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第三章


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第三章 直线与方程

龙泉一中

高二数学备课组

尹金鹰

第三章

直线与方程

本章教材分析 直线与方程是平面解析几何初步的第一章,用坐标法研究平面上最简单的图形——直线. 本章首先在平面直角坐标系中,介绍直线的倾斜角、斜率等概念;然后建立直线的方程:点斜式、斜截式、 两点式、截距式等;通过直线的方程,研究直线间的位置关系:平行和垂直,以及两条直线的交点坐标、点到直 线的距离公式等. 解析几何研究问题的主要方法是坐标法 ,它是解析几何中最基本的研究方法 .坐标法的基本特点是,首先 用代数语言(坐标及其方程)描述几何元素及其关系,将几何问题代数化;解决代数问题,得到结果;分析代数结 果的几何含义,最终解决几何问题. 本章自始至终贯穿数形结合的思想.在图形的研究过程中,注意代数方法的使用;在代数方法的使用过程 中,加强与图形的联系. 直线是最基本、最简单的几何图形,它既能为进一步学习做好知识上的必要准备,又能为今后灵活地 运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础 .只有学好本章才能为第四章的圆与方程做好准备和铺垫 . 教学中一定要注重由浅及深的学习规律,多采用变式教学,同时渗透常用的数学思想方法(数形结合、分 类讨论、类比、推广、特殊化、化归等),体现由特殊到一般的研究方法,化难为易、化抽象为具体,深入 浅出的引导学生自己发现规律,大胆质疑、积极思考、合作探究、激发他们学习的兴趣,教师合理诱导并 且及时鼓励,使同学们能愉快的、轻松的学习,并且提高他们应用所学知识解决问题(尤其是实际问题) 的能力,真正体现出“在用中学,在学中用,为用而学,学而能用”,这一点也正符合新课标的要求和精神. 本章教学时间约 9 课时,具体分配如下(仅供参考) : 3.1.1 3.1.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.3.1 3.3.2 3.3.3 及 3.3.4 倾斜角与斜率 两直线平行与垂直的判定 直线的点斜式方程 直线的两点式方程 直线的一般式方程 两条直线的交点坐标 两点间的距离 点到直线的距离及两条平行线间的距离 本章复习 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时

3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率 三维目标 1.理解直线的倾斜角和斜率的定义, 充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于 x 轴倾斜程度 的两个量这一事实,在教学中培养学生数形结合的数学思想. 2.掌握经过两点 P1(x1,y1)和 P2(x2,y2)的直线的斜率公式: k= 培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神.
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y 2 ? y1 (x1≠x2) , 培养学生树立辩证统一的观点, x2 ? x1

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3.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力,认识事物之间的相互联系,培养相互合作意识 ,培养 学生思维的严谨性,注意学生语言表述能力的训练. 重点难点 教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点:斜率公式的推导. 教学过程 导入新课 思路 1.如图 1 所示,在直角坐标系中,过点 P 的一条直线绕 P 点旋转,不管旋转多少周,它对 x 轴的相对 位置有几种情形?教师引入课题:直线的倾斜角和斜率.

图1 思路 2.我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗?这些直线有什 么联系和区别呢?教师引入课题:倾斜角与斜率. 新知探究 提出问题 ① 怎样描述直线的倾斜程度呢? ② 图 2 中标出的直线的倾斜角 α 对不对?如果不对,违背了定义中的哪一条?

图2 ③ 直线的倾斜角能不能是 0° ?能不能是锐角?能不能是直角?能不能是钝角?能不能是平角?能否大于平 角? ④ 日常生活中,还有没有表示倾斜程度的量? ⑤ 正切函数的定义域是什么? ⑥ 任何直线都有斜率么? ⑦ 我们知道两点确定一条直线,那么已知直线上两点坐标,如何才能求出它的倾斜角和斜率呢?如:已知 A(2,3)、B(-1,4),则直线 AB 的斜率是多少? 活动:① 与交角有关.当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角 α 叫做 直线 l 的倾斜角 . ... 可见:平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角,并且倾斜角定了,直线的方向也就定了. ② 考虑正方向. ③ 动手在坐标系中作多条直线,可知倾斜角的取值范围是 0°≤α<180° .在此范围内,坐标平面上的任何一条 直线都有唯一的倾斜角,而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对 x 轴正方向 的倾斜程度. 规定:当直线和 x 轴平行或重合时,直线倾斜角为 0° ,所以倾斜角的范围是 0°≤α<180° . ④ 联想小时候玩的滑梯,结合坡度比给出斜率定义,直线斜率的概念. 倾斜角不是 90° 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率,常用 k 表示,即 k=tanα. ⑤ 教师介绍正切函数的相关知识. ⑥ 说明:直线与斜率之间的对应不是映射,因为垂直于 x 轴的直线没有斜率.
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(倾斜角是 90° 的直线没有斜率) ⑦ 已知直线 l 上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),且直线 l 与 x 轴不垂直,如何求直线 l 的斜率?教学时可与教 材上的方法一样推出. 讨论结果:① 用倾斜角. ② 都不对.与定义中的 x 轴正方向、直线向上方向相违背. ③ 直线的倾斜角能是 0° ,能是锐角,能是直角,能是钝角,不能是平角,不能大于平角. ④ 有,常用的有坡度比. ⑤ 90° 的正切值不存在. ⑥ 倾斜角是 90° 的直线没有斜率. ⑦ 过两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式 k=

y 2 ? y1 . x2 ? x1

课堂小结 通过本节学习,要求大家: (1)掌握已知直线的倾斜角求斜率; (2)直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围; (3)直线斜率的概念; (4)已知直线的倾斜角(或斜率) ,求直线的斜率(或倾斜角)的方法. 作业 习题 3.1 A 组 3、4、5.

3.1.2 两条直线的平行与垂直 三维目标 1.理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 2.通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结合能力. 3.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式,激发学生的学 习兴趣. 重点难点 重点:两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用. 难点:启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题. 教学过程 导入新课 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于 x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直 线的平行或垂直. 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜角都为 90°,它 们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为 0 时,一条直线的倾斜角为 90°,另一条直线的倾斜角为 0°,两 直线互相垂直. (二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直 设直线 L1 和 L2 的斜率分别为 k1 和 k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而 两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直 的直线, 它们的斜率有什么关系?
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新知探究 提出问题 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形.如果 L1∥L2(图 1-29),那么它们的倾斜角相等:α 1=α 2.(借 助计算机, 让学生通过度量, 感知α 1, α 2 的关系) ∴tgα 1=tgα 2. 即 k1=k2.

反过来,如果两条直线的斜率相等: 即 k1=k2,那么 tgα 1=tgα 2. 由于 0°≤α 1<180°, 0°≤α <180°, ∴α1=α 2. 又∵两条直线不重合, ∴L1∥L2. 结论: 两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等, 那么它们平行,即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如 果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形. 如果 L1⊥L2,这时α 1≠α 2,否则两直线平行. 设 α2<α 1(图 1-30),甲图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方;乙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴下 方;丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上,无论哪种情况下都有 α1=90°+α 2. 因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2,即α 1≠90°,所以α 2≠0°.

, 可以推出 : α 1=90°+α 2. L1⊥L2. 结论: 两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负 倒数,那么它们互相垂直,即

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注意: 结论成立的条件. 即如果 k1·k2 = -1, 那么一定有 L1⊥L2; 反之则不一定. (借助计算机, 让学生通过度量, 感知 k1, k2 的关系, 并使 L1(或 L2)转动起来, 但仍保持 L1⊥L2, 观察 k1, k2 的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α 1 为锐角,钝角等). 例题 例 1 已知 A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线 BA 与 PQ 的位置关系, 并证明你的结论. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略) 解: 直线 BA 的斜率 k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线 PQ 的斜率 k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为 k1=k2=0.5, 所以 直线 BA∥PQ. 例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形 ABCD 的形状,并给 出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想: 四边形 ABCD 是平行四边形,再通过计算加以验证) 解同上. 例3 已知 A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线 AB 与 PQ 的位置关系. 解: 直线 AB 的斜率 k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3, 直线 PQ 的斜率 k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为 k1·k2 = -1 所以 AB⊥PQ. 例 4 已知 A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形 ABC 的形状. 分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形 ABC 是直角三角形, 其中 AB⊥BC, 再通过计算加以 验证.(图略) 课堂小结 (1)两条直线平行或垂直的真实等价条件;(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直. (3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线. 作业 习题 3.2 A 组 6、7、8.

3.2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程 三维目标 1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法, 掌握直线的点斜式方程, 了解直线方程的斜截式是点斜式的特例; 培养学生思维的严谨性和相互合作意识,注意学生语言表述能力的训练. 2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并会利用探讨出的条件求出直线的方程.培养学生 形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 3.掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围,培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力.
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重点难点 教学重点:引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并会利用探讨出的条件求出直线的方程. 教学难点:在理解的基础上掌握直线方程的点斜式的特征及适用范围. 教学过程 导入新课 思路 1.方程 y=kx+b 与直线 l 之间存在着什么样的关系? 让学生边回答,教师边适当板书.它们之间存在着一一对应关系,即 (1)直线 l 上任意一点 P(x1,y1)的坐标是方程 y=kx+b 的解. (2)(x1,y1)是方程 y=kx+b 的解 ? 点 P(x1,y1)在直线 l 上. 这样好像直线能用方程表示,这节课我们就来学习、研究这个问题——直线的方程(宣布课题). 思路 2.在初中,我们已经学习过一次函数,并接触过一次函数的图象,现在,请同学们作一下回顾: 一次函数 y=kx+b 的图象是一条直线,它是以满足 y=kx+b 的每一对 x、y 的值为坐标的点构成的.由于函 数式 y=kx+b 也可以看作二元一次方程,所以我们可以说, 这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系. 这节课我们就来学习直线的方程(宣布课题). 新知探究 提出问题 ① 如果把直线当做结论,那么确定一条直线需要几个条件?如何根据所给条件求出直线的方程? ② 已知直线 l 的斜率 k 且 l 经过点 P1(x1,y1),如何求直线 l 的方程? ③ 方程导出的条件是什么? ④ 若直线的斜率 k 不存在,则直线方程怎样表示? ⑤ k=

y ? y1 与 y-y1=k(x-x1)表示同一直线吗? x ? x1

⑥ 已知直线 l 的斜率 k 且 l 经过点(0,b) ,如何求直线 l 的方程? 讨论结果:① 确定一条直线需要两个条件: a.确定一条直线只需知道 k、b 即可; b.确定一条直线只需知道直线 l 上两个不同的已知点. ② 设 P(x,y)为 l 上任意一点,由经过两点的直线的斜率公式,得 k= ③ 方程导出的条件是直线 l 的斜率 k 存在. ④ a.x=0;b.x=x1. ⑤ 启发学生回答:方程 k= 条直线. ⑥ y=kx+b. 应用示例 思路 1 例 1 一条直线经过点 P1(-2,3),倾斜角 α=45°,求这条直线方程,并画出图形.

y ? y1 ,化简,得 y-y1=k(x-x1). x ? x1

y ? y1 表示的直线 l 缺少一个点 P1(x1,y1),而方程 y-y1=k(x-x1)表示的直线 l 才是整 x ? x1

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图1 解:这条直线经过点 P1(-2,3),斜率是 k=tan45° =1.代入点斜式方程,得 y-3=x+2,即 x-y+5=0, 这就是所求的直线方程,图形如图 1 所示. 点评:此例是点斜式方程的直接运用,要求学生熟练掌握,并具备一定的作图能力. 变式训练 求直线 y=- 3 (x-2)绕点(2,0)按顺时针方向旋转 30° 所得的直线方程. 解:设直线 y=- 3 (x-2)的倾斜角为 α,则 tanα=- 3 , 又∵ α∈[0° ,180° ), ∴ α=120°. ∴ 所求的直线的倾斜角为 120° -30° =90° .∴ 直线方程为 x=2. 例 2 如果设两条直线 l1 和 l2 的方程分别是 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,试讨论: (1)当 l1∥ l2 时,两条直线在 y 轴上的截距明显不同,但哪些量是相等的?为什么? (2)l1⊥ l2 的条件是什么? 活动:学生思考:如果 α1=α2,则 tanα1=tanα2 一定成立吗?何时不成立?由此可知:如果 l1∥ l2,当其中一条 直线的斜率不存在时,则另一条直线的斜率必定不存在.反之,问:如果 b1≠b2 且 k1=k2,则 l1 与 l2 的位置关 系是怎样的?由学生回答,重点说明 α1=α2 得出 tanα1=tanα2 的依据. 解:(1)当直线 l1 与 l2 有斜截式方程 l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2 时,直线 l1∥ l2 ? k1=k2 且 b1≠b2. (2)l1⊥ l2 ? k1k2=-1. 变式训练 判断下列直线的位置关系:

1 1 x+3,l2:y= x-2; 2 2 5 3 (2)l1:y= x,l2:y=- x. 3 5
(1)l1:y= 答案:(1)平行;(2)垂直. 课堂小结 通过本节学习,要求大家: 1.掌握由一点和斜率导出直线方程的方法, 掌握直线的点斜式方程, 了解直线方程的斜截式是点斜式的特例. 2.引导学生根据直线这一结论探讨确定一条直线的条件,并会利用探讨出的条件求出直线的方程. 作业 习题 3.2 A 组 2、3、5. 3.2.2 直线的两点式方程 三维目标 1.让学生掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程,并能运用这两种形式求出直线的方程.培养学生 数形结合的数学思想,为今后的学习打下良好的基础.
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2.了解直线方程截距式的形式特点及适用范围,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科学态 度和求简的数学精神. 重点难点 教学重点:直线方程两点式和截距式. 教学难点:关于两点式的推导以及斜率 k 不存在或斜率 k=0 时对两点式方程的讨论及变形. 教学过程 导入新课 思路 1.上节课我们学习了直线方程的点斜式,请问点斜式方程是什么?点斜式方程是怎样推导的?利用点 斜式解答如下问题: (1)已知直线 l 经过两点 P1(1,2),P2(3,5),求直线 l 的方程. (2)已知两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),求通过这两点的直线方程. 思路 2.要学生求直线的方程,题目如下: ① A(8,-1),B(-2,4); ② A(6,-4),B(-1,2); ③ A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2). (分别找 3 个同学说上述题的求解过程和答案,并着重要求说求 k 及求解过程) 这个答案对我们有何启示?求解过程可不可以简化?我们可不可以把这种直线方程取一个什么名字呢? 新知探究 提出问题 ① 已知两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中 x1≠x2,y1≠y2),求通过这两点的直线方程. ② 若点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)中有 x1=x2 或 y1=y2,此时这两点的直线方程是什么? ③ 两点式公式运用时应注意什么? ④ 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A(a,0),与 y 轴的交点为 B(0,b),其中 a≠0,b≠0,求直线 l 的方程. ⑤ a、b 表示截距是不是直线与坐标轴的两个交点到原点的距离? ⑥ 截距式不能表示平面坐标系下哪些直线? 活动:① 教师引导学生:根据已有的知识,要求直线方程,应知道什么条件?能不能把问题转化为已经解决 的问题呢?在此基础上,学生根据已知两点的坐标,先判断是否存在斜率,然后求出直线的斜率,从而可 求出直线方程.师生共同归纳: 已知直线上两个不同点,求直线的方程步骤: a.利用直线的斜率公式求出斜率 k; b.利用点斜式写出直线的方程. ∵ x1≠x2,k=

y 2 ? y1 , x2 ? x1 y 2 ? y1 (x-x1). x2 ? x1

∴ 直线的方程为 y-y1=

∴ l 的方程为 y-y1=

y 2 ? y1 (x-x1).① x2 ? x1 y ? y1 x ? x1 .② ? y 2 ? y1 x2 ? x1

当 y1≠y2 时,方程① 可以写成

由于② 这个方程是由直线上两点确定的,因此叫做直线方程的两点式.
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注意:② 式是由① 式导出的,它们表示的直线范围不同.① 式中只需 x1≠x2,它不能表示倾斜角为 90° 的直线的 方程;② 式中 x1≠x2 且 y1≠y2,它不能表示倾斜角为 0° 或 90° 的直线的方程,但② 式相对于① 式更对称、形式 更美观、更整齐,便于记忆.如果把两点式变成(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1),那么就可以用它来求过平面上任意 两已知点的直线方程. ② 使学生懂得两点式的适用范围和当已知的两点不满足两点式的条件时它的方程形式 .教师引导学生通过画 图、观察和分析,发现当 x1=x2 时,直线与 x 轴垂直,所以直线方程为 x=x1;当 y1=y2 时,直线与 y 轴垂直, 直线方程为 y=y1. ③ 引导学生注意分式的分母需满足的条件. ④ 使学生学会用两点式求直线方程;理解截距式源于两点式,是两点式的特殊情形.教师引导学生分析题目 中所给的条件有什么特点?可以用多少方法来求直线 l 的方程?哪种方法更为简捷?然后求出直线方程. 因为直线 l 经过(a,0)和(0,b)两点,将这两点的坐标代入两点式,得 就是

y?0 x?a ? .① b?0 0?a

x y ? =1.② a b

注意:② 这个方程形式对称、美观,其中 a 是直线与 x 轴交点的横坐标,称 a 为直线在 x 轴上的截距,简称 横截距;b 是直线与 y 轴交点的纵坐标,称 b 为直线在 y 轴上的截距,简称纵截距. 因为方程② 是由直线在 x 轴和 y 轴上的截距确定的,所以方程② 式叫做直线方程的截距式. ⑤ 注意到截距的定义,易知 a、b 表示的截距分别是直线与坐标轴 x 轴交点的横坐标,与 y 轴交点的纵坐标, 而不是距离. ⑥ 考虑到分母的原因,截距式不能表示平面坐标系下在 x 轴上或 y 轴上截距为 0 的直线的方程,即过原点或 与坐标轴平行的直线不能用截距式. 讨论结果:① 若 x1≠x2 且 y1≠y2,则直线 l 方程为

y ? y1 x ? x1 . ? y 2 ? y1 x2 ? x1

② 当 x1=x2 时,直线与 x 轴垂直,直线方程为 x=x1;当 y1=y2 时,直线与 y 轴垂直,直线方程为 y=y1. ③ 倾斜角是 0° 或 90° 的直线不能用两点式公式表示(因为 x1≠x2,y1≠y2). ④ ?

x a

y =1. b

⑤ a、b 表示的截距分别是直线与坐标轴 x 轴交点的横坐标,与 y 轴交点的纵坐标,而不是距离. ⑥ 截距式不能表示平面坐标系下在 x 轴上或 y 轴上截距为 0 的直线的方程, 即过原点或与坐标轴平行的直线 不能用截距式. 应用示例 思路 1 例 1 求出下列直线的截距式方程: (1)横截距是 3,纵截距是 5; (2)横截距是 10,纵截距是-7; (3)横截距是-4,纵截距是-8. 答案: (1)5x+3y-15=0; (2)7x-10y-70=0; (3)3x+4y+12=0. 变式训练 例 2 如图 1,已知三角形的顶点是 A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2),求这个三角形三边所在直线的方程.

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图1 活动:根据 A、B、C 三点坐标的特征,求 AB 所在的直线的方程应选用两点式;求 BC 所在的直线的方程应 选用斜截式;求 AC 所在的直线的方程应选用截距式. 解:AB 所在直线的方程,由两点式,得

y?0 x ? (?5) ,即 3x+8y+15=0. ? ? 3 ? 0 3 ? (?5)
5 x+2,即 5x+3y-6=0. 3 x y ? =1,即 2x-5y+10=0. AC 所在直线的方程,由截距式,得 ?5 2
BC 所在直线的方程,由斜截式,得 y=课本本节练习 1、2、3. 课堂小结 通过本节学习,要求大家:掌握直线方程两点式和截距式的发现和推导过程,并能运用这两种形式求 出直线的方程.理解数形结合的数学思想,为今后的学习打下良好的基础.了解直线方程截距式的形式特点及 适用范围,树立辩证统一的观点,形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 作业 课本习题 3.2 A 组 9、10. 3.2.3 直线的一般式方程 三维目标 1.掌握直线方程的一般式,了解直角坐标系中直线与关于 x 和 y 的一次方程的对应关系,培养学生树立辩证 统一的观点,培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 2.会将直线方程的特殊形式化成一般式,会将一般式化成斜截式和截距式,培养学生归纳、概括能力,渗透 分类讨论、化归、数形结合等数学思想. 3.通过教学,培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性,注意学生语言表述能力的训练. 重点难点 教学重点:直线方程的一般式及各种形式的互化. 教学难点:在直角坐标系中直线方程与关于 x 和 y 的一次方程的对应关系,关键是直线方程各种形式的互化. 教学过程 导入新课 思路 1.前面所学的直线方程的几种形式,有必要寻求一种更好的形式,那么怎样的形式才能表示一切直线 方程呢?这节课我们就来研究这个问题. 思路 2.由下列各条件,写出直线的方程,并画出图形. (1)斜率是 1,经过点 A(1,8) ;(2)在 x 轴和 y 轴上的截距分别是-7,7;(3)经过两点 P1(-1,6) 、P2(2, 9) ;(4)y 轴上的截距是 7,倾斜角是 45° . 由两个独立条件请学生写出直线方程的特殊形式分别为 y-8=x-1、

x y y ? 6 x ?1 ? =1、 ? 、y=x+7,教 ?7 7 9 ? 6 2 ?1

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师利用计算机动态显示,发现上述 4 条直线在同一坐标系中重合.原来它们的方程化简后均可统一写成: x-y+7=0.这样前几种直线方程有了统一的形式,这就是我们今天要讲的新课——直线方程的一般式. 新知探究 提出问题 ① 坐标平面内所有的直线方程是否均可以写成关于 x,y 的二元一次方程? ② 关于 x,y 的一次方程的一般形式 Ax+By+C=0(其中 A、B 不同时为零)是否都表示一条直线? ③ 我们学习了直线方程的一般式,它与另四种形式关系怎样,是否可互相转化? ④ 特殊形式如何化一般式?一般式如何化特殊形式?特殊形式之间如何互化? ⑤ 我们学习了直线方程的一般式 Ax+By+C=0,系数 A、B、C 有什么几何意义?什么场合下需要化成其他形 式?各种形式有何局限性? 讨论结果:① 分析:在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角 α. 1° 当 α≠90°时,它们都有斜率,且均与 y 轴相交,方程可用斜截式表示:y=kx+b. 2° 当 α=90°时, 它的方程可以写成 x=x1 的形式, 由于在坐标平面上讨论问题, 所以这个方程应认为是关于 x、 y 的二元一次方程,其中 y 的系数是零. 结论 1° :直线的方程都可以写成关于 x、y 的一次方程.

A C A x- ,这就是直线的斜截式方程,它表示斜率为- ,在 y 轴上的 B B B C C 截距为- 的直线.b 当 B=0 时,由于 A、B 不同时为零必有 A≠0,方程化为 x=- ,表示一条与 y 轴平行或 B A
② 分析:a 当 B≠0 时,方程可化为 y=重合的直线. 结论 2° :关于 x,y 的一次方程都表示一条直线. 综上得:这样我们就建立了直线与关于 x,y 的二元一次方程之间的对应关系.我们把 Ax+By+C=0(其中 A,B 不同时为 0)叫做直线方程的一般式. 注意:一般地,需将所求的直线方程化为一般式. 在这里采用学生最熟悉的直线方程的斜截式(初中时学过的一次函数)把新旧知识联系起来. ③ 引导学生自己找到答案,最后得出能进行互化. ④ 待学生通过练习后师生小结:特殊形式必能化成一般式;一般式不一定可以化为其他形式(如特殊位置的 直线) ,由于取点的任意性,一般式化成点斜式、两点式的形式各异,故一般式化斜截式和截距式较常见; 特殊形式的互化常以一般式为桥梁,但点斜式、两点式、截距式均能直接化成一般式.各种形式互化的实质 是方程的同解变形(如图 1).

图1 ⑤ 列表说明如下: 形 式 点斜式 斜截式 方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b 局限 除 x=x0 外 除 x=x0 外 各常数的几何意义 (x1,y1)是直线上一个定点,k 是斜率 k 是斜率,b 是 y 轴上的截距

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第三章 直线与方程

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两点式

y ? y1 x ? x1 ? y 2 ? y1 x2 ? x1
x y ? =1 a b
Ax+By+C=0

除 x=x0 和 y=y0 外 除 x=x0、y=y0 及 y=kx 外 无

(x1,y1)、(x2,y2)是直线上两个 定点 a 是 x 轴上的非零截距,b 是 y 轴上的非零截距 当 B≠0 时,-

截距式

一般式 应用示例

A C 是斜率,- 是 B B

y 轴上的截距

4 ,求直线的点斜式和一般式方程. 3 4 4 解:经过点 A(6,-4)且斜率为- 的直线方程的点斜式方程为 y+4=- (x-6). 3 3
例 1 已知直线经过点 A(6,-4),斜率为化成一般式,得 4x+3y-12=0. 课堂小结 通过本节学习,要求大家: (1)掌握直线方程的一般式,了解直角坐标系中直线与关于 x 和 y 的一次方程的对应关系; (2)会将直线方程的特殊形式化成一般式,会将一般式化成斜截式和截距式; (3)通过学习,培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性,注意语言表述能力的训练. 作业 习题 3.2 A 组 11.

3.3 直线的交点坐标与距离公式 3.3.1 两条直线的交点式坐标 三维目标 1.掌握两直线方程联立方程组解的情况与两直线不同位置的对立关系, 并且会通过直线方程系数判定解的情 况,培养学生树立辩证统一的观点. 2.当两条直线相交时,会求交点坐标.培养学生思维的严谨性,注意学生语言表述能力的训练. 3.学生通过一般形式的直线方程解的讨论,加深对解析法的理解,培养转化能力. 4.以“特殊”到“一般”,培养学生探索事物本质属性的精神,以及运动变化的相互联系的观点. 重点难点 教学重点:根据直线的方程判断两直线的位置关系和已知两相交直线求交点. 教学难点:对方程组系数的分类讨论与两直线位置关系对应情况的理解. 教学过程 导入新课 思路 1.作出直角坐标系中两条直线,移动其中一条直线,让学生观察这两条直线的位置关系. 课堂设问:由直线方程的概念,我们知道直线上的一点与二元一次方程的解的关系,那如果两直线相交于 一点,这一点与这两条直线的方程有何关系?你能求出它们的交点坐标吗?说说你的看法. 思路 2.你认为该怎样由直线的方程求出它们的交点坐标?这节课我们就来研究这个问题. 新知探究 提出问题 ① 已知两直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,如何判断这两条直线的关系? ② 如果两条直线相交,怎样求交点坐标?交点坐标与二元一次方程组有什关系?
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第三章 直线与方程

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③ 解下列方程组(由学生完成):

?2 x ? 6 y ? 3 ? 0, ?2 x ? 6 y ? 0, ?3x ? 4 y ? 2 ? 0, ? ? (ⅰ )? ; (ⅱ )? ; (ⅲ )? 1 1 1 1 . y ? x? y ? x? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? 3 2 3 2 ? ?
如何根据两直线的方程系数之间的关系来判定两直线的位置关系? ④ 当 λ 变化时,方程 3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0 表示什么图形,图形有什么特点?求出图形的交点坐标. 讨论结果:① 教师引导学生先从点与直线的位置关系入手,看下表,并填空. 几何元素及关系 点A 直线 l 点 A 在直线上 直线 l1 与 l2 的交点 A ② 学生进行分组讨论,教师引导学生归纳出两直线是否相交与其方程所组成的方程组的关系. 设两条直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, 如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的唯一公共解 ,那么以这 个解为坐标的点必是直线 l1 和 l2 的交点,因此,两条直线是否有交点,就要看这两条直线方程所组成的方程组 代数表示 A(a,b) l:Ax+By+C=0

? ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0, 是否有唯一解. ? ? A x ? B y ? C ? 0 2 2 2 ?
(ⅰ )若二元一次方程组有唯一解,则 l1 与 l2 相交; (ⅱ )若二元一次方程组无解,则 l1 与 l2 平行; (ⅲ )若二元一次方程组有无数解,则 l1 与 l2 重合.即

?l1、l 2 相交, ?唯一解 转化 ? ? 直线 l1、l2 联立得方程组 ?无穷多解? ?l1、l 2 重合, ?无解 ? ? ?l1、l 2 平行.
(代数问题) (几何问题) ③ 引导学生观察三组方程对应系数比的特点: (ⅰ )

2 ?6 3 2 ?6 1 3 4 ? ;(ⅲ ≠ ;(ⅱ ) ? ) ? ≠ . 1 ?1 1 1 ?1 1 2 1 3 2 3 2

一般地,对于直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1B1C1≠0,A2B2C2≠0),有

? A1 B ? 1 ? l1 l 2 相交, ?唯一解 ? A2 B2 ? ? A1 B C ? A1 x ? B1 y ? C1 ? 0? ? 方程组 ? ? 1 ? 1 ? l1 l 2 重合, . ?无穷多解 ? A2 B2 C 2 ? ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0? ? A B C ?无解 ? 1 ? 1 ? 1 ? l1 l 2 平行. ? A2 B2 C 2 ?
注意:(a)此关系不要求学生作详细的推导,因为过程比较繁杂,重在应用. (b)如果 A1,A2,B1,B2,C1,C2 中有等于零的情况,方程比较简单,两条直线的位置关系很容易确定.
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第三章 直线与方程

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④ (a)可以用信息技术,当 λ 取不同值时,通过各种图形,经过观察,让学生从直观上得出结论,同时发现 这些直线的共同特点是经过同一点. (b)找出或猜想这个点的坐标,代入方程,得出结论. (c)结论:方程表示经过这两条直线 l1 与 l2 的交点的直线的集合. 点评:此题为求直线交点与求直线方程的综合运用,求解直线方程也可应用两点式. 例 2 判断下列各对直线的位置关系.如果相交,求出交点坐标. (1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0. (2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0. (3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0. 活动:教师让学生自己动手解方程组,看解题是否规范,条理是否清楚,表达是否简洁,然后再进行讲评. 课堂小结 作业 课本习题 3.3 A 组 1、2、3,选做 4 题.

3.3.2 两点间的距离 三维目标 1.使学生掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程; 通过具体的例子来体会坐标法对于证明简单的平面几 何问题的重要性. 2.能灵活运用此公式解决一些简单问题;使学生掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题,培养学生 勇于探索,善于发现,独立思考的能力以及不断超越自我的创新品质. 重点难点 教学重点:① 平面内两点间的距离公式. ② 如何建立适当的直角坐标系. 教学难点:如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题. 教学过程 导入新课 思路 1.已知平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|? 思路 2.(1)如果 A、B 是 x 轴上两点,C、D 是 y 轴上两点,它们的坐标分别是 xA、xB、yC、yD,那么|AB|、 |CD|怎样求?(2)求 B(3,4)到原点的距离.(3)设 A(x1,y1),B(x2,y2),求|AB|. 新知探究 提出问题 ① 如果 A、B 是 x 轴上两点,C、D 是 y 轴上两点,它们坐标分别是 xA、xB、yC、yD,那么|AB|、|CD|怎样求? ② 求点 B(3,4)到原点的距离. ③ 已知平面上的两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),如何求 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|. ④ 同学们已知道两点的距离公式,请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程). 讨论结果:① |AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|. ② 通过画简图,发现一个 Rt△ BMO,应用勾股定理得到点 B 到原点的距离是 5. ③

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第三章 直线与方程

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图1 在直角坐标系中,已知两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2),如图 1,从 P1、P2 分别向 x 轴和 y 轴作垂线 P1M1、P1N1 和 P2M2、P2N2,垂足分别为 M1(x1,0)、N1(0,y1)、M2(x2,0)、N2(0,y2),其中直线 P1N1 和 P2M2 相交于点 Q. 在 Rt△ P1QP2 中,|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2. 因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|, 所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2.
2 2 由此得到两点 P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式:|P1P2|= ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) .

④ (a)我们先计算在 x 轴和 y 轴两点间的距离. (b)又问了 B(3,4)到原点的距离,发现了直角三角形. (c)猜想了任意两点间距离公式. (d)最后求平面上任意两点间的距离公式. 这种由特殊到一般,由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应 用的方法.同学们在做数学题时可以采用! 应用示例 例 1 如图 2,有一线段的长度是 13,它的一个端点是 A(-4,8),另一个端点 B 的纵坐标是 3,求这个端点 的横坐标.

图2 解:设 B(x,3),根据|AB|=13, 即(x+4)2+(3-8)2=132,解得 x=8 或 x=-16. 点评:学生先找点,有可能找不全,丢掉点,而用代数解比较全面.也可以引至到 A(-4,8)点距离等于 13 的 点的轨迹(或集合)是以 A 点为圆心、13 为半径的圆上与 y=3 的交点,应交出两个点. 例 2 已知点 A(-1,2),B(2, 7 ),在 x 轴上求一点,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点 P(x,0),于是有 ( x ? 1) ? (0 ? 2) ?
2 2

( x ? 2) 2 ? (0 ? 7 ) 2 .

由|PA|=|PB|,得 x2+2x+5=x2-4x+11,解得 x=1.
2 2 即所求点为 P(1,0),且|PA|= (1 ? 1) ? (0 ? 2) =2 2 .

课堂小结 通过本节学习,要求大家: ① 掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程; ② 能灵活运用此公式解决一些简单问题; ③ 掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题. 作业 课本习题 3.3 A 组 6、7、8;B 组 6. 3.3.3 点到直线的距离
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3.3.4 两条平行直线间的距离 三维目标 1.让学生掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离. 2.引导学生构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励创新.培养学生 勇于探索、善于研究的精神,学会合作. 重点难点 教学重点:点到直线距离公式的推导和应用. 教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立. 教学过程 导入新课 思路 1.点 P(0,5)到直线 y=2x 的距离是多少?更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点 P 的坐标为(x0,y0), 直线 l 的方程是 Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点 P 到直线 l 的距离呢?这节课我们就来专 门研究这个问题. 思路 2.我们已学习了两点间的距离公式,本节课我们来研究点到直线的距离.如图 1,已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P 到直线 l 的距离(为使结论具有一般性,我们假设 A、B≠0).

图1 新知探究 提出问题 ① 已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P 到直线 l 的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺 点是什么? ② 前面我们是在 A、B 均不为零的假设下推导出公式的,若 A、B 中有一个为零,公式是否仍然成立? ③ 回顾前面证法一的证明过程,同学们还有什么发现吗?(如何求两条平行线间的距离) 活动: ① 请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ )x0=0,y0=0 时,d=

|C| A2 ? B 2

;(ⅱ )x0≠0,y0=0 时,d=

| Ax0 ? C | A2 ? B 2



(ⅲ )x0=0,y0≠0 时,d=

| By0 ? C | A2 ? B 2

.

观察、类比上面三个公式,能否猜想:对任意的点 P(x0,y0),d=? 学生应能得到猜想:d=

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

.

启发诱导:当点 P 不在特殊位置时,能否在距离不变的前提下适当移动点 P 到特殊位置,从而可利用前面 的公式?(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质,作平行线,把一般情形转化为特殊情形来处理) 证明:设过点 P 且与直线 l 平行的直线 l1 的方程为 Ax+By+C1=0,令 y=0,得 P′( ?

C1 ,0). A

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第三章 直线与方程

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| A ? (?
∴ P′N=

C1 )?C | | C ? C1 | A . ? 2 2 A ?B A2 ? B 2

(*)

∵ P 在直线 l1:Ax+By+C1=0 上, ∴ Ax0+By0+C1=0.∴ C1=-Ax0-By0. 代入(*)得|P′N|=

| C ? Ax0 ? By0 | A2 ? B 2
,.

即 d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

② 可以验证,当 A=0 或 B=0 时,上述公式也成立. ③ 引导学生得到两条平行线 l1:Ax+By+C1=0 与 l2:Ax+By+C2=0 的距离 d=

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

.

证明: 设 P0(x0,y0)是直线 Ax+By+C2=0 上任一点, 则点 P0 到直线 Ax+By+C1=0 的距离为 d=

| Ax0 ? By0 ? C | A ?B
2 2

.

又 Ax0+By0+C2=0,即 Ax0+By0=-C2,∴ d=

| C1 ? C2 | A2 ? B 2

.

讨论结果:① 已知点 P(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0,求点 P 到直线 l 的距离公式为 d= ② 当 A=0 或 B=0 时,上述公式也成立. ③ 两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离公式为 d=

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2

.

| C1 ? C2 | A ?B
2 2

.

课堂小结 通过本节学习,要求大家: 1.掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离. 2.构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励创新.培养学生勇于探索、 善于研究的精神,学会合作. 3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离,后者实际上可作为前者的变式应用. 作业 课本习题 3.3 A 组 9、10;B 组 2、4.

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