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一元二次不等式及其解法课件


§3.2 一元二次不等式 及其解法

靖远一中 吕兴金

创设情景 引入新课
学校要在长为8,宽为6 的 一块长方形地面上进行绿化, 计划四周种花卉,花卉带的宽 度相同,中间种植草坪(图中 阴影部分)为了美观,现要求 草坪的种植面积超过总面积 的一半,此时花卉带的宽度的 取值范围是什么?
设:花卉带的宽为 x(0 ?<

br />
x

x x

x

x

x

x

x

x ? 3) ,则依题意有
整理得

1 (8 ? 2x)(6 ? 2x) ? ?8? 6 整理得 2

x2 ? 7x ? 6 ? 0

一元二次不等式的定义:
只含有一个未知数,并且未知数最高次 数是2 的不等式叫做一元二次不等式.

一元二次不等式的一般形式:

ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? (a ? 0) 0
2 2

互动探究 发现规律
探究一元二次不等式 x2 ? 7x ? 6 ? 0 的解集 x2 ? 7x ? 6 ? 0 的根与二次 (1)一元二次方程 函数 y ? x2 ? 7 x ? 6 的零点的关系:
二次方程有两个实数根:
y

x1 ? 1, x2 ? 6
二次函数有两个零点:
0 1
o o

6

x

x1 ? 1, x2 ? 6
即:二次方程的根就是二次函数的零点

y

(2)当x取
y>0 y>0 0 1
o o o o

x=1 或 6

时,y=0?

x 6 y<0

当x取 x<1 或 x>6 时,y>0? 当x取 1 < x <6 时,y<0?

(3)由图象得: 不等式x2 ﹛x|x<1或x>6﹜ -x-6>0 的解集为 。 。

不等式x2 -x-6<0 的解集为 ﹛x| 1 <x <6﹜

大于0取两边,小于0取中间.

启发引导 形成结论
△=b2- 4ac
??0 ? ?0
二次函数

??0

二次函数
y ? ax ? bx ? c
2

(a ? 0 ) 的图象

图象

对应二次方程 b x1 , x2 ( x1 ? x2 ) x1 = x2 = 无实根 的根 2a 一元二次方程的根 一元二次不等式的解 2 ax ? bx ? c ? 0 ? x x ? x1或x ? x2 ? ? x x ? ? b ? ? ? 2a ? (a ? 0)的解集 ?

R

ax 2 ? bx ? c ? 0 ? x x1 ? x ? x 2 ? (a ? 0)的解集

?

?

思考
①对于一元二次不等式

ax ? bx ? c ? 0,(a ? 0)或 2 ax ? bx ? c ? 0,(a ? 0)
2

当二次项系数 a ? 0 时如何求解?
ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集与 ②不等式

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集有 不等式
差异吗?

求解一元二 次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序 框图:

△≥0

b x?? 2a

x< x1或x> x2

典例剖析 规范步骤
例1 解不等式 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 .

解:原不等式等价于2 x ? 1)(x ? 2) ? 0 (

?方程 2x ? 3x ? 2 ? 0 的解是 x1 ? ? 1 ,x2 ? 2 . 2 ?原不等式的解集是
2

?x

x ? ? 1 ,或 x ? 2 . 2

?

典例剖析 规范步骤 2 例2 解不等式 ? 3x ? 6x ? 2 .
解:整理,得 3x ? 6 x ? 2 ? 0 .
2

? ? ? 0 ,方程 3x ? 6x ? 2 ? 0 的解是
2

3 ,x ? 1 ? 3 x1 ? 1 ? 2 3 3

?原不等式的解集是
? 3 ? x ? 1? 3 ? . ? x 1? 3 ? 3 ? ?

求一元二次不等式的的一般步骤:
一看:看二次项系数是否为正,若为 负化为正。 二算:算△及对应方程的根。 三写:由对应方程的根,结合不等号 的方向,根据函数图象写出不等式的 解集。

当堂训练 巩固深化
练习:解下列不等式:

(1)3x ? 5x ? 0
2

(2) ? 3x ? 5x ? 0
2

典例剖析 规范步骤
例3 解不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 .
2

解: ? ? 0 , ? 方程 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 1. 的解是 x1 ? x2 ? 2 ?原不等式的解集是 x x ? 1 . 2
2

?

?

当堂训练 巩固深化
解下列不等式:

1 (1) x ? 4 x ? ? 0 4
2

(2) ? x ? 4 x ? 4 ? 0
2

典例剖析 规范步骤
例4 解不等式 ? x ? 2 x ? 3 ? 0 .
2

解:整理,得 x ? 2 x ? 3 ? 0
2

? ? ? 0 ,方程 x ? 2 x ? 3 ? 0 无实数解,
2

?不等式 x ? 2 x ? 3 ? 0 的解集是? .
2

?原不等式的解集是 . ?

当堂训练 巩固深化

1、 求函数 y ? ? 2 x 2 ? x ? 5 的定义域 2、自变量x在什么范围取值时,函数 2 y ? 3x ? x ? 2 的值小于0

小结
1.一元二次不等式的定义与一般形式. 2.三个“二次”的关系. 3.一元二次不等式的解法及其步骤.

4.数学思想:数形结合的思想. 5.认识方法:特殊到一般的辩证法.


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