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陕西省西安市第七十中学2015-2016学年高二数学上学期12月月考试题 文


西安市七十中学高二第一学期第二次月考数学(文科)试题
*说明:考试时间 120 分钟,试卷满分 150 分。考试内容《选修 1—1》第一、二章 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) 1.下列命题是真命题的有( )

①“等边三角形的三个内角均为 60°”的逆命题; ②“

若 k>0,则方程 x +2x-k=0 有实根”的逆命题; ③“全等三角形的面积相等”的否命题. A.0 个
x
2

B.1 个 )

C.2 个

D.3 个

2.命题“存在 x∈R,2 ≤0”的否定是( A.不存在 x∈R,2 >0 C.对任意的 x∈R,2 ≤0 3.下列说法中正确的是( )
x x

B.存在 x∈R,2 ≥0 D.对任意的 x∈R,2 >0
x

x

A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 B.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一 定为真 C.“a +b =0,则 a,b 全为 0”的逆否命题是“若 a,b 全不为 0,则 a +b ≠0” D.“a>b”与“a+c>b+c”不等价 4.若向量 a=(x,3)(x∈R),则“x=4”是|a|=5 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件
2 2 2 2 2 2 2

)

B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件
2

5.命题 p:a +b <0(a,b∈R),命题 q:a +b ≥0(a,b∈R),下列结论正确的是( A.“p 或 q”为真 C.“非 p”为假 6.若集合 A={x|x<4},B={x| A.充分不必要条件 C.充要条件
2 2

)

B.“p 且 q”为真 D.“非 q”为真

x <0}, ,则“m∈A”是“m∈B”的( x-1
B.必要不充分条件

)

D.既不充分也不必要条件 ) D.圆

7.θ 是任意实数,则方程 x +y sinθ = 4 的曲线不可能是( A.椭圆
2 2

B.双曲线 )

C.抛物线

8.椭圆 x +4y =1 的离心率为( A. 3 2 3 B. 4

C.

2 2

2 D. 3 )

1 9.已知两定点 F1(-1,0)、F2(1,0),且 |F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的轨迹是( 2

1

A.椭圆

B.双曲线

C.抛物线 )

D.线段

10.以 - =-1 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( 4 12 A. + =1 16 12

x2

y2

x2

y2

B. + =1 12 16

x2

y2

C. + =1 16 4

x2

y2

D. + =1 4 16

x2

y2

11.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点 的最短距离为 3,则这个椭圆的方程为( A. + =1 12 9
2

) C. + =1 或 + =1 12 9 12 9

x2

y2

B . + =1 9 12

x2

y2

x2

y2

y2

x2

D.以上都不对

12.若抛物线 y =2x 上有两点 A、B,且 AB 垂直于 x 轴,若|AB|=2 2,则点 A 到抛物线的准线的 距离为( 1 A. 2 ) B.

3 2

C.2

D.

5 2

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中横线上) 13 .已知命题 p : 1 ∈ {x|x < a} , q : 2 ∈ {x|x < a} ,则“p 且 q”为真命题时 a 的取值范围是 _____________ . 13 14.若双曲线的一个焦点为(0,-13)且离心率为 ,其标准方程为_____________. 5 15.已知圆 x +y -6x-7=0 与抛物线 y =2px(p>0)的准线相切,则 p=________. 16 .已知椭圆
2 2 2 2 2

x2
49



y2
24

= 1 上一点 P 与椭圆两焦点 F1 、 F2 连线的夹角为直角,则 |PF1|·|PF2| =

__________________. 17.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,O 为坐标原点,点 P 是椭圆上的一点, 点 M 为 PF1 的中点,|OF1|=2|OM|,且 OM⊥PF1,则该椭圆的离心率为________.

x2 y2 a b

三、解答题(本大题 5 小题,共 65 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18.(12 分)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. 1 2 (1)m> 时,mx -x+1=0 无实数根; (2)当 ab=0 时,a=0 或 b=0. 4

2

5 19.(12 分)求与椭圆 + =1 有公共焦点,并且离心率为 的双曲线方程. 9 4 2

x2 y2

20.(13 分) 已知 e 是某种圆锥曲线的离心率,给定两个命题 p: lg(e2 ? 2e ? 2) ? 0 ,命题 q:

1?

e “p 或 q”为真,判断此圆锥曲线类型并说明你的理由. ? 1,若 e 使得命题“p 且 q”为假, 2

21.(14 分)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1 、 F2 ,过 F2 作 y 轴的平行线交椭圆于

x2 y 2 a b

M、N 两点,若|MN|=3,且 F1M ? F1 N ?

????? ???? ?

7 ,求椭圆方程. 4

3

22.(14 分)已知顶点在原点 O,准线方程是 y=-1 的抛物线与过点 M(0,1)的直线 l 交于 A,B 两点, 若直线 OA 和直线 OB 的斜率之和为 1, (1)求出抛物线的标准方程; (2)求直线 l 的方程; (3)求直线 l 与抛物线相交所得的弦 AB 的长.

一.选择题 题号 答案 1 B

高二年级数学(文)答案 ( 每小题 5 分,共 60 分) 2 D 3 B 4 A 5 A 6 B 7 C 8 A 9 D 10 D 11 C 12 B

二.填空题 13.a>4

(每小题 5 分,共 25 分) 14.

y 2 x2 ? ?1 25 144
17. 3 ? 1

15.2 16.48 三.解答题 (共 5 道小题,满分 65 分)
2

18.(12 分)解(1)逆命题:方程 mx ? x ? 1 ? 0 无实数根,则 m ? 否命题: m ?

1 . 4

真命题

1 2 时,方程 mx ? x ? 1 ? 0 有实数根. 真命题 4 1 2 逆否命题:方程 mx ? x ? 1 ? 0 有实数根,则 m ? . 真命题 4
(2) 逆命题:若 a=0 或 b=0 时,ab=0. 否命题:若 ab ? 0 ,则 a ? 0 且 b ? 0 . 逆否命题:若 a ? 0 且 b ? 0 ,则 ab ? 0 真命题 真命题 真命题

19. (12 分)解:由已知椭圆焦点为(- 5 ,0) , ( 5 ,0) ,所以双曲线的焦点在 x 轴上, 且 c= 5 ,

4

设双曲线的方程为

c 5 x2 y 2 ? 2 ? 1 ,据已知离心率 e= = ,c= 5 , 2 2 a a b
2 2

所以 a=2, b ? c ? a ? 5 ? 4 ? 1
2

x2 ? 双曲线的方程为 ? y 2 ? 1。 4
20. (13 分)解:据已知命题 p 和命题 q 一真一假.

? ? e?o ? ? 2 ①当 e 使得 p 假 q 真时,则 e 应满足不等式组 ?lg(e ? 2e ? 2) ? 0 ? e ? 1? ? 1 2 ? ?
此不等式组解集为 ? . ②当 e 使得 p 真 q 假时,则 e 应满足不等式组

?e ??3,4? ,?e ? 1 ,因为圆锥曲线中只有双曲线的离心率大于 1,所以此曲线是双曲线。
x2 y 2 b2 21(14 分) .解:令 x=c,代入椭圆方程 2 ? 2 ? 1 ,解得 y ? ? a a b
所以 M,N 的坐标分别是 ? c,

? ? e?0 ? ? 2 ?lg(e ? 2e ? 2) ? 0 ? ? e ? 1? ? 1 2 ? ?

解之得

3?e? 4

? b2 ? ? 2b 2 b2 ? ? MN ? =3...........(1) , c , ? , ? ? ? a a? ? a? ?

????? ? b2 ???? b2 F1M ? (2c, ) F1 N ? (2c, ? ) a a ????? ???? ? b4 7 F1M ? F1 N ? 4c 2 ? 2 ? ???????????????.(2) a 4
联立(1) (2)解得 a=2, b ? 3

所以所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

5

22. (14 分)解: (1)据已知抛物线的焦点在 y 轴正半轴上,所 以可设其方程为 x ? 2 py( p ? 0)
2

y??
准线

p ? ?1 2 2 ,则 p=2,所以所求抛物线方程为 x ? 4 y .

(2)直线 l 过点 M(0,1),可设 l 方程为 y=kx+1,又设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 联立直线和抛物线方程得 ?

? y ? kx ? 1 2 ,消去 y 得: x ? 4kx ? 4 ? 0 , 2 x ? 4 y ?

则?

? x1 ? x2 ? 4k ???????????????????????????(1) ? x1 x2 ? ?4
y1 y y y kx ? 1 kx ? 1 , kOB ? 2 根据已知 kOA ? kOB ? 1,即 1 ? 2 ? 1,? 1 ? 2 ? 1, x1 x2 x1 x2 x1 x2

又 kOA ?

(2k ?1) x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 0 ???????????????????????(2)
将(1)代入(2)得(2k-1)(-4)+4k=0,解得 k=1, 所以,直线方程为 y=x+1 (3)据(2)知 k=1,则 ?

? x1 ? x2 ? 4 , ? x1 x2 ? ?4

所以,

AB ? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? 1 42 ? 4 ? (?4) ? 8

即抛物线的弦 AB 长等于 8.

6


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