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高一数学 2.3幂函数课件 新人教A版必修1


数学的美无处不在
1 我们来看看由8、2、3、 这四个数 3 运用数学符号可组成哪些等式?

8?2
3 ? log2 8

3

2?8

1 3

函数的完美追求
思考: N? 1.如果 a 一定,N 随 b 的变化而变化, 指数 ?ax ;

我们建立了_____函数________ y

a

b

2 如果 a 一定,b 随 N 的变化而变化, 对数 y ? log a x 我们建立了_____函数______ 。

设想:如果b一定,N随a的变化而变化,
是不是也应该可以确定一个函数呢?

一 生活实例
我们先来看看几个具体的问题:
(1)如果张红买了每千克1元的蔬菜W千克,那么她需要支付 P=W 元 __________ p是w的函数

S=a? (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积_____ S 是a的函数 V=a? (3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积___________ V是a的函数 (4)如果一个正方形场地的面积为s,那么这个
正方形的边长______ a是s的函数 a=s
(5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均速度 _____________ V是t 的函数 V=t?? km/s
1 2

请归纳:

幂函数定义

思考: 幂函数和指数函数有什么区别?
? a x (a ≠ 0且a ? 1) y y?x
a

问题:判断下列函数哪个是幂函数 ?

1 y () ? 3 (4)y ? 1

x

y ? x2 (2)
2

(3) y ? 2x

2

(5) y ? x +1

答案(2)

y ? x2

幂函数的图象和性质
研究下面几个幂函数的图象,并归纳幂函数的性质

(1)y=x

(2) y ? x
3

2

(3) y ? x
(5) y ? x

(4) y ? x

1 2

?1

y ? x3

y ? x2
y?x

y?x

1 2

y ? x ?1

幂函数的性质
y=x
定义域 值 域 奇偶性 单调性 R R 奇 增 (1,1)

y=x2
R [0,+ ∞) 偶
在(-∞,0]上递减 在[ 0,+∞)上递增

y=x3
R R

y?x

1 2

y=x-1
{x|x≠0} {y|y≠0} 奇
在(-∞,0)上递减 在(0,+∞)上递减

[0,+∞) [0,+∞)

奇 非奇非偶 增 (1,1) 增 (1,1)

公共点

(1,1)

(1,1)

归纳
幂函数图象在第一象限的分布情况:

a ?1
a ?0

a =1

0 ?a ?1

归纳
1、

(0,0) (1,1) a ? 0 , 图象都过定点______和_____; [0,+∞) 上单调递增 . 在区间________

幂函数图象在第一象限的性质:

上 注意: >1时,图象_____凸 当0<a<1时,图象_____凸 下 a

2、

a ? 0 , 图象都过定点_____ ; (1,1)
(0,+∞) 在区间_______ 上单调递减 .

例题:
例1、已知幂函数y = f (x)的图象经过点(3, 3 ), 求这个函数的解析式,并求函数的奇偶性、单调性。

例2、 用不等号填空: (1)5.1-2 > 5.9-2; (2)(a+1)15 > a15 __ (3)若3a>2a,则a > 0。 (4)1.30.5 > 0.51.3;

例题:
例3、如果函数f (x) = (m2-m-1) xm是幂函数,且在区间 (0,+∞)上是减函数,求满足条件的实数m的值。

变式训练:如果幂函数f (x) = 是减函数,求满足条件的实数m的集合。

m2-2m-3在区间(0,+∞)上 x

练习巩固
1.画出幂函数 y ? x 的单调性
4 1

1 3的图象,并指出它

f(x) = x 3
2

-10

-5

5

10

-2

-4

练习巩固
2.比较下列各组数的大小. (1)

1.5 ,1.7 ,1
3 7 3 7 3 7

1 3

1 3

(2) (? 2) ,(? 3) ,(? 5)
解:(1)

1.7 ? 1.5 ? 1
2 )? ? 3
3 7

1 3

1 3

(2) (?

(

) ? (? 5 )
3 7

3 7

课堂小结
y=xa 幂 ? 1.学习了_____函数的概念;函数一般式为____________
?

2.利用___________法求幂函数定义域; 还原根式

第一象限 3.会利用幂函数在__________内的图象特征解决问题,并会 奇偶 根据______性完成整个函数的图象。
?

单调 4.利用函数的______性比较几个“同指数不同底数”的幂 的大小.
? ?

分类讨论 数形结合 5、两个数学思想___________ 和 ___________ 。

作业:
1、《教材》P79 1、2 2、预习新课

课后再探究
整数m, n的奇偶性与幂函数 y ? x (m, n ? Z , 且m, n互质)的定 义域以及奇偶性有什么 关系?
m n


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