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圆锥曲线第一定义三点应用


圆锥曲线第一定义的三点应用 摘 要:圆锥曲线的第一定义是解决圆锥曲线问题的主要工具, 其合理和有效的使用能够使题目的本质更加明显,在求解过程中避 免很多繁杂的计算,达到以简驭繁的效果。本文以求轨迹、求最值 和求位置关系为切入点,略陈管见,做了一些浅显的探讨,以求引 玉而已。 关键词:第一定义;轨迹;最值;位置关系 圆锥曲线的有关知识较为抽象,很多学生对于其应用的方式方法 经常难以理解。 为了避免使学生陷入学习困境,降低学习热情,有意识地利用波 利亚的一般解题方法处理问题,增加学生的感性认识就显得尤为重 要。高中阶段,圆锥曲线是一个重要的几何学知识,圆锥曲线包括 椭圆、抛物线、双曲线和圆,通过直角坐标系,它们又与二次方程 对应,所以,圆锥曲线又叫做二次曲线。深刻理解它们的第一定义, 掌握其所反映的这些曲线的本质属性,并能利用或运用椭圆、双曲 线、抛物线的定义来解题,常能使问题化繁为简,化难为易,以期达 到以简驭繁的良好效果。 由于圆锥曲线问题知识的综合性、题型的新颖性、解题方法的灵 活性,思维水平的抽象性,所以高考常常“乐此不疲” ,但“曲高 和寡” ,考生往往不得要领。本文从求解策略出发,就圆锥曲线的 第一定义的三点应用,进行分类剖析,略陈管见,权作抛砖,以期 广大师生能够从中受到启发,进而归纳出一般的解题方法。 一、应用一:利用定义求点的轨迹 在△abc 中,bc=24,ac、ab 边上的中线长之和等于 39,求△abc 重心的轨迹方程。 思路分析:本题根据题意,利用三角形的重心的性质,即重心与 三角形顶点距离与顶点对边中点距离的比值关系,寻找出关于重心 m 的约束条件,从而根据相关曲线的定义判断其形状。 解:如图, 以线段 bc 所在直线为 x 轴,线段 bc 的中垂线为 y 轴建立如图所 示直角坐标系。设 m 是△abc 的重心,bd 是 ac 边上的中线,ce 是 ab 边上的中线。由重心性质知|bm|=2|bd|/3,|cm|=2|ce|/3,于是 |bm|+|cm|=2(|bd|+|ce|)/3=2×39/3=26。 根据椭圆第一定义可知,点 m 的轨迹是以 b、c 为焦点的椭圆。由 于 2a=|bm|+|cm|=26,所以 a=13,又因为 2c=|bc|=24,所以 c=12。 所以 b2=a2-c2=132-122=25。注意到 a、b、c 三点不能共线,故有 y≠0。所以所求的轨迹方程为 x2/169+y2/25=1(y≠0) 。 二、应用二:利用定义判断位置关系 设过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 f 的直线与抛物线交于 a、b 两 点,请求出以 ab 为直径的圆与抛物线的准线的位置关系。 思路分析:圆与直线的位置关系可以由圆心到直线的距离与半径 的比较结果进行判断。而抛物线的第一定义可以将上述距离转化为 a、b 两点到焦点的距离和。 解:设 ab 的中点为 m,分别过 a,b,m 作准线 l 的垂线,垂足分 别为 a1,b1,m1,则四边形 abb1a1 为直角梯形,且 mm1 为其中位线, 于是|mm1|=(|aa1|+|bb1|)/2=(|af|+|bf|)/2=|ab|/2,故以 ab 为直径的圆与抛物线的准线总是相切的。 判断解析几何中的位置关系综合性强,对于推理能力的要求高, 既是复习中的一个难点,又是命题中的热点,上述习题中利用抛物 线的第一定义将一个变动的圆和直线的位置关系转化成了距离半 径的比较,从而达到了化变动为恒定的目的。 引申与思考:上题中若研究直线 fa1 和 fb1 的位置关系,

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