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数列错位相减


数列练习题
1.(裂项) Sn 为数列 {an } 的前 n 项和.已知 an ? 0, an 2 ? 2an ? 4Sn ? 3 , (Ⅰ)求 {an } 的通项公式: (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和。 an an?1

2.(错位相减)已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,{ b

n }是等比数列,且 a1 = b1 =2 ,

a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记 Tn =anb1 +an?1b2 +?+anb1 , n ? N+ ,证明 Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N+ ) .

3.(裂项)在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将这 n+2 个数的乘积记作 Tn ,再令 an ? lgTn ,n≥1. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? tanan ? tanan ?1 ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Sn .

4.(绝对值型)已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 Sn ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)令 bn ? (?1)
n ?1

4n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an?1

参考答案 1.解: (Ⅰ)由 可得
2 a ? 2an ? 4Sn ? 3 ,可知 an ?1 ? 2an?1 ? 4Sn?1 ? 3 2 n 2 2 an ?1 ? an ? 2(an?1 ? an ) ? 4an?1 ,即

2 2 2(an?1 ? an ) ? an ?1 ? an ? (an?1 ? an )(an ?1 ? an ) a ? 0 ,可得 an?1 ? an ? 2 由于 n



a ?3 a12 ? 2a1 ? 4a1 ? 3 ,解得 a1 ? ?1 (舍去) , 1
{an } 是首项为 3,公差为 2 的等差数列,通项公式为 an ? 2n ? 1 an ? 2n ? 1可知

所以

(Ⅱ)由

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) an an?1 (2n ? 1)(2n ? 3) 2 2n ? 1 2n ? 3 {b } T 设数列 n 的前 n 项和为 n ,则 bn ?

Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn 1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )] 2 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 3 n ? 3(2n ? 3)
2.(2012 天津理科)解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q.由 a1= b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d. 由条件,得方程组 ?

?2 ? 3d ? 2q 3 ? 27, ?8 ? 6d ? 2q ? 10,
3

解得 ?

? d ? 3, ? q ? 2.

所以 an=3n-1,bn=2n,n∈N*. (2)证明: 由(1)得 Tn=2an+22an-1+23an-2+…+2na1,① + 2Tn=22an+23an-1+…+2na2+2n 1a1.② 由②-①,得 + Tn=-2(3n-1)+3× 22+3× 23+…+3× 2n+2n 2 =

而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+10× 2n-12=10× 2n-6n-10, 故 Tn+12=-2an+10bn, * n∈N . 3.(18)本题考查等比和等差数列,对数和指数的运算,两角差的正切公式等基本知识,考 查灵活运用基本知识解决问题的能力,创新思维能力和运算求解能力。 解: (Ⅰ)设

12(1 ? 2n ?1 ) + +2n 2-6n+2=10× 2n-6n-10. 1? 2

t1, t2 ,?, tn ? 2 构成等比数列,其中 t1 ? 1, tn ? 2 ? 100,则
① ②

Tn ? t1 ? t?2 ?? tn ?1 ? tn ? 2

Tn ? tn ? 2 ? t?n ?1 ?? t2 ? t1
①×②并利用

ti ? tn ?3?i ? t1 ? tn ? 2 ? 102 , (1 ? i ? n ? 2) ,得

Tn2 ? 102( n ? 2) ? an ? lgTn ? n ? 2, n ? 1.
(Ⅱ)由题意和(Ⅰ)中计算结果,知

bn ? tan(n ? 2) ? tan(n ? 3), n ? 1
另一方面,利用

tan1 ? tan(( k ? 1) ? k ) ?


tan(k ? 1) ? tank 1 ? tan(k ? 1) ? tank

tan( k ? 1) ? tan k ?
所以
n n?2 i ?3

tan( k ? 1) ? tan k ?1 tan 1

S n ? ? bi ? ? tan(k ? 1) ? tank
i ?1

tan(k ? 1) ? tank ? 1) tan1 i ?3 tan(n ? 3) ? tan3 ? ?n tan1 ? ?(
n?2

4.解: (Ⅰ)因为

S1 ? a1 , S 2 ? 2a1 ?

2 ?1 ? 2 ? 2a1 ? 2 2

4?3 ? 2 ? 4a1 ? 12 2 (2a1 ? 2)2 ? a1 (4a1 ?12) 由题意得 S4 ? 4a1 ?
解得 所以

a1 ? 1

an ? 2n ? 1
bn ? (?1)n?1 4n 4n ? (?1)n?1 an an?1 (2n ? 1) ? 2n ? 1?

(Ⅱ)

1 ? ? 1 ? (?1)n?1 ? ? ? ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
当 n 为偶数时,

1 ? ? 1 1 ? ? 1? ?1 1? ? 1 Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ? ?? ? ? 3? ? 3 5? ? 2n ? 3 2 n ? 1 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? 1 2n ? 1? ? 2n ? 1 2 n ? 1
当 n 为奇数时,

1 ? ? 1 1 ? ? 1? ?1 1? ? 1 Tn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? ? ??? ? ? 3? ? 3 5? ? 2n ? 3 2 n ? 1 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 1 ? 1 2n ? 2 ? 1? ? 2n ? 1 2 n ? 1
? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1 Tn ? ? ? 2n , n为偶数 ? ? 2n+1 综上所述,


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