当前位置:首页 >> 数学 >>

2015-2016学年高中数学北师大版必修3配套课件:1-8 《 最小二乘估计》


§8

最小二乘估计

1、经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程;

2、知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程
系数公式建立线性回归方程.

上节课我们讨论了人的身高与右手一柞长之间的线性 关系,用了很多种方法来刻画这种线性关系,但是这些方

法都缺少数学思想依据.
问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些? 想法:保证这条直线与所有点都近(也就是距离最小). 最小二乘法就是基于这种想法.

问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会更方便有效?

方法一:点到直线的距离公式
y

?x , y ?
i i

y ? a ? bx

方法二:

?x ,a ? bx ?
i i

0

x

问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度?

先来讨论3个样本点的情况

…………………①

2 2 2 2 ? ? ? 3 ?a - 2( a y - bx)? ? ( y1 - bx1) ? ( y2 - bx2 ) ? ( y3 - bx3 )

利用配方法可得

同样使用配方法可以得到,当

从而得到直线y=ɑ+bx的系数ɑ,b,且称直线y=ɑ+bx为这3个
样本点的线性回归方程.

用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数:

?

2 2 (x ) ? n(x) ? i i ?1

i ?1 n

?x y
i

n

i

? nx y

思考:如果样本点只有两个,用最小二乘法得到的直线 与两点式求出的直线一致吗? 解:是一致的.

与两点式相同.

例1 在上一节练习中,从散点图可以看出,某小卖部6天卖 出热茶的杯数(y)与当天气温(x)之间是线性相关的.数 据如下表
气温(xi)/ ℃ 杯数(yi)/杯 26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 -1 64

(1)试用最小二乘法求出线性回归方程. (2)如果某天的气温是-3℃,请预测当天小卖部可能会卖出

热茶多少杯.

解:(1)先画出其散点图可以求得

b ? ?1.648,a ? 57.557 则线性回归方式为 y ? 57.557 ? 1.648x
70

杯数/杯

60

50

40

30

20

10

气温 / ℃
20 40 60

-20

-10

(2)当某天的气温是-3℃时,当天卖出热茶的杯数估计 为:

1、 已知x,y之间的一组数据如下表,则y与x的线性回归方 程y=a+bx必经过点 ( (A)(2,2) (C)(1,2)
x y 0 1 1 3

D

) (B)(1.5,0) (D)(1.5,4)
2 5 3 7

2、某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额 资料如下表:

(1)画出销售额和利润额的散点图;
(2)若销售额和利润额具有相关关系,计算利润额y对销 售额x的线性回归方程.
商店名称 A B C D E

销售额(x)/千万元
利润额(y)/百万元

3
2

5
3

6
3

7
4

9
5

12 8

6 10

y /百万元

解:(1)

4 8

2 6

4
-10 -5

0

5

10

x /千万元

15

2 -2

(2)数据如下表:可

-4

以求得b=0.5,a=0.4
线性回归方程为:
-6 -2 -8 -4

-10

-5

-10 -6

i 1 2 3 4 5 合计

xi 35 5 6 7 9 30

yi 2 3 3 4 5 17

xi2 10 9 25 36 49 81 200

xiyi 6 15 15 18 28 45 112

-8 -12

求线性回归方程的步骤: 1.列表、计算. 2.代入公式求a,b. 3.写出直线方程.

利用试验数据进行拟合时,所用数据越多,拟合效果
越好.但即使选取相同的样本数,得到的直线方程也可能 是不相同的,这是由样本的随机性造成的,样本量越大, 所估计的直线方程越能更好地反映变量之间的关系.

3.下面是两个变量的一组数据:
x y 1 1 2 4 3 9 4 16 5 25 6 36 7 49 8 64

请用最小二乘法求出这两个变量之间的线性回归方程
1 2 3 4 5 6 7 8 合计 36 1 4 9 16 25 36 49 64 204 1 4 9 16 25 36 49 64 20 4 1 8 27 64 125 216 343 512 1296

y=-15+9x.

思考:哪一个对呢?

所以,利用最小二乘法估计时,要先作出数据的散点图.如

果散点图呈现一定的规律性,我们再根据这个规律性进行拟
合.如果散点图呈现出线性关系,我们可以用最小二乘法估 计出线性回归方程;如果散点图呈现出其他的曲线关系,我 们就要利用其他的工具进行拟合.

1、最小二乘法的思想 2、线性回归方程的系数:

?

? (x )
i ?1 i

i ?1 n

?x y
i

n

i

? nx y ? n(x) 2

2

一切澎湃于心,让我们真正能够在心里有 所酝酿的东西,都值得我们去努力.


相关文章:
高中数学必修3北师大版 最小二乘估计 学案(Word版含答案)
高中数学必修3北师大版 最小二乘估计 学案(Word版含答案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修三北师大版 学案 导学案 (Word版含答案) ...
1.8最小二乘估计教案(高中数学北师大版必修3)
1.8最小二乘估计教案(高中数学北师大版必修3) - § 8 最小二乘估计 ●三维目标 1.知识与技能 利用散点图判断线性相关关系,了解最小二乘法的思想及回归方程...
北师大版高中数学(必修3)1.9《最小二乘估计》word教案
北师大版高中数学(必修3)1.9《最小二乘估计》word教案_教学案例/设计_教学研究_教育专区。最小二乘估计 教学目标:1、掌握最小二乘法的思想 2、能根据给出的...
高中数学必修三北师大版 最小二乘估计 导学案(Word版含...
高中数学必修三北师大版 最小二乘估计 导学案(Word版含答案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修三北师大版 学案 导学案 (Word版含答案) ...
高中数学必修三北师大版 最小二乘估计教案_图文
高中数学必修三北师大版 最小二乘估计教案 - 《最小二乘估计(第二课时) 》 教学设计 教学内容解析: 本节课是高中数学北师大版必修 3统计》 第8...
高中数学北师大版必修3 最小二乘法 教案
高中数学北师大版必修3 最小二乘法 教案 - 1.9 最小二乘、 教学目标: 经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。 知道最小二乘法的思想, 能...
...年最新北师大版高中数学必修三《最小二乘估计》拓展...
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修三《最小二乘估计》拓展练习及解析 - 2017-2018 学年(新课标)北师大版高中数学必修三 最小二乘估计 拓展练习...
...年最新北师大版高中数学必修三《最小二乘估计》同步...
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修三《最小二乘估计》同步练习及解析 - 2017-2018 学年(新课标)北师大版高中数学必修三 最小二乘估计 同步练习...
1.8最小二乘估计 教案(北师大版必修3)
1.8最小二乘估计 教案(北师大版必修3)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。§8 最小二乘估计 [读教材· 填要点] 1.回归直线 如果两个变量散点图中点的分布...
1.8最小二乘估计 学案 高中数学必修三北师大版
1.8最小二乘估计 学案 高中数学必修三北师大版 - §8 最小二乘估计 [读教材· 填要点] 1.回归直线 如果两个变量散点图中点的分布从整体上看大致在条直线...
更多相关标签: