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2013年第30届全国中学生高中物理竞赛复赛试题及评分标准


2013 年第 30 届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答及评分标准 一、 (15分)一半径为 R 、内侧光滑的半球面固定在地面上,开口 且朝上. 一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度,其大 v 0 ( v0 ? 0 ). 求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率. 重力加速 v0 水 平 小 为 度 大 小为 g . 1 二、 (20 分)一长为 2l 的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上,杆的两端分别固定一质量为 m 的小物块 D 和一质量为 ? m ( ? 为常数)的小物块 B,杆可绕通过小物块 B 所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动. 一 质量为 m 的小环 C 套在细杆上(C 与杆密接) ,可沿杆滑动,环 C 与杆之间的摩擦可忽略. 一轻质弹簧原 长为 l,劲度系数为 k,两端分别与小环 C 和物块 B 相连. 一质量为 m 的小滑块 A 在桌面上以垂直于杆的速 度飞向物块 D,并与之发生完全弹性正碰,碰撞时间极短. 碰撞 时滑块 C 恰好静止在距轴为( r > l )处. 1. 2. 若碰前滑块 A 的速度为 v0 ,求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量; 若碰后物块 D、C 和杆刚好做匀速转动,求碰前滑块 A 的速度 v0 应满足的条件. 2 三、 (25 分)一质量为 m 、长为 L 的匀质细杆,可绕过其一端的光滑水平轴 O 在竖直平面内自由转动. 杆 在水平状态由静止开始下摆, 1. 令? ? m 表示细杆质量线密度. 当杆以角速度 ? 绕过其一端的光滑水平轴 O 在竖直平面内转动时,其 L 转动动能可表示为 Ek ? k ? ? ? ? L? 式中,为待定的没有单位的纯常数. 等. 由此求出 ? 、 ? 和的值. 2. 已知系统的动能等于系统的质量全部集中在质心时随质心一起运动的动能和系统在质心系 (随质心平动 已知在同一单位制下,两物理量当且仅当其数值和单位都相等时才相 的参考系)中的动能之和,求常数的值. 3. 试求当杆摆至与水平方向成 ? 角时在杆上距 O 点为处的横截面两侧部分的相互作用力 . 重力加速度大 小为 g . 提示:如果 X (t ) 是的函数,而 Y ( X (t )) 是 X (t ) 的函数,则 Y ( X (t )) 对的导数为 dY ( X (t )) dY dX ? dt dX dt 例如,函数 cos ? (t ) 对自变量的导数为 dcos? (t ) dcos? d? ? dt d? dt 3 四、 (20 分) 图中所示的静电机由一个半径为 R 、 与环境绝缘的开口 (朝上) 球壳形的容器和一个带电液滴产生器 G 组成. 质量为 m 、带电量为的球形液 G 缓慢地自由掉下(所谓缓慢,意指在 G 和容器口之间总是只有一滴液滴). 开始下落时相对于地面的高度为. 设液滴很小,容器足够大,容器在达到最 势之前进入容器的液体尚未充满容器. 忽略 G 的电荷对正在下落的液滴的 重力加速度大小为. 若容器初始电势为零,求容器可达到的最高电势 Vmax . 金 属 滴 从 液 滴 高 电 影响. 4 五、 (25 分) 平行板电容器两极板分别位于 z ? ? d 的平面内, 2 电容 小为 器起初未被充电. 整个装置处于均匀磁场中,磁感应强度大 B ,方向沿轴负方向,如图所示. 1. 在电容器参考系中只存在磁场;而在以沿y轴正方向 定速度 (0, v, 0) (这里 (0, v,0) 表示为沿x、y、z轴正方向的速 量分别为0、 、 0, 以下

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