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1997年第三十八届IMO试题(不含答案)


第三十八届(1997 年) 阿根廷 马德普拉塔(Mar del Plata,Argentina)
1. 平面上坐标值为整数的点是单位正方形的顶点。正方形被交替涂上黑色和白 色(像棋盘一样) 。 对于每对正整数 m 和 n,考虑一个直角三角形,它的顶点坐标为整数,直角边长 度为 m 和 n,且都在正方形的边上。 设 S1 为 三 角 形 黑 色 部 分 的 总 面 积 , S2 为 三 角 形 白 色 部 分 的 总 面 积 。 令 f(m,n)=|S1-S2|。 (a) 对于 m 和 n 都是奇数或都是偶数的情况下,计算 f(m,n)的值。 (b) 证明对于所有的 m 和 n 都有 f (m, n) ?
1 max{m, n} 。 2

(c) 说明不存在常数 C 使得对于所有 m 和 n 都有 f(m,n)<C。 (白俄罗斯) 2. 角 A 是三角形 ABC 中最小的角。 点 B 和 C 将三角形的外接圆分成两条弧。 设 U 是 B 和 C 之间不包括 A 的一段弧内的一点。AB 和 AC 的垂直平分线分别交直 线 AU 于 V 和 W。直线 BV 和 CW 交于 T。说明 AU=TB+TC。 (英国) 3. 设 x1 , x2 , … , xn 为 满 足 条 件 x1 ? x2 ? ? ? xn ? 1 的 实 数 , 且
xi ? n ?1 2 i ? 1, 2,? , n 。说明存在 x1,x2,…,xn 的排列 y1,y2,…,yn,使
n ?1 。 (俄罗斯) 2

得 y1 ? 2 y2 ? ? ? nyn ?

4. 一个 n× n 的矩阵, 如果其元素取自集合 S={1,2, ... , 2n-1}, 且对于每个 i=1,2, …, n,第 i 行和第 i 列的所有数包括了 S 的所有元素,那么称这个矩阵为“银矩阵”。 说明: (a) 当 n=1997 时不存在银矩阵; (b) 对于无限多个 n,存在银矩阵。 (伊朗) 5. 找到所有整数对(a,b)(a,b≥1) ,使其满足等式 ab ? ba 。 (捷克) 6. 对每个正整数 n,将 n 表示成 2 的非负整数次方之和,令 f(n)为正整数 n 的上 述不同表示法的个数。 如果两个表示法的差别仅在于他们中各个数相加的次序不 同,这两个表示法就被视为是相同的。例如,f(4)=4,因为 4 可以表示成下列四 种形式:4;2+2;2+1+1;1+1+1+1。
2

求证:对于任一整数 n≥3,都有 2 ? f (2 ) ? 2 。 (立陶宛)
n

n2 4

n2 2


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