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14.2.2 一次函数(分段函数 第4课时)


八年级 数学

第十四章 函数

14.2.2一次函数

分段函数

例1、黄金1号种子的价格为5元/千克,如果一次 购买2千克以上的种子,超过2千克部分的种子打 8折.

(1)填写下表:

(2)求出购买种子数量与付款金额之间的函数 关系式,并画出函数图象.

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第十四章 函数

14.2.2一次函数

分段函数

(1)
2.5 5 7.5 10 12 14 16 18 分析:付款金额与种子价格有关,问题中种子价格不是 固定不变的,它与购买种子数量有关,设购买x千克种子,当 0≤x≤2时,种子价格为5元/千克;当x>2时,其中有2千克种子 按5元/千克计价,其余的(x-2)千克(即超出2千克部分) 种子按4元/千克(即8折)计价,因此,写函数解析式与画函 数图象时,应对0≤x≤2和x>2分段讨论. (2)设购买种子数量为x千克,付款金额为y元. 当0≤x≤2时,y=5x. 当x>2时,y=4(x-2)+10=4x+2.

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14.2.2一次函数

分段函数

像上述函数这样,在一个变化过程中,自变量取值范围不同 ,其所对应的函数也不同的函数,称为分段函数。

x y
函 数 图 象 如 图 :

0 0 y

0.5 2.5

1 5

1.5

2 2

2.5 12

3 14

3.5 4.5 16 18

7.5 10 10

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2
-1 0 1 2 3

y=

{

5x

(0≤x ≤ 2),

4x+2 (x>2).

4

5

6

7

8

9 10 x

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第十四章 函数

14.2.2一次函数

分段函数

1、课本第119页 练习
2、如图,某产品的生产流水线每小时可以生产100件产品,生 产前没有产品积压,生产3小时后,安排1人装箱,若每小时装 产品150件,未装箱的产品数量(y)是生产时间x的函数,那 么,这个函数的大致图象只能是( )
y
A B
A

y

y
A
A

y
B

O

x

B

x

O

B

x

C

x

( A )

( B )

( C )

( D )

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分段函数

? 我们周围的还存在哪些分段函数的实例。
如:出租车计费问题, 阶梯水费、电费, 个人所得税, 邮资等等

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第十四章 函数 试一试

14.2.2一次函数

例2、近几年来,由于经济和社会发展迅速,用电矛盾越来 越突出.为缓解用电紧张,某电力公司特制定了新的用电收 费标准,每月用电量x(度)与应付电费y(元)的关系如图 所示. ⑴请你根据图象所描述的信息, 分别求出当0≤x≤50和x>50时,y 与x的函数关系式.

⑵根据你的分析:当每月用电量不 0.5元/度 超过50度时,收费标准是_______; 当每月用电量超过50度时,收费标 准是:不超过50度部分按0.5元/度计算,超过部分按0.9元/度计算。

?0.5 x ? 0 ? x ? 50 ? ? y?? ?0.9 x ? 20 ? x ? 50 ? ?

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第十四章 函数

14.2.2一次函数

分段函数

C

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14.2.2一次函数

分段函数

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14.2.2一次函数

分段函数

例3、已知正方形ABCD的边长是1,E是CD边上中点, P为正方形ABCD边上的一个动点,动点P从A点出发, 沿折现ABCE运动,到达点E,若点P经过的路径为自 变量x,△APE的面积为函数y,试求出该函数关系式, 1 并指出当y= 时,x的值是多少?
3

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14.2.2一次函数

分段函数

图1

图2

图3

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第十四章 函数

14.2.2一次函数

课堂小结

1.分段函数,讨论的方法与一次函数类似.

2.较复杂的综合题的解法,先画出草图,然后根 据数形结合及待定系数求出相应的解析式.

1、如图,正方形ABCD的边长为6cm,动点P从A点出发, 在正方形的边上由A→B→C→D运动,设运动的时间为t (s),△APD的面积为S(cm2),S与t的函数图象如图 所示,请回答下列问题:

(1)点P在AB上运动时间为 s,在CD上运动的速度 为 cm/s,△APD的面积S的最大值为 cm2; (2)求出点P在CD上运动时S与t的函数解析式; (3)当t为 s时,△APD的面积为10cm2.

2、如图1,等边△ABC中,BC=6cm,现有两个动点P、Q 分别从点A和点B同时出发,其中点P以2cm/s的速度沿AB 向终点B移动;点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动,其 中一点到终点,另一点也随之停止.连接PQ,设动点运 动时间为x秒.(图2、图3备用) (1)填空:BQ= ,PB= (用含x的代数式表示) (2)当x为何值时,PQ∥AC? (3)当x为何值时,△PBQ为直角三角形?

3、如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点P从A出发 沿A→B→C→D的路线移动,设点P移动的路线为x, △PAD的面积为y.

(1)写出y与x之间的函数关系式,并在坐标系中画出 这个函数的图象. (2)求当x=4和x=18时的函数值. (3)当x取何值时,y=20,并说明此时点P在矩形的哪 条边上.

4、如图1,在矩形ABCD中,点P从B点出发沿着四边按 B→C→D→A方向运动,开始以每秒m个单位匀速运动, a秒后变为每秒2个单位匀速运动,b秒后又恢复为每秒 m个单位匀速运动.在运动过程中,△ABP的面积S与 运动时间t的函数关系如图2所示.

(1)求矩形ABCD的长和宽; (2)求m、a、b的值

5、如图1所示,在直角梯形ABCD中,AB∥DC, ∠B=90°.动点P从点B出发,沿梯形的边B→C→D→A 运动.设点P运动的路程为x,△ABP的面积为y.把y看 作x的函数,函数的图象如图2所示,试求当0≤x≤9时y与 x的函数关系式.

6、如图1,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P从 A点出发,沿A→B→C→D路线运动,到D点停止;点Q从 D点出发,沿D→C→B→A运动,到A点停止.若点P、点 Q同时出发,点P的速度为每秒1cm,点Q的速度为每秒 2cm,a秒时点P、点Q同时改变速度,点P的速度变为每秒 b(cm),点Q的速度变为每秒c(cm).如图2是点P出发 x秒后△APD的面积S1(cm2)与x(秒)的函数关系象; 图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm2)与x(秒)的 函数关系图象.根据图象: (1)求a、b、c的值; (2)设点P离开点A的路程为y1(cm),点Q到点A还需 要走的路程为y2(cm),请分别写出改变速度后y1、y2与 出发后的运动时间x(秒)的函数关系式,并求出P与Q相 遇时x的值.

7、“五一黄金周”的某一 天,小明全家上午8时自驾小汽车 从家里出发,到距离180千米的某著名旅游景点游玩。该小汽 车离家的距离s(千米)与时间t(时)的关系可以用图中的曲线 表示。根据图象提供的有关信息,解答下列问题:

(1)小明全家在旅游景点游 玩了多少小时?
(2)求出返程途中,s(千米) 解:由图像可知,小明全家在旅游 与时间t(时)的函数关系,并回 景点游玩了4小时。 答小明全家到家是什么时间?
解:设s=kx+b,由(14,180) (3)若出发时汽车油箱中存油15 及(15,120)得 升,该汽车的油箱总容量为35升, 14k+b=180 ① 汽车每行驶1千米耗油1/9升。请 15k+b=120 ② 解方程组得 k=-60,b=1020。 你就“何时加油和加油量”给小 ∴S=-60t+1020 (14≤t≤17) 明全家提出一个合理化建议。 令S=0,得t=17。 ∴返程途中S 与时间t的函数关系是S=-60t+1020, (加油所用时间忽略不计) 小明全家当天17:00到家。

(3)本题答案不唯一,只要合理即可,但需注意合理性, 主要体现在: ①9:30前必须加一次油; ②若8:30前将油箱加满,则当天在油用完前的适当时 间必须第二次加油; ③全程可多次加油,但加油总量至少为25升。

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第十四章 函数

14.2.2一次函数

归纳

一个模型: 一个方法: 一个数学思想 一个意识:

分段函数

数学模型方法
分类讨论

数学“源于生活、寓于生活、用于生活”

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第十四章 函数

用心体会生活,处处有数学!


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