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教案6 定积分的定义、性质与应用(教师用) 2


教案 6:定积分的定义与性质
一、课前检测
1.

?

2

1

( x2 ? 2 x ? 1)dx ?
2

; . J.

2. 由抛物线 y ? x 与直线 y ? 2 ? x 围成的平面图形的面积为

3. 用力把弹簧从平衡位置拉长 10 cm,此时用的力是 200 N,变力 F 做的功 W 为

二、知识梳理
1.定积分的概念:设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上有定义,将区间 [a, b] 等分成 n 分小区间,每个小区间长度为

?x ( ?x ?

),在每个小区间上取一点,依次为 x1 , x2 ,?, xi ,? xn ,作和 S n ?

.如果 ?x

无限趋近于 0(亦即 n 趋向于 ?? )时,S n 无限趋近于常数 S ,那么称该常数 S 为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的 定积分,记为 S ? 称为积分下限, ,其中 称为积分上限, 称为被积函数,
b

称为积分区间,

2.微积分基本定理:对于被积函数 f ( x) ,如果 F ?( x) ? f ( x) ,则 ? f ( x)dx =
a

.

3.定积分的运算性质:⑴ ? kf ( x)dx =
a

b

; ;⑶ ? f ( x)dx ?
a b

⑵ ? [ f ( x) ? g ( x)]dx ?
a

b

. (a ? c ? b) (即 x 轴上方的面积减去

4.定积分的几何意义:在区间 [a, b] 上曲线与 x 轴所围成图形面积的

x 轴下方的面积);
⑴当 f ( x) 在区间 [a, b] 上大于 0 时, f ( x)dx 表示由直线 x ? a, x ? b(a ? b), y ? 0 和曲线所围成的曲边梯形 ?
a b

的面积,这也是定积分的几何意义. ⑵当 f ( x) 在区间 [a, b] 上小于 0 时, f ( x)dx 表示由直线 x ? a, x ? b(a ? b), y ? 0 和曲线所围成的曲边梯形 ?
a b

的面积的

.
b a

⑶当 f ( x) 在区间 [a, b] 上有正有负时, ? f ( x)dx 表示介于直线 x ? a, x ? b(a ? b) 之间 x 轴之上、之下相应 的曲边梯形的面积的 . 5.定积分在物理中的应用:⑴匀变速运动的路程公式,作变速直线运动的物体所经过的路程 s ,等于其速 度函数 v(t ) 在时间区间 [a, b] 上的定积分,即 s ? . ⑵变力做功公式,一物体在变力 F ( x) (单位: N )的作用下作直线运动,如果物体沿着与 F 相同的方向从 . x ? a 移动到 x ? b(a ? b) (单位: m ),则力 F 所作的功为 W ?

三、典型例题分析
例 1.求定积分 ⑴

?

2

1

1 (2x -x)dx; ⑵
2
2

?

3

( x+

1

2

x

) dx; (3)

2

?

? 3 0

(sinx-sin2x)dx;

变式训练:求定积分: ? | x 2 ? x |dx
?2

定积分的几何意义:

例 2.求曲多边形的面积 (1)如图,函数 y=-x2+2x+1 与 y=1 相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分), 则该闭合图形的面积是 A.1 4 B. 3 ( C. 3 ) D.2

4 (2)已知函数 y=x2 与 y=kx(k>0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为 , 3 则 k=________. 变式训练:已知 f(x)为偶函数且 A.0 B.4

?

6

0

f(x)dx=8,则

?

6 ?6

f(x)dx 等于

(

)

C.8

D.16

定积分在物理中的应用 例 3.一质点运动时速度与时间的关系为 v(t)=t2-t+2,质点作直线运动,则此物体在时间[1,2]内的位移 为 ( ) 17 A. 6 14 B. 3 13 C. 6 11 D. 6

变式训练:一辆汽车的速度—时间曲线如图所示,则该汽车在这一分钟内行驶的路程为_______米.


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