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2015届高考数学(理)基础知识总复习精讲课件:第10章 第3节 排列与组合(二)


高考总复习?数学(理科)

第十章
第三节 排列与组合(二)

高考总复习?数学(理科)

用定义法求组合数
【例1】 (1)方程x+y+z=9共有n组正整数解,则n等于

_____________. (2)10 名战士站成一排,从中任选 3 个互不相邻的战士去

执行一项任务,则不同的选派方法的种数是_____________.

高考总复习?数学(理科)

解析: (1) 将 9 个 1 摆成一个横排,在除两端外侧的 8 个空
当中放上两个“+”号,将9个1分成三组,左、中、右三组
2 C 中1的个数,分别为x,y,z的值,所以共有 =28组解. 8

(2)问题可理解为:7个人站在一排,现有3人插队,但不
相邻,共有多少种选位方法?每选三个位置算1种选法.因为 7人前后共有8个空当,所以共有C 3 =56种不同的选法. 8 答案:(1)28 (2)56 点评:组合数计数对应的元素不考虑其在位置上的顺序, 解决有关组合数计数问题时,关键是理解所取的元素在分配 中没有顺序或只有一种顺序.

高考总复习?数学(理科) 变式探究 1.(1)甲、乙两队各派5人按事先排定的顺序进行围棋擂 台赛,当一方5人全部负于对方时算一种比赛结果,则甲方获 胜的比赛结果共有________种可能. (2)从2,3,…,8七个自然数中任取三个数组成有序数组a, b,c,且a<b<c,则不同的数组有________.

高考总复习?数学(理科) 解析: (1) 一方获胜至少要下 5 盘棋,至多要下 9 盘棋, 问题可理解为:在9盘对局中,甲方有且只有5盘对局获胜,
5种可能. 则甲方获得比赛胜利,所以共有C =126 9

(2)不同的数组有C 3 =35组. 7

答案:(1)126 (2)35

高考总复习?数学(理科) 结合两个计数原理求组合数

【例2】

学校资料室有相同的物理书 3本,历史书 2本,

数学书 4本,分别借给4 个理科学生和 3 个文科学生,每人限 借与本学科相关的书1本,求共有多少种不同的借法?

高考总复习?数学(理科)

解析:依据题意,至少有 1 个文科学生和 1 个理科学生借数 学,分为三大类: ①仅有 1 个文科学生借数学,则对另外 3 本数学书可能只有 1 个理科学生借,也可能有 2 个理科学生借,还可能有 3 个理科 1 2 3 学生借,所以共有 C1 (C + C + C 3 4 4 4)种方法; ②有 2 个文科学生借数学,则对另外 2 本数学书可能只有 1 1 2 个理科学生借,也可能有 2 个理科学生借,所以共有 C2 (C + C 3 4 4) 种方法; ③3 个文科学生都借数学,另一本数学借给 1 个理科学生, 有 C1 4种方法. 1 2 3 2 1 2 1 由分类计数原理, 共有 C1 (C + C + C ) + C (C + C ) + C 3 4 4 4 3 4 4 4=76 种.

高考总复习?数学(理科) 点评:实际问题中的计数问题一般都可以由两个计数原

理来求出.在每类或每步计数中,如果能用组合数公式计数
就直接按组合数公式计算.

高考总复习?数学(理科) 变式探究 2.四位数 “2012”含有数字0,1,2,且有两个数字2. 则含 有数字0,1,2,且有两个相同数字的四位数的个数为( A.18 B.24 C.27 D.36 )

高考总复习?数学(理科) 解析:依题意,就所含的两个相同数字是否为0进行分类

计数:第一类,所含的两个相同数字是0,则满足题意的四位
2 数的个数为 C2 3A2 =6;第二类,所含的两个相同数字不是0, 1 1 则满足题意的四位数的个数为 C1 · C C3=18.由分类加法计数原 2 3· 理得,满足题意的四位数的个数为6+18=24,选B.

答案:B

高考总复习?数学(理科) 用间接法求组合数 【例 3】 无3点共线. 平面上有 9 个点,其中有 4 个点共线,除此外

(1)用这9个点可以确定多少条直线? (2)用这9个点可以确定多少个三角形?

(3)用这9个点可以确定多少个四边形?

高考总复习?数学(理科) 解析:(1)确定一条直线需要两个点,因为有4个点共线,

所以这9个点所确定直线的条数为
3 确定三角形的个数为 C3 9-C4=80.

2 C2 9-C4+1=31.

(2)确定一个三角形需要三个不共线的点,所以这9个点

(3)确定一个四边形需要四个不共线的点,所以这9个点
1 3 4 确定四边形的个数为 C4 - C C - C 9 5 4 4=105.

点评:当一个组合数的分类较多,或正面求解较复杂时, 可用从反面考虑,在整体中把不符合的组合数去掉得到满足 条件的组合数.

高考总复习?数学(理科) 变式探究

3.从4名男生和5名女生中任选5人参加数学课外小组.
(1)选2名男生和3名女生,且女生甲必须入选的方法数为 ________; (2) 最多选 4 名女生,且男生甲和女生乙不同时入选的方 法数为________.

高考总复习?数学(理科)
解析:(1)(法一)先从 4 名男生中选 2 人,有 C2 4种选法,再从 除甲外的 4 名女生中选 2 人,有 C2 4种选法.由分步计数原理,共 2 有 C2 C 4 4=36 种. 3 (法二)从 4 名男生中选 2 名, 从 5 名女生中选 3 名, 共 C2 4C5种 3 3 2 3 选法, 其中女生甲不入选的方法有 C2 所以共有 C2 4C4种. 4C5-C4C4 =36 种. (2)从 9 人中任选 5 人的选法有 C5 其中 5 名女生都入选的 9种. 选法有 C5 男生甲和女生乙同时入选的选法有 C3 所以符合 5种, 7种. 5 3 条件的选法共有 C5 - C - C 9 5 7=90 种. 答案:(1)36 (2)90

高考总复习?数学(理科) 排列组合应用题 【例 4】 按下列要求分配 6本不同的书,各有多少种不同

的分配方式?
(1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;

(2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; (3)平均分成三份,每份2本; (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;

(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本;

高考总复习?数学(理科) (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本. 思路点拨: 这是一个分配问题,解题的关键是搞清事件是 否与顺序有关,对于平均分组问题更要注意顺序,避免计数的

重复或遗漏.
解析:(1)无序不均匀分组问题.先选 1 本有 C1 6种选法;再从 3 余下的 5 本中选 2 本有 C2 种选法;最后余下 3 本全选有 C 5 3种方 2 3 法.故共有 C1 C 6 5C3=60 种.

高考总复习?数学(理科)
(2)有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人,在 2 3 3 第(1)题基础上,还应考虑再分配,共有 C1 6C5C3A3=360 种.
2 2 (3)无序均匀分组问题.先分三步,则应是 C2 C 6 4C2种方法,但 是这里出现了重复.不妨记 6 本书为 A,B,C,D,E,F,若第 一步取了 AB, 第二步取了 CD, 第三步取了 EF, 记该种分法为(AB, 2 2 CD,EF),则 C2 C 6 4C2种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB, EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共 A3 3种 情况,而这 A3 3种情况仅是 AB,CD,EF 的顺序不同,因此只能 2 2 C2 C 6 4C2 作为一种分法,故分配方式有 A3 =15 种. 3

高考总复习?数学(理科)
(4)有序均匀分组问题.在第(3)题基础上再分配给 3 个人,共 2 2 C2 C 6 4C2 2 2 2 有分配方式 A3 · A3 = C 3 6C4C2=90 种. 3
1 1 C4 6C2C1 (5)无序部分均匀分组问题.共有 A2 =15 种. 2

(6)有序部分均匀分组问题.在第(5)题基础上再分配给 3 个 1 1 C4 6C2C1 人,共有分配方式 A2 · A3 3=90 种. 2 (7)直接分配问题. 甲选 1 本有 C1 乙从余下 5 本中选 6种方法, 4 1 1 4 1 本有 C1 种方法, 余下 4 本留给丙有 C 种方法. 共有 C 5 4 6C5C4=30 种.

高考总复习?数学(理科) 点评:均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组

是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断
分组是均匀分组还是不均匀分组.无序均匀分组要除以均 匀组数的阶乘数;还要充分考虑到是否与顺序有关,有序

分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.

高考总复习?数学(理科)

变式探究
4.(1)平面内有 n 条直线任意两条都相交,任意三条都不交 于一点,则这 n 条直线的交点的个数为( ) A.n(n-1) n?n-1? C. 2 B.(n-1)(n-2) ?n-1??n-2? D. 2

(2)有4张分别标有数字1,2,3,4的红色卡片和4张分别标有

数字1,2,3,4的蓝色卡片,从这8张卡片中取出4张卡片排成一
行,如果取出的 4张卡片所标的数字之和等于 10 ,那么不同 的排法共有__________种(用数字作答).

高考总复习?数学(理科)
解析:(1)这 n 条直线交点的个数为 n?n-1? 2 Cn= .

2 (2)取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10,共有三种情况: 1,1,4,4;2,2,3,3;1,2,3,4. 所取卡片是 1,1,4,4 的共有 A4 4种排法, 所取卡片是 2,2,3,3 的共有 A4 4种排法, 所取卡片是 1,2,3,4,则其中卡片颜色可为无红色,1 张红色, 1 4 2 4 3 4 2 张红色, 3 张红色, 全是红色, 共有排法 A4 + C A + C A + C 4 4 4 4 4 4A4 4 +A4 = 16A 4 4种, 所以共有排法 18A4 4=18×4×3×2×1=432 种. 答案:(1)C (2)432


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