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空间点线面位置关系练习


1. 如图 1 所示,在四面体 P—ABC 中,已知 PA=BC=6, PC=AB=10, AC=8, PB= 2 34 .F 是线段 PB 上一点,CF ?
15 17 34 ,

P F E A
如图 1

点 E 在线段 AB 上,且 EF⊥PB. (Ⅰ)证明:PB⊥平面 CEF; (Ⅱ)求二面角 B—CE—F 的正切值. [解](I)证明: ∵ PA
2

B C

? AC

2

? 36 ? 64 ? 100 ? PC

2

∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形,同理可证 △PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形,△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形 故 PA⊥平面 ABC 又∵ S ? P B C ?
1 2

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1 2

| P C || B C | ?

1 2

? 10 ? 6 ? 30



| PB || CF | ?

1 2

? 2 34 ?

15

34 17

? 30 ? S ? PBC ,故 CF⊥PB,又已知 EF⊥PB

∴PB⊥平面 CEF (II)由(I)知 PB⊥CE, PA⊥平面 ABC∴AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影,故 AB⊥CE 在平面 PAB 内,过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1,则 FF1⊥平面 ABC, EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影,∴EF⊥EC 故∠FEB 是二面角 B—CE—F 的平面角 tan ? FEB ? cot ? PBA ?
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AB AP

?

10 6

?

5 3

二面角 B—CE—F 的大小为 arctan

5 3

2. 已知正三棱锥 P ? ABC 的体积为 72 3 , 侧面与底面所成的二面 角的大小为 60 ? 。 (1)证明: PA ? BC ; (2)求底面中心 O 到侧面的距离. [证明](1)取 BC 边的中点 D ,连接 AD 、 PD , 则 AD ? BC , PD ? BC ,故 BC ? 平面 APD . ∴ PA ? BC . (2)如图, 由(1)可知平面 PBC ? 平面 APD ,则 ? PDA 是 侧面与底面所成二面角的平面角. 过点 O 作 OE ? PD , E 为垂足,则 OE 就是点 O 到侧面的距离. 设 OE 为 h ,由题意可知 点 O 在 AD 上 , ∴
? PDO ? 60
?

, OP ? 2 h . ?
1 3 8 3 3

OD ?

2h 3

,

?

BC ? 4 h

, ∴

S ? ABC ?
h ? 3.

3 4

(4h)

2

? 4 3h

2



72

3 ?

? 4 3h

2

? 2h ?

h

3

,∴

C1 A1

B1

即底面中心 O 到侧面的距离为 3.

3 如图, 在直三棱柱 A B C ? A1 B1C 1 中,
A C ? 3, B C ? 4, A B ? 5, A A1 ? 4 ,点 D 为 A B 的中点

C
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B D

A

(Ⅰ)求证 A C ? B C1 ;(Ⅱ) 求证 A C 1 ? 平 面 C D B1 ;(Ⅲ)求异面直线 A C 1 与 B 1 C 所成角的余 弦值 [解](I)直三棱柱 ABC-A1B1C1,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5, ∴ AC⊥BC,且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC,∴ AC⊥BC1; (II)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, ∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∴ DE//AC1, ∵ DE ? 平面 CDB1, 1 ? 平面 CDB1, AC ∴ AC1//平面 CDB1; (III)∵ DE//AC1, ∴ ∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角,
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C1 A1
E

B1

C A
2 5 2

B D

在△CED 中,ED=

1 2

AC 1=
8

5 2

,CD=
2 5 2

1 2

AB=

5 2

,CE=

1 2

CB1=2 2 ,

∴ cos ? C E D ?
2?2

2?

5 2

?

, 异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值 ∴

.

4.如图,直二面角 D—AB—E 中,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,AE=EB,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (Ⅰ)求证 AE⊥平面 BCE; C D (Ⅱ)求二面角 B—AC—E 的正弦值; (Ⅲ)求点 D 到平面 ACE 的距离. [解]本题主要考查直线、直线和平面基点和平面的距离等基础 知识,考察空间想象能力,逻辑思维能力和运算能力 F
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(I)? B F ? 平 面 A C E ,? B F ? A E ,
? 二 面 角 D -A B -E 为 直 二 面 角 , 平 面 A B C D ? 平 面 A B E , ?

A

B

E
D
又 BC ? AB, BC ? 平 面 ABE, BC ? AE , ? ?
又 BF ? 平 面 BCE, BF ? BC=B, AE ? 平 面 BCE。 ?
G

C

(II)连结 AC、BD 交于 G,连结 FG,∵ABCD 为正方形,∴BD ⊥AC,∵BF⊥平面 ACE,∴FG⊥AC,∠FGB 为二面角 B-AC-E 的平 面角,由(I)可知,AE⊥平面 BCE, ∴AE⊥EB,又 AE=EB,AB=2,AE=BE= 2 , 在直角三角形 BCE 中,CE= B C ? B E
2 2

A

F O E B

?

6 , BF ?

BC ? BE CE

?

2

2 6

?

2 3

2

在正方形中,BG= 2 ,在直角三角形 BFG 中, s in ? F G B ?

BF BG

?

3 2

?

6 3

∴二面角 B-AC-E 为 a rc s in

6
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3

(III)由(II)可知,在正方形 ABCD 中,BG=DG,D 到平面 ACB 的距离等于 B 到平 面 ACE 的距离,BF⊥平面 ACE,线段 BF 的长度就是点 B 到平面 ACE 的距离,即为 D 到 平面 ACE 的距离 所以 D 到平面的距离为
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2 3

?

2 3
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3
?

5. 已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,? DAB ? 90 , PA ? 底面 ABCD, PA=AD=DC=
1 2

AB=1,M 是 PB 的中点

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(Ⅰ)证明:面 PAD⊥面 PCD; (Ⅱ)求 AC 与 PB 所成的角的余弦值; M (Ⅲ)求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的 余弦值 (Ⅰ)证明:∵PA⊥面 ABCD,CD⊥AD, ∴由三垂线定理得:CD⊥PD. 因而,CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD,PD 都垂直, ∴CD⊥面 PAD. 又 CD ? 面 PCD,∴面 PAD⊥面 PCD. (Ⅱ)解:过点 B 作 BE//CA,且 BE=CA, 则∠PBE 是 AC 与 PB 所成的角.
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P

A

B

D

C

连结 AE,可知 AC=CB=BE=AE= 2 ,又 AB=2, 所以四边形 ACBE 为正方形. 由 PA⊥面 ABCD 得∠PEB=90° 在 Rt△PEB 中 BE= 2 ,PB= 5 ,
? cos ? PBE ? BE PB 10 5 ? 10 5 .

? AC 与 PB 所成的角为

arccos

.

(Ⅲ)解:作 AN⊥CM,垂足为 N,连结 BN. 在 Rt△PAB 中,AM=MB,又 AC=CB, ∴△AMC≌△BMC, ∴BN⊥CM,故∠ANB 为所求二面角的平面角 ∵CB⊥AC,由三垂线定理,得 CB⊥PC, 在 Rt△PCB 中,CM=MB,所以 CM=AM.
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在等腰三角形 AMC 中,AN·MC= CM

2

?(

AC 2

) ? AC ,
2

3 ? AN ? 2

? 5 2

2 ?

6 5

.

∴AB=2,? cos ? ANB ?

AN

2

? BN

2

? AB

2

2 ? AN ? BN

? ?

2 3

故所求的二面角为 arccos( ?

2 3

).


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