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【走向高考】2015一轮课后强化作业(北师大版):第二章 函数与基本初等函数2-4 Word版含解析


基础达标检测 一、选择题 1.(文)函数 y=x
1 3

的图像是(

)

[答案] B [解析] 本题考查幂函数图像. 当 x>1 时 x
1 3

<x,排除 C、D,
1 3

当 0<x<1 时 x

/>>x,排除 A. )

2 (理)如图所示函数图像中,表示 y=x3的是(

[答案] D
3 2 [解析] 因为3∈(0,1),所以 y=x 的图像是抛物线型,且在第一 2 3 2

象限图像上凸,又函数 y=x 是偶函数,故图像应为 D. 2.已知二次函数 y=ax2+bx+c 满足 a>b>c,且 a+b+c=0,那 么它的图像是下图中的( )

[答案] A [解析] ∵a>b>c 且 a+b+c=0, ∴a>0,c<0,b2-4ac>0, ∴图像开口向上,与 y 轴的截距为负,且过(1,0)点. 3.(2013· 浙江高考)已知 a、b、c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0) =f(4)>f(1),则( ) B.a<0,4a+b=0 D.a<0,2a+b=0

A.a>0,4a+b=0 C.a>0,2a+b=0 [答案] A

[解析] 本题考查了二次函数的性质. 由题意得 f(0)=c, f(4)=16a+4b+c=c, 即 16a+4b=0,4a+b=0, f(1)=a+b+c,因为 f(0)>f(1),所以 a+b<0,a>0,故选 A. 4.(文)若函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(4)=f(1),那么( A.f(2)>f(3) )

B.f(3)>f(2) C.f(3)=f(2) D.f(3)与 f(2)的大小关系不确定 [答案] C 4+1 [解析] 因为 f(x)满足 f(4)=f(1), 所以二次函数对称轴为 x= 2 = 5 5 5 ,又 3 - 2 2=2-2,即 x=3 与 x=2 离对称轴的距离相等,所以 f(3)= f(2). (理)若 f(x)=x2-x+a,f(-m)<0,则 f(m+1)的值为( A.正数 C.非负数 [答案] B 1 [解析] ∵f(x)=x2-x+a 的对称轴为 x=2, 1 而-m,m+1 关于 x=2对称, ∴f(m+1)=f(-m)<0,故选 B. 1 5.幂函数 f(x)=xα(α 是有理数)的图像过点(2,4),则 f(x)的一个递 减区间是( ) B.(0,+∞) D.(-∞,0) B.负数 D.与 m 有关 )

A.[0,+∞) C.(-∞,0] [答案] B

1 1 [解析] ∵图像过(2,4),则4=2α, ∴α=-2,∴f(x)=x-2. 由 y=x-2 图像可知 f(x)的减区间是(0,+∞).

6.若 f(x)=(m-2)x2+mx+(2m+1)的两个零点分别在区间(-1,0) 和区间(1,2)内,则 m 的取值范围是( 1 1 A.(-2,4) 1 1 C.(4,2) [答案] C
? f?0?<0, ?f?-1?· 1 1 [解析] 由题意,得? 解得4<m<2. ?f?1?· f?2?<0, ?

) 1 1 B.(-4,2) 1 1 D.[4,2]

二、填空题 7. (教材改编题)函数 y=x2+4x+3 在[-1,0]上的最大值是______, 最小值是______. [答案] 3 0 [解析] y=x2+4x+3=(x+2)2-1,对称轴 x=-2 在[-1,0]的左 侧,所以函数在[-1,0]上单调递增. 故当 x=0 时,f(x)取最大值 f(0)=3; 当 x=-1 时,f(x)取最小值 f(-1)=0.
?1 2? 8 . ( 文 ) 已知幂函数 f(x) = k· xα 的图像过点 ? , ? ,则 k + α = 2? ?2

________. 3 [答案] 2 [解析] f(x)=k· xα 是幂函数,所以 k=1,由幂函数 f(x)的图像过点
?1 1 3 2? ? , ?,得 α= ,则 k+α= . 2 2 2? ?2

1 (理)已知点( 2,2)在幂函数 y=f(x)的图像上,点(- 2,2)在幂函 数 y=g(x)的图像上,若 f(x)=g(x),则 x=______.

[答案] ± 1 [解析] 由题意,设 y=f(x)=xα,则 2=( 2)α,得 α=2,设 y=g(x) 1 =xβ,则2=(- 2)β,得 β=-2,由 f(x)=g(x),即 x2=x-2,解得 x=± 1. 9.(文)若函数 y=x2+(a+2)x+3,x∈[a,b]的图像关于直线 x=1 对称,则 b=________. [答案] 6 [解析] 二次函数 y=x2+(a+2)x+3 的图像关于直线 x=1 对称, a+2 说明二次函数的对称轴为 x=1, 即- 2 =1, 所以 a=-4.而 f(x)是定 a+b 义在[a,b]上的,即 a,b 关于 x=1 也是对称的,所以 2 =1,∴b= 6. ( 理 ) 设二次函数 f(x) = ax2 - 2ax + c 在区间 [0,1] 上单调递减,且 f(m)≤f(0),则实数 m 的取值范围是________. [答案] [0,2] [解析] 依题意知,函数 f(x)的图像关于直线 x=1 对称,且开口方 向向上,f(0)=f(2),结合图像可知,不等式 f(m)≤f(0)的解集是[0,2]. 三、解答题 10.已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大 值是 8,试确定此二次函数. [分析] 由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点,且

知其最大值,所以可应用一般式、顶点式或两根式解题. [解析] 解法 1:利用二次函数一般式. 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 由题意得? 4ac-b ? ? 4a =8,
2

a=-4, ? ? 解得?b=4, ? ?c=7,

∴所求二次函数为 f(x)=-4x2+4x+7. 解法 2:利用二次函数的顶点式. 设 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1), ∴抛物线对称轴为 x= 2+?-1? 1 1 = ,∴ m = 2 2 2.
? ?

1? ? 又根据题意函数有最大值 y=8,∴y=f(x)=a?x-2?2+8. 1? ? ∵f(2)=-1,∴a?2-2?2+8=-1,解得 a=-4.
? ?

1? ? ∴f(x)=-4?x-2?2+8=-4x2+4x+7.
? ?

解法 3:利用二次函数的两根式. 由已知 f(x)+1=0 的两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 4a?-2a-1?-a2 又函数有最大值 ymax=8,即 =8, 4a 解得 a=-4 或 a=0(舍去). ∴所求函数解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 能力强化训练 一、选择题 1.如果幂函数 y=(m -3m+3)x 取值是( )
2 m2-m-2

的图像不过原点,则 m 的

A.-1≤m≤2 C.m=2 [答案] D

B.m=1 D.m=1 或 m=2

[解析] 由幂函数的定义,m2-3m+3=1,所以 m=1 或 m=2.又 图像不过原点,所以 m2-m-2≤0,解得-1≤m≤2.综上,m=1 或 m =2. 2.(文)函数 y=(cosx-a)2+1,当 cosx=a 时有最小值,当 cosx= -1 时有最大值,则 a 的取值范围是( A.[-1,0] C.(-∞,0] [答案] D [解析] ∵函数 y=(cosx-a)2+1, 当 cosx=a 时有最小值,∴-1≤a≤1, ∵当 cosx=-1 时有最大值,∴a≥0,∴0≤a≤1.
? 25 ? (理)若函数 y=x2-3x-4 的定义域为[0,m],值域为?- 4 ,-4?, ? ?

) B.[-1,1] D.[0,1]

则 m 的取值范围是(
?3 ? A.?2,3? ? ?

)
?3 ? B.?2,3? ? ? ? ?3 ? D.?2,3? ?

C.[0,3] [答案] B

3? 25 ? [解析] f(x)=x2-3x-4=?x-2?2- 4 ,
? ? ?3? 25 ∴f?2?=- 4 ,又 f(0)=-4. ? ?

3 ? ?2≤m 由题意结合函数的图像可得? 3 3 ? m - ? 2≤2-0 二、填空题

3 ,解得2≤m≤3.

3.(文)已知函数 f(x)=x2-2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b =________. [答案] 2 [解析] ∵f(x)=(x-1)2+1,∴f(x)在[1,b]上是增函数, f(x)max=f(b),∴f(b)=b,∴b2-2b+2=b, ∴b2-3b+2=0,∴b=2 或 1(舍). (理)已知定义在区间[0,3]上的函数 f(x)=kx2-2kx 的最大值为 3, 那 么实数 k 的取值范围为________. [答案] {1,-3} [解析] ∵f(x)=kx2-2kx=k(x-1)2-k, (1)当 k>0 时,二次函数开口向上, 当 x=3 时,f(x)有最大值, f(3)=k· 32-2k×3=3k=3?k=1; (2)当 k<0 时,二次函数开口向下, 当 x=1 时,f(x)有最大值,f(1)=k-2k=-k=3?k=-3. 故 k 的取值集合为{1,-3}. 4.方程 x2-mx+1=0 的两根为 α、β,且 α>0,1<β<2,则实数 m 的取值范围是________. 5 [答案] (2,2)
? ?α+β=m, 1 [解析] ∵? ∴m=β+β, ?α· β=1, ?

1 ∵β∈(1,2)且函数 m=β+β在(1,2)上是增加的, 1 5 ∴1+1<m<2+2,即 m∈(2,2). 三、解答题 5.已知函数 f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0),若 f(x)在区间[2,3]上有 最大值 5,最小值 2. (1)求 a,b 的值; (2)若 b<1,g(x)=f(x)-mx 在[2,4]上单调,求 m 的取值范围. [解析] (1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a. 当 a>0 时,f(x)在[2,3]上为增加的,
? ? ? ?f?3?=5, ?9a-6a+2+b=5, ?a=1, 故? ?? ?? ?f?2?=2 ?4a-4a+2+b=2 ?b=0, ? ? ?

当 a<0 时,f(x)在[2,3]上为减少的,
? ? ? ?f?3?=2 ?9a-6a+2+b=2 ?a=-1, ? ? 故 ? ?? ? ? ? ?f?2?=5 ?4a-4a+2+b=5 ?b=3.

(2)∵b<1,∴a=1,b=0,即 f(x)=x2-2x+2, g(x)=x2-2x+2-mx=x2-(2+m)x+2, ∵g(x)在[2,4]上单调, 2+m m+2 ∴ 2 ≤2 或 2 ≥4,∴m≤2 或 m≥6. 6.(文)已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 0≤x≤1 时有最大值 2, 求 a 的值. [分析] 作出函数图像,因对称轴 x=a 位置不定,故分类讨论对 称轴位置以确定 f(x)在[0,1]上的单调情况. [解析] 当对称轴 x=a<0 时,如图 1 所示. 当 x=0 时,y 有最大值,ymax=f(0)=1-a.

∴1-a=2,即 a=-1,且满足 a<0,∴a=-1.

图1

图2

当 0≤a≤1 时,如图 2 所示.即当 x=a 时,y 有最大值, ymax=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2-a+1.

图3 1± 5 ∴a2-a+1=2,解得 a= 2 . 1± 5 ∵0≤a≤1,∴a= 2 舍去. 当 a>1,如图 3 所示. 由图可知,当 x=1 时 y 有最大值, ymax=f(1)=2a-a=2,

∴a=2,且满足 a>1,∴a=2. 综上可知,a 的值为-1 或 2. (理)(创新题)已知二次函数 f(x)的二次项系数为 a,且不等式 f(x)> -2x 的解集为(1,3). (1)若方程 f(x)+6a=0 有两个相等的根,求 f(x)的解析式; (2)若 f(x)的最大值为正数,求实数 a 的取值范围. [解析] (1)∵f(x)+2x>0 的解集为(1,3), ∴f(x)+2x=a(x-1)(x-3),且 a<0, 即 f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.① 由 f(x)+6a=0,得 ax2-(2+4a)+9a=0.② ∵方程②有两个相等的根, ∴Δ=[-(2+4a)]2-4a· 9a=0, 1 即 5a2-4a-1=0,解得 a=1 或 a=-5. 1 由于 a<0,故舍去 a=1,将 a=-5代入①, 1 6 3 得 f(x)=-5x2-5x-5. (2)f(x)=ax2-2(1+2a)x+3a
? 1+2a?2 a2+4a+1 ?- =a?x- . a a ? ?

a2+4a+1 由 a<0,可得 f(x)的最大值为- >0, a

?-a +4a+1>0, a 由? ?a<0,
解得 a<-2- 3或-2+ 3<a<0.

2

故当 f(x)的最大值为正数时, 实数 a 的取值范围是(-∞, -2- 3) ∪(-2+ 3,0).


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