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两条直线的位置关系(1)


§7. 3. 2两条直线的位置关系(二)
复习回顾: 上节课,我们研究学习了两直线平行或垂直 的充要条件及其应用: 平行问题 1.当直线L1和直线L2的斜率都存在时 得到: l1 // l 2 ?k1 ? k 2且b1 ? b2 2.当直线L1和直线L2的斜率都不存在时 得到: l1 // l 2 或两直线重合

3.当直线L1和直线L2的斜率有一

条存在, 有一 条不存在时

显然:两直线相交
垂直问题 1.当直线L1和直线L2的斜率都存在时 得到: L1⊥L2 ? k1. k2= -1. 2.当直线L1和直线L2的斜率都不存在时

得到: l1 // l 2 或两直线重合

3.当直线L1和直线L2的斜率有一条存在, 有一
条不存在时

显然:两直线相交
思考:如何根据直线方 程的一般式判定两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0,l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0平行 或垂直?(其中 A1 , B1不全为0, A2 , B2不全为0)

一、先分析两直线平行的情况

分析:( 1 )当B1 ? 0,B2 ? 0时,把直线l1和l2化成 A1 C1 A2 C2 l1 : y ? ? x ? , l2 : y ? ? x? , B1 B1 B2 B2 A1 C1 A2 C2 k1 ? ? , b1 ? ? ; k 2 ? ? , b2 ? ? B1 B1 B2 B2 A1 A2 C1 C2 ? l1 // l2 ? k1 ? k 2且b1 ? b2,即 ? ? ? 且 ? ?? B1 B2 B1 B2 即A1 B2 ? A2 A1 ? 0且B1C2 ? B2C1 ? 0

C2 (2)当B2 ? 0时,l2的斜率不存在, x2 ? ? ,则要使 A2 C1 l1 // l2,必须l1的斜率也不存在,即 B1 ? 0,x1 ? ? A1

C1 C2 且x1 ? x2即 ? ? ? ,即A1C2 ? A2C1 ? 0 A1 A2

C2 当B2 ? 0时,l2的斜率不存在, x2 ? ? ,则要使l1 // 2 , A2 C1 必须l1的斜率也不存在,即 B1 ? 0,x1 ? ? 且x1 ? x2 A1 C1 C2 即? ? ? ,即A1C2 ? A2C1 ? 0 A1 A2 综上所述,l1 // l2 ? A1 B2 ? A2 A1 ? 0且B1C2 ? B2C1 ? 0 或A1C2 ? A2C1 ? 0

二、再分析两直线垂直的情况

分析:当B1 ? 0,B2 ? 0时,把直线l1和l2化成 A1 C1 A2 C2 l1 : y ? ? x ? , l2 : y ? ? x? , B1 B1 B2 B2 A1 A2 k1 ? ? , k 2 ? ? ,? l1 ? l2 B1 B2 A1 A2 ? (? ) ? (? ) ? ?1, 即A1 A2 ? B1 B 2 ? 0; B1 B2 当B1 ? 0时,l1的斜率不存在,则要使 l1 ? l2,必须 l2的斜率为零,即 A2 ? 0;当B2 ? 0时,l2的斜率不 存在,则要使l1 ? l2,必须l1的斜率为零,即 A1 ? 0, 此时满足A1 A2 ? B1 B 2 ? 0. 综上所述,l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B 2 ? 0

小结:
1.已知直线l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0,l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 (其中A1 , B1不全为0, A2 , B2不全为0) 则l1 // l2 ? A1 B2 ? A2 A1 ? 0且B1C2 ? B2C1 ? 0 或A1C2 ? A2C1 ? 0

2.已知直线l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0,l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 则l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1 B 2 ? 0

(其中A1 , B1不全为0, A2 , B2不全为0)

例1:求与直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0平行且过点A( 1, 2) 的直线l的方程。
解: ? 所求直线与已知直线 3x ? 4 y ? 1 ? 0平行 ? 可设所求直线为 3x ? 4 y ? m ? 0 又 ? 所求直线经过点 (1,2) ? 3 ?1 ? 4 ? 2 ? m ? 0 ? 解得m ? ?11 ? 所求直线的方程为 3x ? 4 y ? 11 ? 0.

例2:已知直线 (a ? 2) x ? (1 ? a) y ? 3 ? 0与 (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0互相垂直,求 a的值。
解法一 : (1) ? (a ? 2) x ? (1 ? a ) y ? 3 ? 0与 (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0的斜率分别为 a?2 a?2 a ?1 1? a k1 ? ? ? ; k2 ? ? ? 1 ? a a ?1 2a ? 3 2a ? 3 又 ? 两直线垂直? k1 ? k 2 ? ?1 a ? 2 1? a 即 ? ? ?1? a ? ?1 a ? 1 2a ? 3 (2)当a ? 1时, (a ? 2) x ? (1 ? a ) y ? 3 ? 0的斜率不存在 而(a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0的斜率为0 ? 两直线仍然垂直? a ? 1也符合题意 综上所述, a ? ?1.

解法二 :? A1 ? a ? 2, A2 ? a ? 1; B1 ? 1 ? a, B2 ? 2a ? 3 又 ? 两直线垂直 ? (a ? 2) ? (a ? 1) ? (1 ? a ) ? (2a ? 3) ? 0 整理得(a ? 1) ? (a ? 1) ? 0 ? a ? ?1

例3:已知△ABC的顶点坐标为A(1,2),B (-1,1),C(0,3),求BC边上的高所在的 直线方程。
3 ?1 解: ? BC所在直线的斜率为 k? ?2 0 ? (?1) 又 ? BC边上的高所在直线 与BC所在直线互相垂直 1 ? BC边上的高所在直线的斜 率为 ? 2 又 ? BC边上的高所在直线经过 点A(1,2) 1 ? BC边上的高所在直线的方 程为y ? 2 ? ? ( x ? 1) 2 即x ? 2 y ? 5 ? 0

例4 : 求与直线3x ? 4 y ? 1 ? 0平行且在 7 两坐标轴上截距之和为 的直线l的方程。 3
解 : 设所求直线的方程为 3x ? 4 y ? m ? 0 m 令x ? 0, 得y轴上的截距为 b?? 4 m 令y ? 0, 得x轴上的截距为 a?? 3 m m 7 由题意得(? ) ? ( ? ) ? 4 3 3 解得m ? ?4 ? 所求直线的方程为 3x ? 4 y ? 4 ? 0

三、课堂练习:

1.已知两点A(7, ? 4),B( ? 5, 6),求线段AB的 垂直平分线的方程。

2.求经过点A(2, 1 )且与直线 2 x ? y ? 10 ? 0垂直 的直线l的方程。

四、课时小结:掌握根据两直线的一

般形式判 定两直线平行和垂直的充要
条件及应用。 五、课后作业: 教材第54页,习题7.3 3 、 5、 6、 7

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