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人教必修5 正弦定理余弦定理综合应用,解三角形经典例题


课程目标

掌握解三角形的题型

课程重点

正弦定理余弦定理综合应用,解三角形

课程难点

正弦定理余弦定理综合应用

教学方法建议

在掌握正余弦定理的前提下,熟悉并掌握解三角形的题型,典型例题与课本知识相 结合,精讲精练。复习与总结同时进行,逐步掌握解三角形的方法。

课堂精讲例题

搭配课堂训练题

课后作业

A类

( 3)道



2)道

( 5 )道

选材程度及数量 B类 ( 5 )道 ( 4 )道 (10 )道

C类

( 3 )道

( 3)道

( 5)道

一、知识梳理
1.内角和定理: . 角和定理

在 ?ABC 中, A + B + C =

π ; sin( A + B) = sin C ; cos( A + B ) = ? cos C

面积公式:

S ?ABC =

1 1 1 ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 2 2

在三角形中大边对大角,反之亦然. 2.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等. .正弦定理:

a b c = = = 2R 形式一: sin A sin B sin C

(解三角形的重要工具)

形式二:

?a = 2 R sin A ? ?b = 2 R sin B ?c = 2 R sin C ?

(边角转化的重要工具)

形式三: a : b : c = sin A : sin B : sin C

形式四:

sin A =

a b c , sin B = ,sin C = 2R 2R 2R

3.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的 余弦定理: 余弦定理 两倍.. 形式一: a = b + c ? 2bc cos A
2 2 2

b 2 = c 2 + a 2 ? 2ca cos B (解三角形的重要工具) c 2 = a 2 + b 2 ? 2ab cos C
形式二:

cos A =

b2 + c2 ? a2 2bc

a 2 + c2 ? b2 cos B = 2ac cos C = a 2 + b2 ? c 2 2ab

二、方法归纳
a b c = = (1)已知两角 A、B 与一边 a ,由 A+B+C=π及 sin A sin B sin C ,可求出角 C,再求 b 、 c .
(2)已知两边 b 、 c 与其夹角 A,由 a = b + c -2 b c cosA,求出 a ,再由余弦定理,求出角 B、C.
2
2 2 2

(3)已知三边 a 、 b 、 c ,由余弦定理可求出角 A、B、C.

a b = (4)已知两边 a 、 b 及其中一边的对角 A,由正弦定理 sin A sin B ,求出另一边 b 的对角 B,由 a c a b = = C=π-(A+B),求出 c ,再由 sin A sin C 求出 C,而通过 sin A sin B 求 B 时,可能出一解,两
解或无解的情况,其判断方法,如下表: A>90° A=90° 一解 无解 a>bsinA A<90° 一解 一解 两解 一解 无解

a >b a =b

一解 无解

a <b

无解

无解

a=bsinA a<bsinA

(见图示) .

a = b sinA 有一解

b > a > b sinA 有两解

a ≥ b 有一解

a > b 有一解

三、课堂精讲例题
问题一: 问题一:利用正弦定理解三角形 【例 1】在 ?ABC 中,若 b = 5 , ∠B =

π
4

, sin A =

1 ,则 a = 3

.

5 2 3

【例 2】在△ABC 中,已知 a = 3 , b = 2 ,B=45°,求 A、C 和 c . 【解析】 ∵B=45°<90°且 a sinB<b< a ,∴△ABC 有两解. 由正弦定理得 sinA=
a sin B 3 sin 45° 3 = = , b 2 2

则 A 为 60°或 120°. ①当 A=60°时,C=180°-(A+B)=75°, c=
b sin C 2 sin 75° = = sin B sin 45°

2 sin(45° + 30°) 6+ 2 = . sin 45° 2

②当 A=120°时,C=180°-(A+B)=15°,
3

c=

b sin C 2 sin 15° = = sin B sin 45°

2 sin(45° ? 30°) 6? 2 = . sin 45° 2

故在△ABC 中,A=60°,C=75°,c= A=120°,C=15°, c =
6? 2 . 2

6+ 2 或 2

【思考 从所得到式子看, 思考】 为什么会有两解: sinA = 思考

3 ,在 (0, π ) 上显然有两个解。y 2

= sin x 在 (0, π )

上的值域为(0,1】 sin x = 1 在 (0, π ) 只有 , 【适时导练】 1.(1)△ABC 中, a =8,B=60°,C=75°,求 b ;

x=

π
2 一解。

(2)△ABC 中,B=30°, b =4,c=8,求 C、A、a. 【解析】 (1)由正弦定理得
a b = . sin A sin B

∵B=60°,C=75°,∴A=45°, ∴b=
a sin B 8 × sin 60° = =4 6 . sin A sin 45°
c sin B 8 sin 30° = =1. b 4

(2)由正弦定理得 sinC=

又∵30°<C<150°,∴C=90°.
2 2 ∴A=180°-(B+C)=60°, a = c ? b =4 3 .

问题二: 问题二:利用余弦定理解三角形 【例 3】设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .已知 a = 1 , b = 2 , cos C = (Ⅰ)求 ?ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos( A ? C ) 的值. 【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理,同时考查基本运算能力 【解析】 (Ⅰ)∵ c = a + b ? 2ab cos C = 1 + 4 ? 4 ×
2 2 2

1 . 4

1 =4 4

∴c = 2 ∴ ?ABC 的周长为 a + b + c = 1 + 2 + 2 = 5 .

1 15 ?1? 2 (Ⅱ)∵ cos C = ,∴ sin C = 1 ? cos C = 1 ? ? ? = , 4 4 ?4?

2

15 a sin C 15 = 4 = ∴ sin A = c 2 8
4

∵ a < c ,∴ A < C ,故 A 为锐角,

? 15 ? 7 ? ∴ cos A = 1 ? sin A = 1 ? ? ? 8 ? =8 ? ?
2

2

∴ cos( A ? C ) = cos A cos C + sin A sin C =

7 1 15 15 11 × + × = . 8 4 8 4 16

【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令α = β sin (α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β ??? sin 2α = 2 sin α cos α →
令α = β cos (α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β ??? cos 2α = cos 2 α ? sin 2 α →

??????????????????????? 2 cos 2 α ? 1 = 1 ? 2sin 2 α ↓ = tan α ± tan β 1+cos2α ??????? cos 2 α= ? 1 m tan α tan β 2 1 ? cos2α ???????????????????? 2 α= sin ↓ 2 2 tan α ??? 2α = tan 1 ? tan 2 α ? (α ± β ) = tan
【例 4】 (2010 重庆文数) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,且 3 b +3 c -3 a =4 2 b c .
2 2 2

(Ⅰ) 求 sinA 的值;

2sin( A + ) sin( B + C + ) 4 4 的值. (Ⅱ)求 1 ? cos 2 A

π

π

【适时导练】
5

2 在△ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b = 13 , a + c =4,求△ABC 的面积. 【解析】 (1)由余弦定理知:cosB= cosC=
a2 + c2 ? b2 , 2ac

cos B b =. cos C 2a + c

a2 + b2 ? c2 . 2 ab cos B b 将上式代入 =得: cos C 2a + c

2ab b a 2 + c2 ? b2 · 2 2 2 =a +b ?c 2a + c 2 ac
整理得: a + c - b =- a c ∴cosB=
a 2 + c 2 ? b 2 ? ac 1 = =2ac 2ac 2
2 π. 3 2 π 代入 3
2 2 2

∵B 为三角形的内角,∴B= (2)将 b = 13 , a + c =4,B=

b 2= a 2+ c 2-2 a c cosB,得 b 2=( a + c )2-2 a c -2 a c cosB
1 2 ∴ b =16-2 a c ?1 ? ? ,∴ a c =3. ? ? ? 2?

∴S△ABC=

1 2

a c sinB= 3

3 4

.

问题三: 问题三:正弦定理余弦定理综合应用 【例 5】 (2011 山东文数) 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a , b ,c.已知 (I)求

cos A-2 cos C 2c-a . = cos B b

sin C 的值; sin A 1 (II)若 cosB= , ? ABC 的周长为 5,求 b 的长。 4

【解题思路】通过正弦定理将边化成正弦,在通过和角公式进行化简。 【解析】 (I)由正弦定理,设

a b c = = = k, sin A sin B sin C 2c ? a 2k sin C ? k sin A 2sin C ? sin A 则 = = , b k sin B sin B cos A ? 2 cos C 2 sin C ? sin A 所以 = . cos B sin B

即 (cos A ? 2 cos C ) sin B = (2sin C ? sin A) cos B ,
6

化简可得 sin( A + B ) = 2sin( B + C ). 又 A+ B+C =π , 所以 sin C = 2sin A

sin C = 2. sin A sin C (II)由 =2得 sin A
因此

c = 2a.
由余弦定得及 cos B =

1 得 4

b 2 = a 2 + c 2 ? 2ac cos B = a 2 + 4a 2 ? 4 a 2 × = 4a 2 .
所以 b = 2a. 又 a + b + c = 5, 从而 a = 1, 因此 b=2。 【思考】到底“具体什么情况下边化角,什么情况下角化边” 【例 6】 (2009 全国卷Ⅰ理) ?ABC 中, 在 内角 A、 C 的对边长分别为 a 、b 、c , B、 已知 a ? c = 2b ,
2 2

1 4

且 sin A cos C = 3cos A sin C , 求 b 【解题思路】对已知条件(1) a ? c = 2b 左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理;而对已
2 2

知条件(2) sin A cos C = 3cos A sin C , 化角化边都可以。 【解析】解法一:在 ?ABC 中Q sin A cos C = 3cos A sin C , 则由正弦定理及余弦定理

有: a

a2 + b2 ? c2 b2 + c2 ? a 2 =3 c, 化简并整理得: 2(a 2 ? c 2 ) = b 2 .又由已知 2ab 2bc

a 2 ? c 2 = 2b ∴ 4b = b 2 .解得 b = 4或b = 0(舍) .
解法二:由余弦定理得: a ? c = b ? 2bc cos A .又 a ? c = 2b , b ≠ 0 .
2 2 2 2 2

所以 b = 2c cos A + 2



又 sin A cos C = 3cos A sin C ,∴ sin A cos C + cos A sin C = 4 cos A sin C
7

sin( A + C ) = 4 cos A sin C ,即 sin B = 4 cos A sin C
由正弦定理得 sin B = 由①,②解得 b = 4 . 【思考】面对解三角形,可以考虑正弦定理,也可以考虑余弦定理,两种方法只是计算量上的差别。 【适时导练】 3. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 8 sin2 (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值. 解:(1)∵ A+B+C=180°,

b sin C ,故 b = 4c cos A c



B+C -2 cos 2A=7. 2

B+C A B+C A =90°- .∴ sin = cos . 2 2 2 2 B+C 由 8sin2 2 -2cos2A=7, A 得 8cos2 2 -2cos2A=7.
∴ ∴ 4(1+cos A)-2(2 cos2A-1)=7, 即(2cos A-1)2=0. ∴ cos A=

1 2

∵ 0°<A<180°,∴ A=60°.

(2)∵ a= 3 ,A=60°, 由余弦定理知 a2=b2+c2-2bc cos A, ∴ 3=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=9-3bc. ∴ bc=2. 又 b+c=3,∴ b=1,c=2 或 b=2,c=1.

问题四: 问题四:三角恒等变形 【例 7】 (08 重庆) 设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,且 A= 60 ,c=3b.求:
o

a (Ⅰ) c 的值; (Ⅱ)cotB +cot C 的值. a 【解题思路】求 c 的值需要消去角和 b; 三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系

8

2 2 2 1 1 7 2 ?1 ? 2 【解析】 (Ⅰ)由余弦定理得 a = b + c ? 2bc cos A = ? c ? + c ? 2 × c × c × = c 3 2 9 ?3 ?

2

a 7 = . 3 故c
cos B sin C + cos C sin B sin( B + C ) sin A = , sin B sin C (Ⅱ)解法一: cot B + cot C = = sin B sin C sin B sin C

7 2 c sin A 1 a2 2 9 14 14 3 · = · = = = . sin B sin C sin A bc 9 3 1 c·c 3 3 3 由正弦定理和(Ⅰ)的结论得 cot B + cot C = 14 3 . 9



7 2 1 c + c 2 ? ( c) 2 a2 + c2 ? b2 9 5 3 解法二:由余弦定理及(Ⅰ)的结论有 cos B = = = 2ac 7 2 7 2× c×c 3 sin B = 1 ? cos 2 B = 1 ?


25 3 = . 28 2 7

7 2 1 2 c + c ? c2 a +b ?c 1 9 同理可得 cos C = = 9 =? 2ab 7 1 2 7 2× c× c 3 3
2 2 2

sin C = 1 ? cos 2 C = 1 ?

1 3 3 = . 28 2 7

从而

cot B + cot C =

cos B cos C 5 1 14 3 + = 3? 3= . sin B sin C 3 9 9

【思考】在解三角形的背景下一般见“切割化弦” 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: sin 2 α + cos 2 α = 1,1 + tan 2 α = sec 2 α ,1 + cot 2 α = csc 2 α (2)倒数关系:sin α csc α =1,cos α sec α =1,tan α cot α =1, (3)商数关系: tan α =

sin α cos α , cot α = cos α sin α
9

【适时导练】 4.(2009 江西卷理)△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

tan C =

sin A + sin B , sin( B ? A) = cos C . cos A + cos B

(1)求 A, C ; (2)若 S ?ABC = 3 + 3 ,求 a, c . 【解析】(1) 因为 tan C =

sin A + sin B sin C sin A + sin B ,即 = , cos A + cos B cos C cos A + cos B

所以 sin C cos A + sin C cos B = cos C sin A + cos C sin B , 即 sin C cos A ? cos C sin A = cos C sin B ? sin C cos B , 得 sin(C ? A) = sin( B ? C ) . 即 2C = A + B , 得 C = 所以 C ? A = B ? C ,或 C ? A = π ? ( B ? C ) (不成立).

π
3

,所以. B + A =

又因为 sin( B ? A) = cos C = 得A=

π
4

,B =

5π 12

1 π 5π ,则 B ? A = ,或 B ? A = (舍去) 2 6 6

2π 3

(2) S ?ABC =

1 6+ 2 ac sin B = ac = 3 + 3 , 2 8



a c = , 即 sin A sin C

a c = , 2 3 2 2

得 a = 2 2, c = 2 3. 问题五: 问题五:判断三角形形状 【例 8】 在△ABC 中, ?ABC 中,a,b,c 分别是角 A、 C 所对的边, 在 B、 bcosA= a cosB, 试判断 ?ABC 三角形的形状. 【解题思路】判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形: (1)一个方向是边,走代数变形之 路,通常是正、余弦定理结合使用; (2)另一个方向是角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理 【解析】方法 1:利用余弦定理将角化为边.

∵bcosA= a cosB
2 2 2


2

b?
2

b2 + c 2 ? a2 a 2 + c2 ? b2 = a? 2bc 2ac
2

∴b + c ? a = a + c ?b

∴a = b
2

2

∴a = b

10

故此三角形是等腰三角形. 方法 2:利用正弦定理将边转化为角. ∵bcosA= a cosB 又 b=2RsinB, a =2RsinA

∴2RsinBcosA=2RsinAcosB ∴sinAcosB-cosAsinB=0 ∴sin(A-B)=0 ∵0<A,B<π,∴-π<A-B<π ∴A-B=0,即 A=B 故三角形是等腰三角形. 【思考】判断三角形形状时一般从角入手,利用三角形内角和定理,实施关于三角形内角的一些变 形公式. cosA b 【例 9】. 在△ABC 中,在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,若cosB =a , 试判断 ?ABC 三角形的形状. 【解析】 :方法 1:利用余弦定理将角化为边 cosA sinB cosA b 由已知cosB =a 及正弦定理得cosB =sinA ∴sin2A=sin2B π ∴2A=2B 或 2A+2B=π,即 A=B 或 A+B= 2 , 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 方法 2:利用正弦定理将边转化为角. ∵acosA=bcosB

b2 + c2 ? a 2 a2 + c2 ? b2 a =b 2bc 2 ac ∴
2 2 2 2 2 ∴ (a ? b )( a + b ? c ) = 0
2 2 2 ∴a=b 或者 a + b ? c = 0

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形. 【适时导练】 5.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 )

D.等边三角形

【解析】2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC, ∴sin(A-B)=0,∴A=B ( sin = 6.在△ABC 中, a 、 b 、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果 a +b ) (A-B)( a -b ) sin(A+B),判断三角形的形状.
11
2 2 2 2

【解析】方法一 已知等式可化为 方法一

a 2[sin(A-B)-sin(A+B) ]
=b [-sin(A+B)-sin(A-B)] ∴2 a cosAsinB=2 b cosBsinA 由正弦定理可知上式可化为: sin AcosAsinB=sin BcosBsinA ∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0 ∴sin2A=sin2B,由 0<2A,2B<2 π 得 2A=2B 或 2A= π -2B, 即 A=B 或 A=
π
2
2 2 2 2 2

-B,∴△ABC 为等腰或直角三角形.
2 2

方法二 同方法一可得 2a cosAsinB=2b sinAcosB 由正、余弦定理,可得

a 2b b
2

2

+ c2 ? a2 a 2 + c2 ? b2 2 = b a 2bc 2ac
2 2 2 2 2 2 2

∴ a (b +c - a )=b ( a +c -b ) 即( a - b )( a + b -c )=0 ∴ a = b 或 a + b =c ∴△ABC 为等腰或直角三角形. 问题六: 问题六:与其他知识综合 【例 10】已知向量 m = ( a + c, b), n = ( a ? c, b ? a ), 且m ? n = 0 ,其中 A,B,C 是△ABC 的内角,
2 2 2 2 2 2 2 2

a , b ,c 分别是角 A,B,C 的对边 .
(1)求角 C 的大小; (2)求 sin A + sin B 的取值范围. 【解题思路】向量的数量积运算法则。向量垂直的判定。 【解析】 (1)由 m ? n = 0 得 ( a + c)( a ? c) + b(b ? a ) = 0 ? a 2 + b 2 ? c 2 = ab 由余弦定理得 cos C =

a2 + b2 ? c2 ab 1 = = 2ab 2ab 2
∴C = π 3 2π 3

Q0 < C < π
(2)Q C =

π 3

∴A+ B =

12

∴ sin A + sin B = sin A + sin(

2π 2π 2π ? A) = sin A + sin cos A ? cos sin A 3 3 3

3 3 3 1 = sin A + cos A = 3( sin A + cos A) 2 2 2 2
π = 3 sin( A + ) 6 Q0 < A <

2π 3

π π 5π ∴ < A+ < 6 6 6

1 π ∴ < sin( A + ) ≤ 1 2 6




3 π < 3 sin( A + ) ≤ 3 2 6

3 < sin A + sin B ≤ 3 . 2

【思考】坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ), b = ( x2 , y2 ) ,则: 向量的加减法运算: a ± b = ( x1 ± x2 , y1 ± y2 ) 。 实数与向量的积: λ a = λ ( x1 , y1 ) = ( λ x1 , λ y1 ) 。 平面向量数量积: a ? b = x1 x2 + y1 y2 = a b cos θ 【适时导练】 7(2009 浙江文)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

r

r

r r

r

r r

r r

A 2 5 = , 2 5

uuu uuur r AB ? AC = 3 .
(I)求 ?ABC 的面积; 【解析】 (Ⅰ) cos A = 2 cos
2

(II)若 c = 1 ,求 a 的值.

A 2 5 2 3 ?1 = 2 × ( ) ?1 = 2 5 5
2

又 A ∈ (0, π ) ,sin A = 1 ? cos A = 所以 ?ABC 的面积为:

4 3 , AB. AC = AB . AC . cos A = bc = 3 , 而 所以 bc = 5 , 5 5

1 1 4 bc sin A = × 5 × = 2 2 2 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bc = 5 ,而 c = 1 ,所以 b = 5 所以 a =

b 2 + c 2 ? 2bc cos A = 25 + 1 ? 2 × 3 = 2 5

问题 7:三角实际应用 : 【例 11】 要测量对岸 A、B 两点之间的距离,选取相距 3 km 的 C、D 两点,并测得∠ ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A、B 之间的距离.
13

【解题思路】找到三角形,利用正弦定理和余弦定理。 【解析】如图所示在△ACD 中, ∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°, ∴AC=CD= 3 km. 在△BCD 中,∠BCD=45°, ∠BDC=75°,∠CBD=60°.∴BC=
2

3 sin 75° 6+ 2 = . sin 60° 2
2

△ABC 中,由余弦定理,得 AB = 3) + ( (

6+ 2 6+ 2 2 ) -2× 3 × ×cos75° 2 2

=3+2+ 3 - 3 =5,∴AB= 5 (km).∴A、B 之间的距离为 5 km. 【例 12】(2007 山东)如图,甲船以每小时 30 2 海里 . 的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A1 处 时,乙船位于甲船的北偏西 105 的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲 船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120 方 向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每小时航行多少海里? 【解析】如图所示,连结 A1B2,由已知 A2B2= 10 2 ,? A1A2= 30 2 ×
° °

20 = 10 2 ,∴A1A2=A2B2,? 60

又∠A1A2B2=180°-120°=60°? ∴△A1A2B2 是等边三角形,? ∴A1B2=A1A2= 10 2 .? 由已知,A1B1=20,∠B1A1B2=105°-60°=45°,? 在△A1B2B1 中,由余弦定理,?
2 B1B2 = A1B12+ A1B22- A1B1·A1B2·cos45°?

=20 +( 10 2 ) -2×20× 10 2 ×

2

2

2 =200.? 2

∴B1B2= 10 2 .? 因此,乙船的速度的大小为?

14

10 2 ×60= 30 2 (海里/小时).? 20
答 乙船每小时航行 30 2 海里.? 【思考】正弦定理和余弦定理所需条件。 【适时导练】 8.如图,A,B,C,D 都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D 为两岛上 的两座灯塔的塔顶。测量船于水面 A 处测得 B 点和 D 点的仰角分别为

750 ,300 ,于水面 C 处测得 B 点和 D 点的仰角均为 600 ,AC=0.1km。
试探究图中 B,D 间距离与另外哪两点距离相等,然后求 B,D 的距离 (计算结果精确到 0.01km, 2 ≈ 1.414, 6 ≈ 2.449) 【解析】在 ?ACD 中, ∠DAC =30°, ∠ADC =60°- ∠DAC = 30°, 所以 CD=AC=0.1 又 ∠BCD =180°-60°-60°=60°, 故 CB 是 ?CAD 底边 AD 的中垂线,所以 BD=BA 在 ?ABC 中, 5分

AB AC = , sin∠BCA sin∠ABC

即 AB=

AC sin 60° 3 2 + 6 = sin15° 20
3 2+ 6 ≈ 0.33km 20

因此, BD =

故 B、D 的距离约为 0.33km。 9 如图, 为了解某海域海底构造, 在海平面内一条直线上的 A, C 三点进行测量, B, 已知 AB = 50m ,

BC = 120m ,于 A 处测得水深 AD = 80m ,于 B 处测得水深 BE = 200m ,于 C 处测得水深 CF = 110m ,求∠DEF 的余弦值。
【解析】作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

DF = MF 2 + DM 2 = 302 + 1702 = 10 198 , DE = DN 2 + EN 2 = 502 + 1202 = 130 ,
EF = ( BE ? FC ) 2 + BC 2 = 902 + 120 2 = 150 .
15

在 ?DEF 中,由余弦定理,

DE 2 + EF 2 ? DF 2 1302 + 1502 ? 102 × 298 16 cos ∠DEF = = = . 2 DE × EF 2 × 130 ×150 65

课后自我检测 A
1.已知△ABC 中, cot A = ? 【答案】


( )

12 ,则 cos A = 5

?

12 13 3 , ∠c =

2.在 ?ABC 中。若 b = 1 , c = 2. 【答案】 1

2π ,则 a= 3



3.已知 a , b , c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a =1, b = 3 , 3. sinC= 【答案】 . 1.

A+C=2B,则

【解析】 A+C=2B 及 A+ B+ C=180°知, =60°. 由 B 由正弦定理知,

1 3 1 = , sin A = . 即 由 o sin A sin 60 2

a < b 知, A < B = 60o ,则 A = 30o ,
C = 180o ? A ? B = 180o ? 30o ? 60o = 90o , sin C = sin 90o = 1
3.在 ?ABC 中, a =15, b =10,A=60°,则 cos B = . A -

2 2 3

B

2 2 6 C - D 3 3

6 3

【答案】D 【解析】根据正弦定理
a b 15 10 3 = 可得 = 解得 sin B = ,又因为 b < a ,则 B < A , sin A sin B sin 60o sin B 3

故 B 为锐角,所以 cos B = 1 ? sin 2 B =

6 ,故 D 正确. 3
o

4.某人朝正东方向走 x 千米后,向右转 150 并走 3 千米,结果他离出发点恰好 3 千米,那么 x 的 值为 A. 3 【答案】C 5.(2008 福建)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若( a + c -b )tanB= 3ac ,
16
2 2 2

( B. 2 3 C. 3 或 2 3 D.3



则角 B 的值为 A.

( B.



π
6

π
3

C.

π
6



5π 6

D.

π
3



2π 3

【答案】 D 6.已知 △ ABC 的周长为 2 + 1 ,且 sin A + sin B = (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数. 【解析】 (I)由题意及正弦定理,得 AB + BC + AC = 两式相减,得 AB = 1 . (II)由 △ ABC 的面积

2 sin C .

1 6

2 + 1 , BC + AC = 2 AB ,

1 1 1 BC ? AC ? sin C = sin C , ,得 BC ? AC = , 2 6 3

由余弦定理,得 cosC=

AC 2 + BC 2 ? AB 2 2 AC ? BC

( AC + BC ) 2 ? 2 AC ? BC ? AB 2 1 = = , 2 AC ? BC 2
所以 C = 60 .
o

7.在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对应的边分别为 a 、 b 、 c ,且满足 b sin A = 3a cos B . (I)求角 B 的值; (II)若 cos

A 2 5 = , 求 sinC 的值. 2 5

【解析】 (I)由正弦定理得 sin B sin A =
因为 sin A ≠ 0 ,即 tan B =

3 sin A cos B ,

3,
3


由于 0 < B < π ,所以 B = (II) cos A = 2 cos
2

π

A 3 ?1 = , 2 5
4 , 5

因为 sin A > 0 ,故 sin A = 所以 sin C = sin ? A +

? ?

π?

1 3 4+3 3 cos A = . ? = sin A + 3? 2 2 10
[来源:Zxxk.Com]

8 在 ?ABC 中, a , b, c 分别为内角 A, B , C 的对边,且 2 cos( B ? C ) = 4 sin B sin C ? 1 .
17

(Ⅰ)求 A ; (Ⅱ)若 a = 3 , sin
B 1 = ,求 b . 2 3
[来源:学科网 ZXXK]

【解析】 (Ⅰ)由 2 cos( B ? C ) = 4 sin B sin C ? 1 , 得 2(cos B cos C + sin B sin C ) ? 4 sin B sin C = ?1 , 即 2(cos B cos C ? sin B sin C ) = ?1 . 从而 2 cos( B + C ) = ?1 ,得 cos( B + C ) = ? ∴B+C = (Ⅱ)由 sin
2π π ,故 A = . 3 3
B 1 B 2 2 , = ,得 cos = 2 3 2 3

1 . 2

∴ sin B = 2 sin ∵ ∴

B B 4 2 cos = . 2 2 9

b a , = sin B sin A

b 4 2 9

=

3 3 2



解得 b =

8 6 . 9

课后自我检测 B
(A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. 【答案】C 【解析】由 sin A : sin B : sin C = 5 :11:13 及正弦定理得 a: b : c =5:11:13 由余弦定理得 cos c =


( )

1.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C = 5 :11:13 ,则△ ABC 1. (B)一定是直角三角形.

(D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

5 2 + 112 ? 13 2 < 0 ,所以角 C 为钝角 2 × 5 × 11

2. 要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度,在 C 点测得塔顶 A 的仰角是 45°,在 D 点测得塔顶 A 的仰 角是 30°,并测得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,则电视塔的高度为
A





A.10 2 m

B.20m
18 B C D

C.20 3 m 【答案】 D

D.40m

【解析】 本题考查同角三角函数关系应用能力,先由 cotA= ?

12 知 A 为钝角,cosA<0 排 5 cos A 12 12 除 A 和 B,再由 cot A = = ? , 和 sin 2 A + cos 2 A = 1求得 cos A = ? . sin A 5 13
2 2

3.(2010 天津理)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a , b , c ,若 a ? b = 3bc , 3.

sin C = 2 3 sin B ,则 A=
(A) 30 【答案】A 【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用,属于中等题。 由由正弦定理得
0

( (C) 120
0



(B) 60

0

(D) 150

0

c 2 3b = ? c = 2 3b , 2R 2R b 2 +c2 -a 2 ? 3bc + c 2 ? 3bc + 2 3bc 3 0 所以 cosA= = = = ,所以 A=30 2bc 2bc 2bc 2
4.(2008 湖北)在△ ABC 中,三个角 A, B, C 的对边边长分别为 a = 3, b = 4, c = 6 ,则

bc cos A + ca cos B + ab cos C 的值为
【答案】

.

61 2

5.在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, B = (Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)求 ?ABC 的面积.

π
3

, cos A =

4 ,b = 3 。 5

【解题思路】 本题主要考查三角形中的三角函数变换及求值、诱导公式、三角形的面积公式等基 】 础知识,主要考查基本运算能力. 【解析】 (Ⅰ)∵A、B、C 为△ABC 的内角,且 B = 】 ∴C =

π
3

, cos A =

2π 3 ? A,sin A = , 3 5

4 , 5

∴ sin C = sin ?

3 1 3+ 4 3 ? 2π ? ? A? = cos A + sin A = . 2 10 ? 3 ? 2

19

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 sin A = 又∵ B =

3 3+ 4 3 ,sin C = , 5 10

, b = 3 ,∴在△ABC 中,由正弦定理,得 3 b sin A 6 = . ∴a = sin B 5
∴△ABC 的面积 S =

π

1 1 6 3 + 4 3 36 + 9 3 ab sin C = × × 3 × = 2 2 5 10 50
5 , AC = 3, sin C = 2 sin A

6.在 ?ABC 中, BC = (Ⅰ)求 AB 的值。 (Ⅱ)求 sin( 2 A ?

π
4

) 的值。 AB BC BC = ,于是 AB = sin C = 2 BC = 2 5 sin C sin A sin A

【解析】 (1)在 ?ABC 中,根据正弦定理,

(2)在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 cos A =

AB 2 + AC 2 ? BC 2 2 AB ? AC

于是 sin A = 1 ? cos A =
2

5 , 5 4 3 , cos 2 A = cos 2 A ? sin 2 A = 5 5

从而 sin 2 A = 2 sin A cos A =

sin(2 A ?

π
4

) = sin 2 A cos

π
4

? cos 2 A sin

π
4

=

2 10

7. 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, . AD=10,AC=14,DC=6,求 AB 的长. 【解析】 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,

由余弦定理得 cos ∠

AD 2 + DC 2 ? AC 2 100 + 36 ? 196 1 = =? , 2 AD DC 2 × 10 × 6 2

∴ ∠ ADC=120°, ∠ ADB=60°
在△ABD 中,AD=10, ∠ B=45°, ∠ ADB=60°, 由正弦定理得

AB AD = , sin ∠ADB sin B

20

AD sin ∠ADB 10 sin 60° ∴ AB= = = sin B sin 45°

10 × 2 2

3 2 =5 6.

8.设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 且 a cos C + (1)求角 A 的大小; (2)若 a = 1 ,求 ?ABC 的周长 l 的取值范围. 【解析】 (1)由 a cos C +

1 c = b. 2

1 1 c = b 得 sin Acos C + sin C = sin B 2 2

又 sin B = sin ( A + C ) = sin A cos C + cos A sin C

1 1 ∴ sin C = cos A sin C ,Q sinC ≠ 0 ,∴ cos A = , 2 2
又Q 0 < A < π ∴ A = (2)由正弦定理得: b =

π

3

a sin B 2 2 = sin B , c = sin C sin A 3 3

l = a + b + c = 1+

2 2 ( sin B + sin C ) = 1 + ( sin B + sin ( A + B ) ) 3 3

? 3 ? 1 π? ? = 1+ 2? ? 2 sin B + 2 cos B ? = 1 + 2 sin ? B + 6 ? ? ? ? ? ?
QA=

π

π ? π 5π ? π? ?1 ? ? 2π ? ? , ∴ B ∈ ? 0, ? , ∴ B + ∈ ? , ? ∴ sin ? B + ? ∈ ? ,1? 3 6 ?6 6 ? 6? ?2 ? ? 3 ? ?

故 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ( 2,3] . (2)另解:周长 l = a + b + c = 1 + b + c 由(1)及余弦定理 a = b + c ? 2bc cos A
2 2 2

∴ b 2 + c 2 = bc + 1 ∴ (b + c) 2 = 1 + 3bc ≤ 1 + 3(

b+c 2 ) 2

b+c ≤ 2
又 b + c > a = 1∴ l = a + b + c > 2 即 ?ABC 的周长 l 的取值范围为 ( 2,3] . 【能力提高】 能力提高】

21

1.(天津市河东区 2009 年高三一模)如图所示,在△ABC,已知 AB = 的中线 BD =

4 6 6 , cos B = ,AC 边上 3 6

5,

求: (1)BC 的长度; (2) sin A 的值。 【解析】

2.在 ?ABC 中, a、、 分别为角 A、、 的对边,且满足 b + c ? a = bc . BC bc
2 2 2

(Ⅰ)求角 A 的值; (Ⅱ)若 a =

3 ,设角 B 的大小为 x, ?ABC 的周长为 y ,求 y = f ( x) 的最大值.
2 2 2

b2 + c2 ? a2 1 【解析】 (Ⅰ)在 ?ABC 中,由 b + c ? a = bc 及余弦定理得 cos A = = 2bc 2
而 0 < A < π ,则 A = (Ⅱ)由 a =

π
3



3, A =

π
3

及正弦定理得

b c a = = = sin B sin C sin A

3 = 2, 3 2

2π ? x, 3 2π 2π 则 b = 2sin x, c = 2sin( ? x)(0 < x < ) 3 3 2π π ? x) = 2 3 sin( x + ) + 3 , 于是 y = a + b + c = 3 + 2 sin x + 2sin( 3 6
而 B = x, C =
22

由0 < x < 得

π
6

2π 3

< x+

π

当x+

π
6

=

π

6 2

<

5π , 6

即x=

π

3

时, ymax = 3 3

3 已知 ?ABC 的三内角 A , B , C 所对边的长分别为 a , b , c ,设向量 m = (3c ? b, a ? b) ,

n = (3a + 3b, c) , m // n .
(1)求 cos A 的值; (2)求 sin( 2 A + 30°) 的值.

【解析】(1)因为 m // n ,所以 得a = b + c ?
2 2 2

3c ? b a?b = , 3a + 3b c

1 bc 3

又因 为 cos A =

b2 + c2 ? a2 1 = 2bc 6

(2)由 cos A =

1 35 及 A ∈ (0, π ) ,得 sin A = , 6 6

所以 sin 2 A = 2 sin A cos A =

35 , 18

cos 2 A = 2 cos 2 A ? 1 = ? sin(2 A + 30°) =

17 , 18

3 1 105 ? 17 sin 2 A + cos 2 A = 2 2 36
r r

4. (山东省青岛市 2011 年 3 月高考第一次模拟文科)已知向量 a = (sin x, ?1), b = ( 3 cos x, ? ) ,函 数 f ( x ) = ( a + b) ? a ? 2 . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期 T ; (Ⅱ)已知 a 、 、 分别为 ?ABC 内角 A 、 、 的对边, 其中 A 为锐角, a = 2 3, c = 4 ,且 f ( A) = 1 , b c B C 求 A, b 和 ?ABC 的面积 S . 【解析】

1 2

r r r

23

24


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