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《高中竞赛教程》教案:第16讲 圆中比例线段、根轴(学生)


第 2 讲 圆中比例线段、根轴
本节主要介绍圆幂定理及其应用, 介绍根轴的有关知识.圆幂定理是指相交弦定理、 切割线定理及割线 定理,它们揭示了与圆有关的线段的比例关系,是平面几何中研究有关圆的性质的一组很重要的定理,应 用及其广泛.圆幂定理通常可以通过相似三角形得到,因此研究圆中的比例线段,一般离不开相似三角形. 相交弦定理 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段的积相

等. 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等. 上述三个定理统称为圆幂定理,它们的发现距今已有两千多年的历史,它们有下面的同一形式: 圆幂定理 过一定点作两条直线与圆相交,则定点到每条直线与圆的交点的两条线段的积相等,即它 们的积为定值. 这里切线可以看作割线的特殊情形,切点看作是两个重合的交点.若定点到圆心的距离为 d,圆半径为 r,则这个定值为|d2-r2|. 当定点在圆内时,d2-r2<0,|d2-r2|等于过定点的最小弦的一半的平方; 当定点在圆上时,d2-r2=0; 当定点在圆外时,d2-r2>0,d2-r2 等于从定点向圆所引切线长的平方. 特别地,我们把 d2-r2 称为定点对于圆的幂. 一般地我们有如下结论:到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线;如果此二圆相 交,那么该轨迹是此二圆的公共弦所在直线.这条直线称为两圆的“根轴”. 对于根轴我们有如下结论:三个圆两两的根轴如果不互相平行,那么它们交于 一点,这一点称为三圆 的“根心”.三个圆的根心对于三个圆等幂.当三个圆两两相交时,三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线 交于一点. A 类例题 例 1 试证明圆幂定理. 设 PA=d,则 PA· PB=|d2-r2|.
A
P A Q O

Q O

P

B

B

例 2 利用圆幂定理证明:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项; 每一直角边是它在斜边上的射影和斜边的比例中项.

例 3 已知 AB 切⊙O 于 B,M 为 AB 的中点,过 M 作⊙O 的割线 MD 交⊙O 于 C、D 两点,连 AC 并 延长交⊙O 于 E,连 AD 交⊙O 于 F. 求证:EF∥AB.
B M E O F D C A

情景再现
-1-

1.AD 是 Rt△ ABC 斜边 BC 上的高,∠B 的平分线交 AD 于 M,交 AC 于 N.求证:AB2-AN2=BM· BN. 2.如图,⊙O 内的两条弦 AB、CD 的延长线相交于圆外一点 E,由 E 引 AD 的平行线与直线 BC 交于 F, 作切线 FG,G 为切点.求证:EF=FG.
A G F B
A B M

C D N

E

C

D

E

3. 已知如图, 两圆相交于 M、 N, 点 C 为公共弦 MN 上任意一点, 过 C 任意作直线与两圆的交点顺次为 A、 B、D、E.求证: AB ED = . BC DC
P O B E C G D A Q

B 类例题 例 4 如图,ABCD 是⊙O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于 E, 延长 AB 和 DC 相交于 E,延长 AD 和 BC 相交于 F,EP 和 FQ 分别 切⊙O 于 P、Q. 求证:EP2+FQ2=EF2.

F

D C M F A O E N
A

例 5 AB 是⊙O 的直径,ME⊥AB 于 E,C 为⊙O 上任一点, AC、EM 交于点 D,BC 交 DE 于 F. 求证:EM2=ED· EF.

B

例 6 (1997 年全国高中理科实验班招生考试)如图所示, PA、PB 是⊙O 的两条切线,PEC 是⊙O 的一条割线, D 是 AB 与 PC 的交点,若 PE=2,CD=1,求 DE 的长.

F P E D B

O C

情景再现
4.如图,P 为两圆公共弦 AB 上一点,过点 P 分别作两圆的弦 CD、EF, 求证:C、D、E、F 四点共圆.
C E

A D P B F

5.正⊿ABC 内接于⊙O,M、N 分别是 AB、AC 的中点, PC 延长 MN 交⊙O 于点 D,连结 BD 交 AC 于 P,求 . PA B 6.如图,已知四边形 ABCD 内接于直径为 3 的⊙O,对角线 AC 是直径, AC、BD 交于点 P,AB=BD,且 PC=0.6.求此四边形的周长. (1999 年全国初中数学联赛)
-2-

A M O N P C
B

D

A

O

P

C D

C 类例题 例 7 如图,自圆外一点 P 向⊙O 引割线交圆于 R、S 两点, 又作切线 PA、PB,A、B 为切点,AB 与 PR 相交于 Q. 求证: 1 1 2 + = . PR PS PQ
P

A S R Q O

E A
1

B

M

3

例 8 AB 是⊙O 的弦,M 是其中点,弦 CD、EF 经过点 M, CF、DE 交 AB 于 P、Q,求证:MP=QM.
F

P
4

2

Q O

B

D

例 9 给出锐角△ ABC,以 AB 为直径的圆与 AB 边的高 CC'及 其延长线交于 M,N.以 AC 为直径的圆与 AC 边的高 BB'及 其延长线将于 P,Q. 求证:M,N,P,Q 四点共圆.(第 19 届美国数学奥林匹克)

N C'

A Q B' K P M C

B

情景再现
7.⊙O1 与⊙O2 相交于 M、N,AB、CD 为公切线, A、B、C、D 为切点,直线 MN 交 AB 于 P,交 CD 于 Q, 求证:PQ2=AB2+MN2.
A

P M O1 N

B

O2

C

Q

8.以 O 为圆心的圆通过⊿ABC 的两个顶点 A、C, 且与 AB、BC 两边分别相交于 K、N 两点,⊿ABC 和⊿KBN 的 两外接圆交于 B、M 两点.证明:∠OMB 为直角. (1985 年第 26 届国际数学竞赛)
A

D
B M K N O C P

F

A

9.如图,自圆外一点 P 向⊙O 作切线,PA、PB,A、B 为切点, AB 与 PO 相交于 C,弦 EF 过点 C. 求证:?APE=?BPF.

C O E B

P

习题 16
1.已知,AD 是⊙O 的直径,AD'⊥BC,AB、AC 分别与圆交于 E、F, 那么下列等式中一定成立的是( ) A.AE?BE=AF?CF B.AE?AB=AO?AD' C.AE?AB=AF?AC D.AE?AF=AO?AD 2.设⊙A 的直径等于等边三角形 ABC 的边长,等腰三角形 ΔAB'C'的周长 与 ΔABC 的周长相同,且 B'C'与⊙A 相切,那么( ) A.∠B'AC'>120? B.∠B'AC'=120? C.∠B'AC'<120? D.∠B'AC'与 120?的大小关系不确定
-3-

A O E D B D' F C
A B' B C C'

3.PM 切⊙O 于 M,PO 交⊙O 于 N,若 PM=12,PN=8,则⊙O 的直径为( A.5 B.4 C.10 D.12 5

)
O

M P

N

4.如图,AB 切⊙O 于 B,ADFC 交⊙O 于 D、F,BC 交⊙O 于 E,若 ∠A=28?,∠C=30?,∠BDF=60?,则∠FBE 的度数为( ) A.3? B.2? C.1? D.0.5? A 5.如图,PT 切⊙O 于 T,M 为 PT 的中点,AM 交⊙O 于 B,PA 交⊙O 于 C,PB 延长线交⊙O O E C 于 D,图中与 ΔMPB 相似的三角形有( ) D A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个
B T M

C F E D A
P

O B

6.如图,D 为⊙O 内一点,BD 交⊙O 于点 C,BA 切⊙O 于 A,若 AB=6,OD=2, DC=CB=3,则⊙O 的半径等于( ) A.3+ 3 B.2 6 9 C. 2 D. 22
O D B A T

A O D
C P

C

B

7.PT 切⊙O 于点 T,PAB、PCD 是割线,弦 AB=35 ㎝ , 弦 CD=50 ㎝,AC∶DB=1∶2,求 PT 的长

A M O C

8.在 ΔABC 中,已知 CM 是 ∠ACB 的平分线,ΔAMC 的 1 外接圆交 BC 于 N,若 AC= AB,求证:BN=2AM. 2
A

B

N

9.过⊙O 外一点 P 作⊙O 的两条切线 PA、PB,连 OP 与 ⊙O 交于点 C,过 C 作 AP 的垂线,垂足为 E. 若 PA=12 ㎝,PC=6 ㎝,求 CE 的长.

E O B C P
A B O C P O' T
M A B

10.⊙O 与⊙O?外切于点 P,一条外公切线分别切两圆于 点 A、 B, AC 为⊙O 的直径, 从 C 引⊙O?的切线 CT, 切点为 T. 求证: CT=AB.

11.⊙O1 与⊙O2 的半半径为 r1、r2(r1>r2),连心线 O1O2 的中点为 D, 且 O1O2 上有一点 H,满足 2DH· O1O2=r12-r22,过 H 作垂直于 O1O2 的 直线 l,证明直线 l 上任一点 M 向两圆所引切线长相等.

O1

D H

O2

12.如图,设 D 为线段 AB 上任一点,以 AB、AD、BD 为直径分别 作三个半圆⊙O、⊙O?、⊙O?,EF 是半圆 O?、O?的公切线,E、F 为切 点.DC⊥AB,交半圆 O 于 C.求证四边形 DFCE 为矩形.
A

C E F O' O D O" B

-4-


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