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江苏省新沂市第二中学高三数学(理)专题复习学案5 函数的单调性与最值


学案 5 函数的单调性与最值
编制:纪凯 审核:高三数学组 班级 : 姓名:

【导学引领】

(一)考点梳理
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数 f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时, ①若 ②若 ,则 f(x)在区间 D 上是增函数

; ,则 f(x)在区间 D 上是减函数.

(2)单调性、单调区间的定义 若函数 f(x)在区 间 D 上是增函数或减函数,则称函数 f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,区间 D 叫 做 f(x)的单调区间. 2.函数的最值 一般地,设 y=f(x)的定义域为 A.如果存在 x0∈A,使得对于任意的 x∈A,都有 称 f(x0)为 y=f(x)的最大值, 记为 ymax=f(x0); 如果存在 x0∈A, 使得对于任意的 x∈A, 都有 那么称 f(x0)为 y=f(x)的最小值,记为 ymin=f(x0). 函数单调性的四种判断方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论. (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数. (3)导数法:利用导数研究函数的单调性. (4)图象法:利用图象研究函数的单调性. ,那么 ,

【自学检测】
M 1.函数 f(x)= 1+x- 1-x的最大值为 M,最小值为 m,则 =________. m k 2.已知函数 f(x)=x- (k >0,x>0),则 f(x2+1)与 f(x)的大小关系是________. x 3.已知函数 f(x)=2x+ln x,若 f(x2+2)≤f(3x),则 x 的取值范围是________. 4.函数 f(x)=2x+log2x(x∈[1,2])的值域为________. 5.若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是________. x+1

【合作释疑】函数单调性的判断
【训练 1】 试讨论函数 f(x)= ax (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1

1

x 【训练 2】 已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围.

函数单调性的应用 f?a?+f?b? 【训练 1】 已知 f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且 f(1)=1,若 a,b∈[-1,1],a+b≠0 时,有 >0 a+b 成立. (1)判断 f(x)在[-1,1]上的单调性,并证明它; 1 ? 1 x+ ?<f? (2)解不等式:f? ? 2? x-1 ;

?

?

(3)若 f(x)≤m2-2am+1 对所有的 a∈[-1,1]恒成立,求实数 m 的取值范围.

2 ? ?x +4x,x≥0, ? 【训练 2】 (1)已知函数 f(x)= 若 f(1-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是________. 2 ?2x-x ,x<0, ?

(2)已知函数 f(x)=

2-ax (a≠1)是区间(0,1]上的减函数,则实数 a 的取值范围为 ________. a-1

函数的最值及其应用 【训练 1】 已知函数 f(x)= x2+2x+a ,x∈[1,+∞). x

1 (1)当 a= 时,求函数 f(x)的最小值; 2 (2)若对任意 x∈[1,+∞ ),f (x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围.

2

【训练 2】 若对任意 x∈(0,1],函数 f(x)=x|x-a|-2 的值恒为负数,则实数 a 的取值范围是________.

【当堂达标】
1 1. 下 列函数: ①y=x+1; ②y=-x3; ③y= ; ④y=x|x|, 其中既是奇函数又是增函数的序号是________. x ex-e x 2.下列函数:①y=cos 2x,x∈R;②y=log2|x|,x∈R 且 x≠0;③y= ,x∈R;④y=x3+1,x 2


∈R,其中既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的是________. 3.已知函数 f(x)=e|x a|(a 为常数).若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围是________.


3 2 ? ?x? 4.设 f(x)=x2-1,对任意 x∈? ?2,+∞?,f?m?-4m f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒 成立,求实数 m 的取值范 围.

【课后作业】1.下列函数中:①f(x)=x;②f(x )=(x-1)2;③f(x)=ex;④f(x)=ln(x+1),满足“对任
意 x1x2∈(0,+∞),当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2)”的函数序号是________. 2 2. 下列函数中: ①y=-x+1; ②y= x; ③y=x2-4x+5; ④y= , 在区间(0,2)上为增函数的是________(填 x 所有正确的编号). 3.若函数 f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2 在区间(-∞,1]上是减函数,则 a 的取值范围是________. 4.下列函数:①y=x3;②y=|x|+1;③y=-x2+1;④y= 2 序号是________.
-|x|

1

.既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数

3

5.已知 f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且 f(x)在(-1,1)上是减函数,则不等式 f(1-x)+f(1-x2)<0 的解 集为________.

6.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x≤0 时,y=f(x)是减函数,若|x1|<|x2|,则结论:①f(x1) -f(x2)<0;②f(x1)-f(x2)>0;③f(x1)+f(x2)<0;④f(x1)+f(x2)>0 中成立的是________(填所有正确的编 号). 1 1 7.已知函数 f(x)= - (a>0,x>0). a x (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在? ?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值.

2 8.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1)=- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数. (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

4


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