a+b+ c的最小值为 2. 答案 2

6.已知 a,b,c 为正实数,且 a+2b+3c=9,则 3a+ 2b+ c 的最大值为 ________. 解析 ≤ 答案 3a+ 2b+ c= 3 a+ 2b+ 1 3c 3

1? ? ?3+1+3??a+2b+3c?= 39,故最大值为 39. ? ? 39

7.(2013· 陕西卷)已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则(am+

bn)(bm+an)的最小值为________. 解析 由柯西不等式 (a2 + b2)(c2 + d2)≥(ac + bd)2 ,当且仅当 ad = bc 时

“=”成立,得(am+bn)(bm+an)≥( am· an+ bm bn)2=mn(a+b)2= 2. 答案 2

18 8.已知 x2+2y2+3z2=17,则 3x+2y+z 的最小值为________. 解析 ? ? 1 ?2? ?? ∵(x2+2y2+3z2)?32+? 2?2+? ? ? 3? ?

1 ≥(3x+ 2y· 2+ 3z· )2=(3x+2y+z)2, 3 当且仅当 x=3y=9z 时,等号成立. ∴(3x+2y+z)2≤12,即-2 3≤3x+2y+z≤2 3. 9 3 3 3 3 当 x=- 17 ,y=- 17 ,z=- 17 时, 3x+2y+z=-2 3,∴最小值为-2 3. 答案 -2 3

9.已知 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,则 3a+1+ 3b+1+ 3c+1的最大 值为________. 解析 ( 法一 利用基本不等式 3b+1 + 3c+1 )2 = (3a + 1) + (3b + 1) + (3c + 1) +

3a+1 +

2 3a+1· 3b+1+2 3b+1· 3c+1+2 3a+1· 3c+1≤(3a+1)+(3b+ 1) + (3c + 1) + [(3a+ 1)+ (3b + 1)] +[(3b + 1)+ (3c + 1)] +[(3a + 1)+ (3c + 1)] =3[(3a+1)+(3b+1)+(3c+1)]=18, ∴ 3a+1+ 3b+1+ 3c+1≤3 2, ∴( 3a+1+ 3b+1+ 3c+1)max=3 2. 法二 利用柯西不等式 3c+1 )2]≥(1· 3a+1 +

∵ (12 + 12 + 12)[( 3a+1 )2 + ( 3b+1 )2 + ( 1· 3b+1+1· 3c+1)2

∴( 3a+1+ 3b+1+ 3c+1)2≤3[3(a+b+c)+3].

又∵a+b+c=1,∴( 3a+1+ 3b+1+ 3c+1)2≤18, ∴ 3a+1+ 3b+1+ 3c+1≤3 2. 当且仅当 3a+1= 3b+1= 3c+1时,等号成立. ∴( 3a+1+ 3b+1+ 3c+1)max=3 2. 答案 3 2

二、解答题 1 1 1 10.设 a,b,c 为正数,且 a+b+c=1,求证:a+b+c ≥9. 证明 法一 ∵a,b,c 均为正数,∴1=a+b+c≥

3 1 1 1 1 3 3 3 abc.又a+b+c≥3 abc= , 3 abc 1 3 ?1 1 1? ∴?a+b+ c?· 1≥3 · 3 abc=9. ? ? 3 abc 1 1 1 即a+b+c≥9. 法二 构造两组数: a, b, c; 1 1 1 , , . a b c

因此根据柯西不等式有 ?? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 1 ?2? ? +? ? +? ?? [( a)2+( b)2+( c)2]?? ?? a? ? b? ? c? ? 1 1 1? ? ≥? a× + b× + c× ?2. a b c? ? ?1 1 1? 即(a+b+c)?a+b+c?≥32=9. ? ? a b c (当且仅当 1 = 1 = 1 ,即 a=b=c 时取等号) a b c 1 1 1 又 a+b+c=1,所以a+b+c ≥9. 11.设不等式|2x-1|<1 的解集为 M. (1)求集合 M; (2)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小.



(1)由|2x-1|<1 得-1<2x-1<1,

解得 0<x<1. 所以 M={x|0<x<1}. (2)由(1)和 a,b∈M 可知 0<a<1,0<b<1, 所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0. 故 ab+1>a+b. 12.(2012· 福建卷)已知函数 f(x)=m-|x-2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集 为[-1,1]. (1)求 m 的值; 1 1 1 (2)若 a,b,c 大于 0,且a+2b+3c=m,求证:a+2b+3c≥9. (1)解 ∵f(x+2)=m-|x|,

∴f(x+2)≥0 等价于|x|≤m. 由|x|≤m 有解,得 m≥0 且其解集为{x|-m≤x≤m}. 又 f(x+2)≥0 的解集为[-1,1],故 m=1. (2)证明 1 1 1 由(1)知a+2b+3c=1,且 a,b,c 大于 0,

?1 1 1 ? a+2b+3c=(a+2b+3c)?a+2b+3c? ? ? ?2b a ? ?3c a ? ? 3c 2b? =3+? a +2b?+? a +3c?+?2b+ 3c? ? ? ? ? ? ? ≥3+2 2ab 2ab+2 3c a a· 3c+2 3c 2b 2b· 3c=9.

1 当且仅当 a=2b=3c=3时,等号成立.因此 a+2b+3c≥9.


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