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备课资料(2.3.4 平面向量共线的坐标表示)


备课资料 一、求点 P 分有向线段所成的比的几种求法 (1)定义法:根据已知条件直接找到使 P1 P =λ PP 2 的实数 λ 的值. 例 1 已知点 A(-2,-3),点 B(4,1),延长 AB 到 P,使| AP |=3| PB |,求点 P 的坐标. 解:因为点在 AB 的延长线上,P 为 AB 的外分点,所以 AP =λ PB ,λ<0,又根据| AP |=3|

PB |, 可知 λ=-3,由分点坐标公式易得 P 点的坐标为(7,3). (2)公式法:依据定比分点坐标公式. x=
x1 ? ? x 2 1? ? ,y ? y1 ? ? y 2 1? ? , 结合已知条件求解 λ.

例 2 已知两点 P1(3,2),P2(-8,3),求点 P( 解:由线段的定比分点坐标公式,得
3 ? ? (?8) ?1 , ?2 ? ? 1? ? 解得 ? 2???3 ?y ? , ? 1? ? ? 5 ? ? ? ? 17 , ? ? ? y ? 49 . ? 22 ?

1 2

,y)分 P1 P2 所成的比 λ 及 y 的值.

二、备用习题 1.已知 a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a-2b 等于( A.(7,1) B.(-7,-1)

) C.(-7,1) D.(7,-1) )

2.已知 A(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若 AB 和 CD 是相反向量,则 D 点的坐标是( A.(-2,0) B.(2,2) C.(2,0) )

D.(-2,-2)

3.若点 A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使 AB =λ BC 的实数 λ 的值为( A.1 4.设 a=(
3 2

B.-2 ,sinα),b=(cosα,
?
4 1 3

C.0 ) B.α=2kπD.α=kπ?
4

D.2

),且 a∥b,则 α 的值是(

A.α=2kπ+ C.α=kπ+
?

(k∈Z)

?
4

(k∈Z) (k∈Z) )

(k∈Z)

4

5.已知 A、B、C 三点共线,且 A(3,-6),B(-5,2),若 C 点的横坐标为 6,则 C 点的纵坐标为( A.-2 B.9 C.-9 D.13 6.若 A(2,3),B(x,4),C(3,y),且 AB =2 AC ,则 x=_______,y=________. 7.已知 ABCD 中, AD =(3,7), AB =(-2,1),则 CO 的坐标(O 为对角线的交点)为_________.

8.向量 OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(10,k),当 k 为何值时,A、B、C 三点共线?

9.已知点 A(2,3),B(5,4),C(7,10),若 AP = AB +λ AC (λ∈R),试问:当 λ 为何值时,点 P 在第一与 第三象限的角平分线上?当 λ 在什么范围内取值时,点 P 在第三象限内? 10.如图 6 所示,已知△ AOB 中,A(0,5),O(0,0),B(4,3), OC = 于点 M,求点 M 的坐标.
1 4
OA , OD =

1 2

OB ,AD 与 BC 相交

图6 11.已知四边形 ABCD 是正方形,BE∥AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F,求 证:AF=AE. 参考答案: 1.B 2.B 3.D 4.C 5.C 6.4 7.(1 2 7 2

,-4)

8.∵ OA =(k,12), OB =(4,5), OC =(10,k), ∴ AB = OB - OA =(4-k,-7), BC = OC - OB =(6,k-5). ∵ AB ∥ BC ,∴(4-k)(k-5)+7× 6=0.∴k2-9k-22=0. 解得 k=11 或 k=-2. 9.∵ AB =(3,1), AC =(5,7), ∴ AB +λ AC =(3+5λ,1+7λ),而 AP = AB +λ AC (已知), ∴ OP = OA + AP =(2,3)+(3+5λ,1+7λ)=(5+5λ,4+7λ). (1)若点 P 在第一与第三象限的角平分线上,则 5+5λ=4+7λ ? λ=
?5 ? 5? ? 0 ?4 ? 7? ? 0 ? ? ? ( ?? , ? 1)

1 2

;

(2)若点 P 在第三象限内,则 ?
1 4 1 4 1 2

10.∵ OC = ∵ OD =
1 2

OA =

(0,5)=(0,
3 2

5 4

),∴C(0,
3 2 3 2

5 4

).

OB =

(4,3)=(2,

),∴D(2,

).
7 2

设 M(x,y),则 AM =(x,y-5), AD =(2-0,

-5)=(2, ?

).

∵ ①

AM



AD

,∴

?

7 2

x-2(y-5)=0,



7x+4y=20.

又 CM =(x,y-

5 4

), CB =(4,
7

7 4

),
5 4

∵ CM ∥ CB ,∴

x-4(y ?

)=0,即 7x-16y=-20.②
12 7

联立①②,解得 x=

4 12
7

,y=2,故点 M 的坐标为(

,2).

11.证明:建立如图 7 所示的直角坐标系,为了研究方便,不妨设正方形 ABCD 的边长为 1,则 B(1,0),C(1,1),D(0,1),设 E(x,y),这里 y>0,于是 AC =(1,1), BE =(x-1,y).

图7 ?∵ AC ∥ BE ,∴1× y-(x-1)× 1=0? y=x -1.① ∵AC=OC=CE(已知),∴CE2=OC2 ? (x-1)2+(y-1)2=2.②
? 3? 3 , ?x ? 3? 3 1? 3 ? 2 , 由 y>0,联立①②,解得 ? 即 E( ). 2 2 1? 3 ? y ? , ? 2 ?
3? 2 3 ) ?(
2

AE=OE= (

1? 2

3

)

2

?

3 ?1

设 F(t,0),则 FC =(1-t,1), CE =( (

1?

3 ?1? , 2 2

3

). ).

∵F、C、E 三点共线,∴ FC ∥ CE .
?1? 2 3 ? 1? 2 3

∴(1-t)×

× 1=0,即 t=-1- 3 .

∴AF=OF=1+ 3 .∴AF=AE.


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