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江西省高安中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试卷 (Wo


江西省高安中学 2014-2015 学年度下学期期中考试

高二年级数学(文科)试题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.已知 i 为虚数单位, a ? R ,若 a 2 ? 1 ? ? a ? 1? i 为纯虚数,则复数 z ? a ? ? a ?

2 ? i 在复平 面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ”是“ ”的( )

x 2.设集合 A ? {x | ? 0}, B ? {x | 0 ? x ? 3} ,那么“ x ?1

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.登山族为了了解某山高 y(km)与气温 x(°C)之间的关系,随机统计了 4 次山高与相应 的气温,并制作了对照表: 气温 x (°C) 山高 y(km) 18 24 13 34 10 38 -1 64

由表中数据,得到线性回归方程 y ? ?2 x ? a (a ? R ) ,由此请估计出山高为 72(km) 处气温的度数为( ) A. -10 B. -8 C. -4 D. -6 4. 从标有1,2,3,4,5,6的6张纸片中任取2张, 那么这2张纸片数字之积为6的概率 是( ) A.

1 5

B.

5.把函数 y ? 5sin(2 x ?

?
6

1 15

C.

2 15

D.

1 3

,再把 ) 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)

所得函数的图象向右平移

?
3

个单位,得到图象的解析式为(

) D.y=一 5cos4x

A.y=5cosx B.y=-5cosx C.y=5cos4x 6.执行如图所示的程序框图,则输出 S 的值是( )

否 开始
i ? 1, s ? 1

i ? i ?1

1 s?s? i ?i
2

i?5


A.

4 5

B.

9 5

C.

5 6

结束

11 输出 D. 6

s

7. 已知 f ( x) 是定义在 R 上周期为 4 的奇函数,当 x ? (0, 2] 时, f ( x) ? 2 x ? log 2 x ,则

f (2015) ? (
A.-2

) B.

1 2

C.2

D. 5

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?y ? x ? 8.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4, 则 z=|x--3y|的取值范围为( ? x ? ?2 ?
A.[2,8]
?



B.[0,8]
3

C.[4,8]

D.[0,4] )

9. 观察下列各式: 7 ? 49, 7 ? 343 , 7 4 ? 2401 ,则 7 2015 的末两位数字为( A. 01 B. 43 C. 07 D. 49

x2 y2 10.双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点与抛物线 x 2 ? 4 2ay 的焦点的连线平行于 a b
该双曲线的一条渐近线,则双曲线的离心率为( A.2 11. 设函数 f ? x ? ? ( ) A. [? 5 , ? ?) C. (??, ? 3] ? [? 5 , ? ?) B. (??, ? 3] D. ? 5 , B. 2 C. ) D.

2 ? 2 33 2

1 ? 33 2

1 3 则实数 a 的取值范围是 x ? ax 2 ? 5 x ? 6 在区间 ?1, 3? 上是单调函数, 3

?

5

?
1 恒成立,则 2

12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 1 ,且对于任意的 x , f ?( x) ? 不等式 f (lg x) ?
2

lg 2 x 1 ? 的解集为( ) 2 2
B. (0,

A. (0,

1 ) 10

1 ) 10

(10, ??)

C. (

1 ,10) 10

D. (10, ??)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13 .若曲线: y ? a x ? 1? a ? 0且a ? 1? 在点( 0,2 )处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直,则

a =_____. 14.某校从参加高三年级期末考试的学生中随机抽 取 100 名学生,将其数学成绩分成五段:

?50, 70 ? , ?70,90 ? , ?90,110 ? , ?110,130 ? ,

?130,150? ,它的频率分布直方图如
图所示,则该批学生中成绩不低于 90 分的人数是_____. 15.若 3sin θ =cos θ ,则 cos 2θ +sin 2θ 的值等于___________

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? x 2 ? 1, x ? 1 ? 16.已知函数 f ( x) ? ?log x, x ? 1 函数 g ( x) ? f ( x) ? k 有三个不同的零点,则实数 k 的 1 ? ? 2
取值范围是_________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分. ) 17. (满分 10 分) 已知函数 f ? x ? ? ?sin x ? cos x ? ? cos?? ? 2 x ?
2

(1)求 f ? x ? 的最小正周期和单调递增区间; (2)求 f ? x ? 在区间 ?

? ? 3? ? 上的取值范围。 , ?4 4 ? ?

18.(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 对边分别为 a,b,c,且 b sin A ? (1)求角 B 的大小; (2)若 b ? 3, sin C ? 2 sin A ,求 a,c 的值.

3a cos B

19. (本小题满分 12 分) 某工厂生产 A, B 两种元件,其质量按测试指标 ? 划分为: ? ? 7.5 为正品, ? ? 7.5 为 次品.现从一批产品中随机抽取这两种元件各 5 件进行检测,检测结果记录如下:

A

7 6

7

7 .5 8 .5

9
8 .5

9 .5

B

x

y

由于表格被污损,数据 x, y 看不清,统计员只记得 x ? y ,且 A, B 两种元件的检测数 据的平均数相等,方差也相等. (1)求表格中 x 与 y 的值; (2)若从被检测的 5 件 B 种元件中任取 2 件,求取出的 2 件都为正品的概率.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 与 x 轴垂直。
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x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1、F2,点 A(2, 2 )在椭圆上,且 AF2 a 2 b2

(1)求椭圆的方程; (2)过 A 作直线与椭圆交于另外一点 B,求 Δ AOB 面积的最大值。

21. (本小题满分 12 分)

已知:函数 f(x)= (I)求 f(x)的单调区间. (II)若 f(x) >0 恒成立,求 a 的取值范围.

22.(本小题满分 10 分)

设函数 f ? x ? ? 2 x ? 1 ? x ? 4 .

(1)解不等式 f ? x ? ? 0 ; (2)若 f ? x ? ? 3 x ? 4 ? m 对一切实数 x 均成立,求 m 的取值范围.

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江西省高安中学 2014-2015 学年度下学期期中考试 高二年级数学答案
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 题号 答案 1 D 2 A 3 D 4 C 5 B 6 B 7 A 8 B 9 B 10 B 11 C 12 B

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填写在题中的横线上) 13. e
2

14.

65

15.

7 5

16. (-1,0) 三、解答题 ( 本大题共 6 小题 , 其中第 17 — 21 题每小题 12 分, 22 题 10 分,解答应写 出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 ) 17.解: (1)∵ f ? x ? ? ?sin x ? cos x ? ? cos?? ? 2 x ? ?
2

∴函数 f ? x ? 的最小正周期为 T ? 由? 得?

?

3? ? k? , ?k ? Z ? 8 8 ? 3? ? ∴ f ? x ? 的单调增区间是 ?? ? k? , ? k? ? , ?k ? Z ? ? ? k? ? x ?
? 8 8 ?
分 (2)∵

?

2

? 2k? ? 2 x ?

?
4

?

?
2

2? ?? 。 2

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? ? 1 4? ?

(k ?Z ) ? 2k? ,

…………………………6

?
4

?x?

3? ? ? 5? ,∴ ? 2 x ? ? 4 4 4 4

∴函数 f ? x ? 在区间 ? 分

? ? 3? ? 上的取值范围为 0, , ?4 4 ? ?

?

2 ? 1 。…………………………12

?

18. (I)因为 b sin A ? 得: sin B ?

3a cos B. 由正弦定理

a b ? sin A sin B

3 cos B, tan B ? 3
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因为 0 ? B ?

?
2

, 所以 B ?

?
3

…………………………6 分

(II)因为 sin C ? 2 sin A, 由正弦定理知 c=2a① 由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 得 9 ? a 2 ? c 2 ? ac ② 由①②得 a ?

3 , c ? 2 3. …………………………12 分

19.解:(1)? x A ?

1 1 (7 ? 7 ? 7.5 ? 9 ? 9.5) ? 8 , xB ? (6 ? x ? 8.5 ? 8.5 ? y ) , 5 5 1 2 ? (1 ? 1 ? 0.25 ? 1 ? 2.25) ? 1.1 , ? 由 x A ? xB 得: x ? y ? 17 ①,又 s A 5 1 2 sB ? [4 ? ( x ? 8) 2 ? 0.25 ? 0.25 ? ( y ? 8) 2 ] , 5 2 2 2 2 得: ? sB (x ? 8) +(y ? 8) =1 . ② ?由 sA 由①②及 x ? y 解得: x ? 8 , y ? 9 . …………………………6 分 (2)记被检测的 5 件 B 种元件分别为 B1 , B2 , B3 , B4 , B5 ,其中 B2 , B3 , B4 , B5 为正品,
从中任取 2 件,共有 10 个基本事件,列举如下: ( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , B4 ),

( B1 , B5 ), ( B2 , B3 ), ( B2 , B4 ), ( B2 , B5 ), ( B3 , B4 ), ( B3 , B5 ), ( B4 , B5 ). 记“2 件都为正品”为事件 C ,则事件 C 包含以下 6 个基本事件: ( B2 , B3 ), ( B2 , B4 ), ( B2 , B5 ), ( B3 , B4 ), ( B3 , B5 ), ( B4 , B5 ), 6 3 3 ? P(C ) ? ? ,即 2 件都为正品的概率为 . …………………………12 分. 10 5 5

20.解: (1)有已知:c = 2, 故椭圆方程为

b2 ? 2 ,∴ a ? 2 2 , b 2 ? 4 a
……4 分
1 ?2 2?2 ? 2 2 2

x2 y 2 ? ?1 8 4

(2)当 AB 斜率不存在时: S?AOB ?

……6 分
(k ? 2 ) 2

当 AB 斜率存在时:设其方程为: y ? 2 ? k ( x ? 2)
? ? y ? kx ? ( 2 ? 2k ) 由? 2 ,得 2 ? ? x ? 2 y =8

? 2k
2

2

? 1? x 2 ? 4

?
?

2 ? 2k kx ? 2

?

?

2 ? 2k

?

2

?8 ? 0

由已知: ? ? 16

?

2 ? 2k

?

k 2 ? 8 ? 2k 2 ? 1? ? ? ?

2 ? 2k

?

2

? 4 ? ? 8 2k ? 2 ? ?

?

?

2

?0

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即: k ? ?

2 2

AB ? 1 ? k 2 ?

2 2 ? 2k ? 2 2k 2 ? 1
2 ? 2k 1? k2

……8 分

O 到直线 AB 的距离: d ?
∴ S?ABC ? ∵k ? ?

1 4 AB d ? 2 2 ? 2 2 2k ? 1

……10 分

2 ,∴ 2k 2 ? 1 ? 2 ,∴ 2k 2 ? 1 ? ?1, 2 ? 2

? 2, ?? ? ,∴ 2 ?

4 ? ? ?2, 0 ? 2k 2 ? 1 ?

? 0, 2 ?

此时 S?AOB ? (0, 2 2] 综上所求:当 AB 斜率不存在或斜率为零时,Δ AOB 面积取最大值为 2 2 ……12 分

21.解:(Ⅰ)

的定义域为



………3 分 (1)当 因此, (2)当 因此, 分 时,在 在 时,在 在 上 上递减,在 上 上递减,在 时, ,在 上递增. ,在 上 上递增. 上
, ,

………5 分

………6

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:

. 当 时, . 综上得: . 22.解:(Ⅰ)当 x ? 4 时 f(x)=2x+1-(x-4)=x+5>0 ,

………9 分

………12 分
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得 x>-5,所以 x ? 4 成立 当?

1 ? x ? 4 时,f(x)=2x+1+x-4=3x-3>0 2 1 时 f(x)=-x-5>0 得 x<-5 所以 x<-5 成立, 2
------------5 分

得 x>1,所以 1<x<4 成立 当x? ?

综上,原不等式的解集为{x|x>1 或 x<-5}

(Ⅱ)f(x)+ 3 x ? 4 =|2x+1|+2|x-4| ?| 2 x ? 1 ? (2 x ? 8) |? 9 当?

1 ? x ? 4时等号成立 2
-----------10 分

所以 m≤9

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