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高二数学理科选修2-2测试题(带答案)


第二学期高二数学理科选修 2-2 模块检测试题
一、选择题
1.一个物体的位移 s (米)和与时间 t (秒)的关系为 s ? 4 ? 2t ? t ,则该物体在 4 秒末的瞬时速度是
2

A.12 米/秒

B.8 米/秒

C.6 米/秒

D.8 米/秒

>
2.由曲线 y = x2 , y = x3 围成的封闭图形面积为为 A.

1 12

B.

1 4
2

C.

1 3

D.

7 12

3.给出下列四个命题: (1)若 z ? C ,则 z ≥ 0 ; (2) 2i - 1虚部是 2i ; (3)若 a ? b, 则a ? i ? b ? i ;(4)若 z1 , z2 , 且 z1 > z2 ,则 z1 , z2 为实数;其中正确命题 的个数为 .... A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

4.在复平面内复数 (1 + bi)(2 + i) ( i 是虚数单位, b 是实数)表示的点在第四象限,则 b 的取值范围是 A. b < ?

1 2

B. b ? ?

1 2

C. ?

1 < b<2 2

D. b < 2

5.下面几种推理中是演绎推理 的为 .... A.由金、银、铜、铁可导电,猜想:金属都可导电; 1 1 1 1 , , , ??? 的通项公式为 an ? B.猜想数列 (n ? N ? ) ; n(n ? 1) 1? 2 2 ? 3 3 ? 4
2 C.半径为 r 圆的面积 S ? ? r ,则单位圆的面积 S ? ? ;

D . 由 平 面 直 角 坐 标 系 中 圆 的 方 程 为 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 , 推 测 空 间 直 角 坐 标 系 中 球 的 方 程 为

( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? ( z ? c)2 ? r 2 .
6.已知 f ? x ? ? ? 2 x ? 1? ?
3

A.4

2a ? 3a ,若 f ? ? ?1? ? 8 ,则 f ? ?1? ? x B.5 C. - 2

D. - 3

7.若函数 f ? x ? ? ln x ? ax 在点 P ?1, b ? 处的切线与 x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直,则 2a ? b 等于 A.2
?

B.0

C. - 1 A.0 B.

D. - 2

8.

? ? ?sin x ? cos x ? dx 的值为
2 ? 2

? 4

C.2

D.4

9.设 f ? x ? 是一个多项式函数,在 ? a, b? 上下列说法正确的是 A. f ? x ? 的极值点一定是最值点 C. f ? x ? 在 ? a, b? 上可能没有极值点 B. f ? x ? 的最值点一定是极值点 D. f ? x ? 在 ? a, b? 上可能没有最值点

1

10.函数 f ? x ? 的定义域为 ? a, b ? ,导函数 f ? ? x ? 在 ? a, b ? 内的图像如图所示,则函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 内有极小值点 A.1 个 B.2 个
2

C.3 个

D.4 个

11.已知 a1 ? 1, an?1 ? an 且 ? an ?1 ? an ? ? 2 ? an ?1 ? an ? ? 1 ? 0 ,计算 a2 , a3 ,猜想 an 等于 A. n B. n
2

C. n

3

D. n ? 3 ? n

12.已知可导函数 f ( x) ( x ? R ) 满足 f ? ( x) > f ( x) ,则当 a ? 0 时, f (a) 和 ea f (0) 大小关系为 A. f (a) < ea f (0) B. f (a) > ea f (0) C. f (a) = ea f (0) D. f (a) ≤ ea f (0)

二、填空题
14. f (n) = 1 +

13.若复数 z = (a - 2) + 3i ( a ? R )是纯虚数,则

a+ i = 1 + ai

.

1 1 1 + +鬃 ? (n ? N+ ) 2 3 n

经计算的 f (2) ?

3 5 7 , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? ,推测当 n ≥ 2 时,有______. 2 2 2
1 (n ? N+ ) , 记 f (n) ? (1 ? a1 )(1 ? a2 ) ? ? ? (1 ? an ) , 试 通 过 计 算 (n + 1) 2

15 . 若 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 an =

f (1), f (2), f (3) 的值,推测出 f (n) ? __________ ______ .
16.半径为 r 的圆的面积 s(r ) ? ? r 2 ,周长 C (r ) ? 2? r ,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则 (? r 2 )' ? 2? r ①,①式 用语言可以叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为 R 的球,若将 R 看作 (0, + ? ) 上的变 量,请写出类比①的等式:____________________.上式用语言可以叙述为_________________________.

三、解答题:17.抛物线 y ? x2 ?1 ,直线 x ? 2, y ? 0 所围成的图形的面积
18.已知 a ? b ? c, 求证:

1 1 4 ? ? . a ?b b?c a ?c

2 an ? 2an ? 2 19.已知数列 {an }的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? ,且 an ? 0, n ? N? . 2an

(1)求 a1 , a2 , a3 ; (2)猜想 {an }的通项公式,并用数学归纳法证明 21. 设函数 f ? x ? ? xe
kx

? k ? 0?

(1)求曲线 y ? f ? x ? 在点 0, f ? 0? 处的切线方程. (2)若函数 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 内单调递增,求 k 的取值范围. 22.已知函数 f ( x) = a ln x + x ( a 为实常数) . (1)若 a = - 2 ,求证:函数 f ( x ) 在 (1, + ? ) 上是增函数; (2)求函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值及相应的 x 值;
2
2

?

?

一、选择题
题号 答案 1 C 2 A 3 A 4 A 5 C 6 A 7 D 8 C 9 C 10 A 11 B 12 B

12.提示:令 g ( x) = e- x f ( x) ,则 g ⅱ ( x) = e- x [ f ( x) - f ( x)] > 0 . 所以 g ( x) 在 (- ? , ? ) 上为增函数, g (a) > g (0) . e- a f (a) > e0 f (0) ,即 f (a) > ea f (0) ,故选 B.

二、填空题
13.

4 - 3i 5

14. f (2 ) ?
n

n?2 2

15. f ( n) ?

n?2 2n ? 2

f (n) ? (1 ?

1 1 1 )(1 ? 2 ) ??? [1 ? ] 2 2 3 (n ? 1)2

1 1 1 1 1 1 ? (1 ? )(1 ? )(1 ? )(1 ? ) ??? (1 ? )(1 ? ) 2 2 3 3 n ?1 n ?1 1 3 2 4 3 n n?2 n?2 ? ? ? ? ? ? ... ? ? ? 2 2 3 3 4 n ? 1 n ? 1 2n ? 2
16. ( ? R ) ' ? 4? R ;球的体积函数的导数等于球的表面积函数
3 2

4 3

三、解答题
17.解 由 x ? 1 ? 0 ,得抛物线与轴的交点坐标是 (?1, 0) 和 (1, 0) ,所求图形分成两块, 分别用定积分表示面积
2

S1 ? ? | x2 ? 1|dx , S2 ? ? ( x 2 ? 1)dx .
?1 1

1

2

故面积 S ? S1 ? S2 ? = (x ?

?

1

?1

| x 2 ? 1|dx ? ? ( x 2 ? 1)dx = ? (1 ?x 2 )dx ? ? ( x 2 ? 1)dx
1 ?1 1

2

1

2

x3 ) 3

1 ?1

?(

1 1 8 1 8 x3 2 ? x) 1 = 1 ? ? 1 ? ? ? 2 ? ( ? 1) ? . 3 3 3 3 3 3

18.证明: ∵

a- c a- c a- b + b- c a- b + b- c + = + a- b b- c a- b b- c
= 2+ b- c a- b b- c a- b + ≥2+ 2 ? a- b b- c a- b b- c


4, (a> b> c)



a- c a- c + ≥4 a- b b- c

1 1 4 . + ≥ a- b b- c a- c
3 ,又 ∵ an > 0 ,所以 a1 = 3 - 1.

19.(1) a1 = S1 =

a1 1 + - 1 ,所以, a1 = - 1 ? 2 a1

S2 =a1 ? a2 ?

a2 1 ? ? 1 , 所以 a2 ? 5 ? 3 , 2 a2
3

S3 =a1 ? a2 ? a3 ?
(2)猜想 an =

a3 1 ? ? 1 所以 a3 ? 7 ? 5 . 2 a3
2n - 1 . 3 - 1 成立. 2k - 1 成立
2k + 1 .

2n + 1 -

证明: 1o 当 n = 1 时,由(1)知 a1 =

2o 假设 n = k (k ? N+ ) 时, ak =

2k + 1 -

ak +1 =Sk ?1 ? Sk ? (

ak ?1 a a 1 1 1 ? ? 1) ? ( k ? ? 1) = k + 1 + 2 ak + 1 2 ak ?1 2 ak

2 所以 ak + 1 + 2 2k + 1ak + 1 - 2 = 0

ak + 1 =

2(k + 1) + 1 -

2(k + 1) - 1

所以当 n = k + 1 时猜想也成立.综上可知,猜想对一切 n ? N+ 都成立.

kx kx ? ? 21.解: (1) f ( x) = e + kxe , f (0) = 1 , f (0) = 0

∴ y = f ( x) 在(0,0)处的切线方程为 y = x .

( x) = ekx + kxekx = (1 + kx)ekx = 0 ,得 x = (2)法一 f ?
若 k > 0 ,则当 x ? ( ? , 当 x? (

1 (k ? 0) k

1 ( x) < 0 , f ( x) 单调递减, ) 时, f ? k

1 ( x) > 0 , f ( x) 单调递增. , + ? ) 时, f ? k 1 若 k < 0 ,则当 x ? ( ? , ( x) > 0 , f ( x) 单调递增. ), f? k 1 当 x? ( ( x) < 0 , f ( x) 单调递减. , + ? ) 时, f ? k 若 f ( x) 在区间 (- 1,1) 内单调递增, 1 ≤ - 1,即 k ≤ 1 . k 1 当 k < 0 时, - ≥1 ,即 k ≥ - 1 . k 故 f ( x) 在区间 (- 1,1) 内单调递增时
当 k > 0 时, k 的取值范围是 [- 1,0) U (0,1]

法二 ∵ f ( x) 在区间 (- 1,1) 内单调递增,

( x) ≥ 0 在区间 (- 1,1) 上恒成立. ∴ f?
ekx + kxekx ≥ 0 ,∵ ekx > 0 ,∴ 1 + kx ≥ 0 . 即 1 + kx ≥ 0 在区间 (- 1,1) 上恒成立. 令 g ( x) = 1 + kx ,

4

ì g (- 1) ≥ 0 ? ∴? í ? ? ? g (1) ≥ 0

解得 - 1 ≤ k ≤ 1 .

当 k = 0 时, f ( x) = 1 . 故 k 的取值范围是 [- 1,0) U (0,1] . 22.解: (1)当 a ? ?2 时, f ( x) ? x 2 ? 2 ln x ,

2( x 2 - 1) > 0. x 故函数 f ( x) 在 (1, + ? ) 上是增函数. ( x) = x ? (1, ? ) , f ? ( x) = (2) f ? 2 x2 + a > 0. x

当 x ? [1,e] , 2 x2 + a ? [a

2, a + 2e2 ] .

若 a≥- 2 , f ? , ( x) 在 [1,e] 上非负(仅当 a = - 2 , x = 1 时, f ? ( x) = 0 ) 故函数 f ( x) 在 [1,e] 上是增函数. 此时, [ f ( x)]min = f (1) = 1 . 若 - 2e2 < a < - 2 , 当x=

-

a 时, f ? ( x) = 0 . 2 a 时, f ? ( x) < 0 ,此时, f ( x) 是减函数. 2

当 1≤ x ≤ -

当 -

a ≤ x ≤ e 时, f ? ( x) < 0 ,此时, f ( x) 是增函数. 2 a a a a ) = ln(- ) - . 2 2 2 2

故 [ f ( x)]min = f ( -

若 a ≤ - 2e 2 , f ? ( x) 在 [1,e] 上非正(仅当时 a = - 2e 2 , x = e 时, f ? ( x) = 0 ) 故函数 f ( x) 在 [1,e] 上是减函数, 此时 [ f ( x)]min = f (e) = a + e2 . 综上可知,当 a ≥ - 2 时, f ( x) 的最小值为 1 ,相应的 x 的值为 1;

当 - 2e2 < a < - 2 时, f ( x) 的最小值为 ln(当a?

a 2

?a a a ; ) - .相应的 x 值为 2 2 2

2e2 时, f ( x) 的最小值为 a + e2 ,相应的 x 值为 e .

5


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