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广东省13大市2013届高三上学期期末数学(理)试题分类汇编9:三角函数


广东省 13 大市 2013 届高三上期末考数学理试题分类汇编
三角函数
一、选择、填空题 1、(潮州市 2013 届高三上学期期末)在{ EMBED Equation.DSMT4 | ?ABC 中角、、的 对边分别是、、,若, 则________. 答案:

1 2

解析:由,得, ,故, 又在中,故, 2、(东莞市

2013 届高三上学期期末)若函数,则是 A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的奇函数 C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为的偶函数 答案:D 3、 (佛山市 2013 届高三上学期期末) 函数 y ? sin x ? sin ? x ? 最大值是 .

? ?

??

? 的最小正周期为 3?



答案: 2? (2 分), 3 (3 分) 4、(广州市 2013 届高三上学期期末)函数的图象向右平移单位后与函数的图象重合, 则的解析式是 A. B. C. D. 答案:B 分析:逆推法,将的图象向左平移个单位即得的图象, 即 5、(江门市 2013 届高三上学期期末)函数 f ( x) ? ? sin( 2 x ? A.周期为 ? 的奇函数 C.周期为 ? 的偶函数 B.周期为 2? 的奇函数 D.周期为 2? 的偶函数 )

3 ? ) 在其定义域上是 2

答案:C 6、茂名市 2013 届高三上学期期末) ( 已知函数 y ? sin x ? cos x , 则下列结论正确的是 ( A. 此函数的图象关于直线 x ? ? C. 此函数在区间 ( ?

?
4

对称

B. 此函数的最大值为 1 D. 此函数的最小正周期为 ?

? ?

, ) 上是增函数 4 4

答案:C 7、(汕头市 2013 届高三上学期期末)若已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所 对的边,若 a=1,,A+B=2C,则 sinB=____ 答案:1 8、(汕头市 2013 届高三上学期期末)设命题 p:函数 y=sin2x 的最小正周期为;

命题 q:函数 y=cosx 的图象关于直线 x=对称,则下列的判断正确的是( A、p 为真 B、q 为假 C、q 为假 D、为真 答案:C



9、(湛江市 2013 届高三上学期期末)在△ABC 中,∠A=,AB=2,且△ABC 的面积为, 则边 AC 的长为 A、1 B、 C、2 D、1 答案:A 10、(中山市 2013 届高三上学期期末)若△的三个内角满足,则△( A.一定是锐角三角形 C.一定是钝角三角形 B.一定是直角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 )

答案:C 12、(珠海市 2013 届高三上学期期末)函数 y=sin (2x+)的图象可由函数 y=sin 2x 的图象 A.向左平移个单位长度而得到 B.向右平移个单位长度而得到 C.向左平移个单位长度而得到 D.向右平移个单位长度而得到 答案:A 二、解答题 1、(潮州市 2013 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , f ?( x) 是 f ( x) 的导 函数. (1)求函数 g ( x) ? f ( x) ? f '( x) 的最小值及相应的 x 值的集合; (2)若 f ( x) ? 2 f ?( x) ,求 tan( x ?

?
4

) 的值.
…… 2 分

解:(1)∵ f ( x) ? sin x ? cos x ,故 f '( x) ? cos x ? sin x . ∴ g ( x) ? f ( x) ? f '( x) ? ( sin x ? cos x )( cos x ? sin x )

? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x .
∴当 2 x ? ?? ? 2k? ( k ? Z ) ,即 x ? ?

……… 5 分

?
2

? k? ( k ? Z ) 时, g ( x) 取得最小 ? k? , k ? Z } . ……… 7 分

值 ?1 ,相应的 x 值的集合为 { x | x ? ?

?
2

评分说明:学生没有写成集合的形式的扣分. (2)由 f ( x) ? 2 f ?( x) ,得 sin x ? cos x ? 2 cos x ? 2sin x , ∴ cos x ? 3sin x ,故 tan x ?

∴ tan( x ?

?
4

)?

tan x ? tan

?
4

1 ? tan x tan

?
4

1 , 3 1 1? 3 ?2. ? 1 1? 3

……… 10 分

……… 12 分

2、(东莞市 2013 届高三上学期期末)

设函数,在△ABC 中,角 A、B、C的对边分别为 a,b,c (1)求的最大值; (2)若,,,求 A 和 a。 解:(1)因为 …………1 分 …………3 分 . 所以,当,即,时,取得最大值, 其最大值为. (2)由得,,即. ……7 分 在中,因为,所以. 又, 所以,. 又因为,所以. ………9 分 ………10 分 …………6 分 …………4 分 …………5 分

在△ ABC 中,由及,得 . …………12 分

3、(佛山市 2013 届高三上学期期末)
? 如图,在△ ABC 中, ?C ? 45 , D 为 BC 中点, BC ? 2 .

A

记锐角 ?ADB ? ? .且满足 cos 2? ? ? (1)求 cos ? ; (2)求 BC 边上高的值.

7 . 25

解析:(1)∵ cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ?
2

∵ ? ? (0,

?
2

7 9 2 ,∴ cos ? ? C, D B 25 25 第 16 题图
-----------------5 分
2

) ,∴ cos ? ?

3 . 5

(2)方法一、由(1)得 sin ? ? 1 ? cos ? ? ∵ ?CAD ? ?ADB ? ?C ? ? ? 45 ,
?

4 , 5

∴ sin ?CAD ? sin(? ?

?
4

) ? sin ? cos

?
4

? cos ? sin

?
4

?

2 , 10

----------9 分

在 ?ACD 中,由正弦定理得:

CD AD ? , sin ?CAD sin ?C

CD ? sin ?C ? ∴ AD ? sin ?CAD

1?

2 2 ? 5, 2 10

A ----------11 分

4 ? 4. 5 方法二、如图,作 BC 边上的高为 AH
则高 h ? AD ? sin ?ADB ? 5 ? 在直角△ ADH 中,由(1)可得 cos ? ?

-----------------12 分 C D B
第 16 题图

H

DB 3 ? , AD 5

则不妨设 AD ? 5m, 则 DH ? 3m, AH ? 4m

---------8 分

? 注意到 ?C =45 ,则 ?AHC 为等腰直角三角形,所以 CD ? DH ? AH ,

则 1 ? 3m ? 4m 所以 m ? 1 ,即 AH ? 4

----------10 分 ----------12 分

4、(广州市 2013 届高三上学期期末)已知的内角的对边分别是,且. (1) 求的值; (2) 求的值. (1)解:∵, 依据正弦定理得:, 即,解得. (2)解:∵, ∴. ∴. ∴, . ∵, ∴. ∴ …………… 8 分 …………… 9 分 …………… 10 分 …………… 4 分 …………… 5 分 …………… 6 分 …………… 7 分 …………… 1 分 …………… 3 分

.

…………… 12 分

5、 (惠州市2013届高三上学期期末) 已知函数 f ( x) ? sin x cos ? ? cos x sin ?(其中 x ? R ,

? ?? ? 0 ? ? ? ? ),且函数 y ? f ? 2 x ? ? 的图像关于直线 x ? 对称. 6 4? ?
(1)求 ? 的值;

2? 2 ,求 sin 2? 的值。 )? 3 4 (1)解:∵ f ( x) ? sin ? x ? ? ? ,……………………………………2分
(2)若 f (? ? ∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? .……………………………………3分

? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ,……………………………………5分 4? 4 ? ? ? 又 y ? sin x 的图像的对称轴为 x ? k? ? ( k ? Z ),………………………………6分 2 ? ? 令 2 x ? ? ? ? k? ? , 4 2 ? ? 将 x ? 代入,得 ? ? k? ? ( k ? Z ). 6 12 11? ∵ 0 ? ? ? ? ,∴ ? ? .……………………………………7分 12 2? 2 2? 11? ? 2 (2)解: f (? ? )? ? sin(? ? ? ) ? sin(? ? ) ? (sin ? ? cos ? ) ,…9 3 4 3 12 4 2
∵函数 y ? f ? 2 x ?

? ?

??



1 1 3 ? 1 ? sin 2? ? ? sin 2? ? ? ………12分 2 4 4 6、(江门市 2013 届高三上学期期末)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 cos A ? cos 2 A ? 0 . ⑴求角 A 的大小; sin ? ? cos ? ?
⑵若 a ? 3 , b ? 2 ,求 sin( B ?

?
4

) 的值.

2 解:⑴由 cos A ? cos 2 A ? 0 得 2 cos A ? cos A ? 1 ? 0 ……2 分,

解得 cos A ? ?1 或 cos A ?

1 ……4 分, 2

因为 A 是三角形的内角, 0 ? A ? ? ,所以 A ? ⑵由正弦定理

?
3

……6 分

a b ? 得 sin A sin B

3 sin

?
3

?

2 3 ……8 分,解得 sin B ? ……9 分, sin B 3

6 ……10 分, 3 3 ? ? ? 6?2 3 所以 sin(B ? ) ? sin B cos ? cos B sin ? ……12 分 4 4 4 6
因为 b ? a ,所以 0 ? B ? A ? , cos B ? 7、(茂名市 2013 届高三上学期期末) 如图所示,角 A 为钝角,且 cos A ?

?

4 ,点 P 、 Q 分别在角 A 5

的两边上. (1)已知 AP =5,AQ =2,求 PQ 的长;

12 , 求n 2? ? ? ) 的值. s i ( 13 3 4 解:(1)? ?A 是钝角, sin A ? ,? cos A ? ? ………………1 分 5 5 在 ?APQ 中,由余弦定理得: PQ2 ? AP2 ? AQ2 ? 2 AP ? AQ cos A
(2) ?APQ ? ? , ?AQP ? ? , 且 cos ? ? 设 所以 AQ2 ? 8AQ ? 20 ? 0 解得 AQ ? 2 或 ?10 (舍去负值),所以 AQ ? 2 (2)由 cos ? ? ………………4 分 …………………6 分 …………………7 分

12 5 , 得 sin ? ? 13 13 在三角形 APQ 中, ? ? ? ? A ? ?
又 sin(? ? ? ) ? sin(? ? A) ? sin A ?

3 , 5

…………………8 分

4 ………………9 分 5 ?sin(2? ? ? ) ? sin[? ? (? ? ? )] ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? sin(? ? ? ) ……11 分 5 4 12 3 56 ? ? ? ? ? ………………………12 13 5 13 5 65 cos(? ? ? ) ? ? cos A ?
8、(汕头市 2013 届高三上学期期末)已知函数 (I)求 f(x)的最小正周期; (II)求的值; (皿)设,求的值. 解:(1)的最小正周期为 T= (2)…………(6 分) (3)由……(8 分) 所以…………(9 分) …………(3 分)

.…………(10 分) …………(11 分) …………(12 分)

9、(增城市 2013 届高三上学期期末)已知函数 (1)求的最小正周期及最大值; (2)用五点法画出在一个周期上的图像 (1) 1分 3分 = 4分 = 的最小正周期是,最小值是 6.列表 5分 7分 9分 10 分 11 分 12 分

画图 特征点 坐标系 10、(湛江市 2013 届高三上学期期末)已知函数的部分图象如图所示。 (1)求函数 f(x)的表达式; (2)若,求的值。

11、肇庆市 2013 届高三上学期期末) ( 已知向量 a ? ? A sin

? ?

x x? ? ?? ? , A cos ? , b ? ? cos ,sin ? , 3 3? 6 6? ?

b 函数 f ( x) ? a ? ( A ? 0, x ? R ),且 f (2? ) ? 2 .(1)求函数 y ? f ( x) 的表达式;(2)

设 ? , ? ? [0,

?
2

] , f (3? ? ? ) ?

16 5? ? , f ? 3? ? 5 2 ?

20 ? ? ? ? ;求 cos(? ? ? ) 的值 13 ?

解析:(1)依题意得 f ( x) ? A sin

x ? x ? ?x ?? cos ? Acos sin ? A sin ? ? ? 3 6 3 6 ?3 6?

(2 分)

又 f (2? ) ? 2 得 A sin ?

5? ? 2? ? ? ? 2 ,∴ A ? 4 ? ? ? 2 ,即 A sin 6 ? 3 6?

(4 分)

∴ f ( x) ? 4sin ?

?x ?? ? ? ?3 6?
16 ? ? 16 ? ? 16 ?1 ? 得 4sin ? (3? ? ? ) ? ? ? ,即 4sin ? ? ? ? ? 5 6? 5 2? 5 ?3 ?

(5 分)

(2)由 f (3? ? ? ) ? ∴ cos ? ?

4 , 5

(7 分)

又∵ ? ? [0, 由 f ? 3? ? ∴ sin ? ?

?
2

] ,∴ sin ? ?

3 , 5

(8 分)

? ?

5? 2

5 20 5? ? ? 20 ? ?1 ? ? ? 得 4sin ? (3? ? ) ? ? ? ? ,即 sin( ? ? ? ) ? ? 13 13 2 6? 13 ? ?3
(10 分)

5 , 13

又∵ ? ? [0,

?

2

] ,∴ cos ? ?

12 13
(12 分)

4 12 3 5 33 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65
12、(珠海市 2013 届高三上学期期末)设向量 a=,b=,θ 为锐角. 13 (1)若 a·b= |,求 sinθ+cosθ 的值; 6 π (2)若 a∥b,求 sin(2θ+ |)的值. 3 解:(1) 因为 a·b=2+sinθcosθ= 13 1 |,所以 sinθcosθ= |. 6 6

……………… 3 分

4 所以 (sinθ+cosθ)2=1+2 sinθcosθ= |. 3 2 3 又因为 θ 为锐角,所以 sinθ+cosθ= |. 3 (2) 解法一 因为 a∥b,所以 tanθ=2. ……………… 6 分 ……………… 8 分

所以 sin2θ=2 sinθcosθ=

2 sinθcosθ 2 tanθ 4 |= |= |, sin2θ+cos2θ tan2θ+1 5 cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 |= |=- |.……………… 10 分 2 2 2 5 sin θ+cos θ tan θ+1

cos2θ=cos2θ-sin2θ=

π 1 3 所以 sin(2θ+ |)= |sin2θ+ |cos2θ 3 2 2 4-3 3 1 4 3 3 = |× |+ |×(- | )= |. 2 5 2 5 10 解法二 因为 a∥b,所以 tanθ=2. 2 5 5 所以 sinθ= |,cosθ= |. 5 5 4 3 因此 sin2θ=2 sinθcosθ= |, cos2θ=cos2θ-sin2θ=- |. 5 5 π 1 3 所以 sin(2θ+ |)= |sin2θ+ |cos2θ 3 2 2 4-3 3 1 4 3 3 = |× |+ |×(- | )= |. 2 5 2 5 10 ……………… 12 分 ……………… 10 分 ……………… 12 分 ……………… 8 分


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