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高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案


圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义: 第一定义中要重视 “括号” 内的限制条件: 椭圆中, 与两个定点 F 1 ,F 2 的距离的和等于常数 2 a ,且此常

形的面积最大值为 1 时, 则椭圆长轴的最小值为__ (答:

2 2)
(2)双曲线(以

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )为 a 2 b2 数 2 a 一定要大于 F1 F2 ,当常数等于 F1 F2 时,轨迹 例) :①范围: x ? ?a 或 x ? a, y ? R ;②焦点:两个 焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一 是线段 F 1 F 2 ,当常数小于 F1 F2 时,无轨迹;双曲线 个对称中心(0,0) ,两个顶点 (? a, 0) ,其中实轴长为 中, 与两定点 F 1 , F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2 a , 2 a ,虚轴长为 2 b ,特别地,当实轴和虚轴的长相等 且此常数 2 a 一定要小于|F 1 F 2 |,定义中的“绝对值” 时, 称为等轴双曲线, 其方程可设为 x2 ? y 2 ? k , k ? 0 ; 与 2 a <|F 1 F 2 |不可忽视。若 2 a =|F 1 F 2 |,则轨迹是 a2 c ④准线:两条准线 x ? ? ; ⑤离心率: e ? ,双 以 F 1 ,F 2 为端点的两条射线,若 2 a ﹥|F 1 F 2 |,则轨 a c 迹不存在。 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线 曲线 ? e ? 1 ,等轴双曲线 ? e ? 2 ,e 越小,开口 的一支。 b 2 2 如 方 程 (x ? 6 ) 表示的 ? y 2 ? (x ? 6 ) ? y2 ? 8 越小,e 越大,开口越大;⑥两条渐近线: y ? ? x 。 a 曲线是_____(答:双曲线的左支) 2 ( 3 ) 抛物线 (以 y ? 2 px( p ? 0) 为例) :①范围: p 2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在 x ? 0, y ? R ;②焦点:一个焦点 ( , 0) ,其中 p 的几 原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程) : 2 2 何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 x y2 ( 1 ) 椭 圆 : 焦 点 在 x 轴 上 时 2 ? 2 ?1 ; ④准线: y ? 0 ,没有对称中心,只有一个顶点(0,0) a b c p y2 x2 e ? x ? ? 一条准线 ; ⑤离心率: ,抛物线 ? ( a?b?0 ) ,焦点在 y 轴上时 2 ? 2 =1 a 2 a b e ?1。 2 2 (a ? b ? 0) 。方程 Ax ? By ? C 表示椭圆的充要条 如设 a ? 0, a ? R , 则抛物线 y ? 4ax2 的焦点坐标为
件是什么?(ABC≠0,且 A,B,C 同号,A≠B) 。 2 2 x ? y 若 x, y ? R ,且 3x ? 2 y ? 6 ,则 的最大 值是____, x ? y 的最小值是___(答: 5, 2 )
2 2

y2 ? 1 上一点, F1 , F2 为 12 双曲线的两个焦点,且 PF 1 F2 的周 1 PF 2 =24,求 ?PF
练习:点 P 是双曲线上 x ?
2

长。 8、 抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质: (1) 以过焦点的弦为直径的圆和准线相切; (2)设 AB 为焦 点弦, M 为准线与 x 轴的交点, 则∠AMF=∠BMF; (3) 设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影分别为 A 1 ,B 1 , 若 P 为 A 1 B 1 的中点,则 PA⊥PB; (4)若 AO 的延长线 交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反之,若过 B 点平行 于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。 9、弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两 点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的横坐标,则 AB =

1 ? k 2 x1 ? x2 ,若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标,则

AB = 1 ?

1 y1 ? y 2 , 若弦 AB 所在直线方程设为 k2

x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k 2 y1 ? y2 。特别地,焦
点弦(过焦点的弦) :焦点弦的弦长的计算,一般不用 弦长公式计算, 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后, 利用第二定义求解。 10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦 达定理”或“点差法”求解。

1 ________(答: (0, ; )) 16 a

(2)双曲线:焦点在 x 轴上: 点在 y 轴上:
2 2

x2 y2 ? =1,焦 a2 b2

y2 x2 ? = 1 ( a ? 0, b ? 0 ) 。方程 a2 b2

(ABC Ax ? By ? C 表示双曲线的充要条件是什么? ≠0,且 A,B 异号) 。 如设中心在坐标原点 O ,焦点 F1 、 F2 在坐标轴

2 的双曲线 C 过点 P(4,? 10) ,则 C 的方程为_______(答: x 2 ? y 2 ? 6 ) 2 (3)抛物线:开口向右时 y ? 2 px( p ? 0) ,开 2 口 向 左 时 y ? ?2 px( p ? 0) , 开 口 向 上 时 x2 ? 2 py( p ? 0) ,开口向下时 x2 ? ?2 py( p ? 0) 。
上,离心率 e ? 3.圆锥曲线焦点位置的判断 (首先化成标准方程, 然后 再判断) : 2 2 (1)椭圆:由 x , y 分母的大小决定,焦点在 分母大的坐标轴上。

x2 y2 5、点 P( x0 , y0 ) 和椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的关 a b 2 x 2 y0 ? ? 1; 系: (1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆外 ? 0 (2) a 2 b2 2 x 2 y0 ? 点 P( x0 , y0 ) 在 椭 圆 上 ? 0 =1; (3)点 a2 b2 2 2 x0 y0 ? ?1 在椭圆内 P( x0 , y0 ) ? 2 a b2
6.直线与圆锥曲线的位置关系: (1) 相交:? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲 线相交且只有一个交点, 故 ? ? 0 是直线与双曲线相交 的充分条件, 但不是必要条件;? ? 0 ? 直线与抛物线 相交,但直线与抛物线相交不一定有 ? ? 0 ,当直线与 抛物线的对称轴平行时, 直线与抛物线相交且只有一个 交点,故 ? ? 0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件, 但不是必要条件。 (2)相切: ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直 线与双曲线相切; ? ? 0 ? 直线与抛物线相切; (3)相离: ? ? 0 ? 直线与椭圆相离; ? ? 0 ? 直 线与双曲线相离; ? ? 0 ? 直线与抛物线相离。 提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点 时的位置关系有两种情形: 相切和相交。 如果直线与双 曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交 点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交, 也只有一个交点; (2)过双曲线

x2 y2 ? ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在 a2 b2 b2 x 直线的斜率 k=- 2 0 ; a y0
在 椭圆 弦所在直线的方程: 方程: 在双曲线 垂直平分线的

x2 y 2 ? ? 1 中,以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在 a 2 b2 b2 x 2 直线的斜率 k= 2 0 ;在抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 中, a y0 p 以 P( x0 , y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 。 y0 提醒: 因为 ? ? 0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要
条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检 验? ? 0! 11.了解下列结论 2 2 y (1) 双曲线 x ? y ? 1 的渐近线方程为 x ? ? 0 ; 2 2 a b a b b (2)以 y ? ? x 为渐近线(即与双曲线 a 2 2 x2 y2 共渐近线)的双曲线方程为 x ? y ? ? (? ? ? 1 a2 b2 a2 b2 为参数, ? ≠0)。 (3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲 线方程可设为 mx ? ny ? 1 ; (4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称
2 2

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴 m ?1 2 ? m 3 ( ?? ,?1) ? (1, ) ) 上的椭圆, 则 m 的取值范围是__ (答: 2 2 2 (2)双曲线:由 x , y 项系数的正负决定,焦
如已知方程 点在系数为正的坐标轴上; (3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项 的符号决定开口方向。 2 2 2 提醒:在椭圆中, a 最大, a ? b ? c ,在双曲 2 2 2 线中, c 最大, c ? a ? b 。 4.圆锥曲线的几何性质:

x2 y2 ? =1 外一点 a2 b2

轴的弦)为 为

2b 2 ,焦准距(焦点到相应准线的距离) a

P( x0 , y0 ) 的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:
①P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时, 有 两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的 两条切线,共四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双 曲线的区域内时, 有两条与渐近线平行的直线和只与双 曲线一支相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线 上但非原点, 只有两条: 一条是与另一渐近线平行的直 线, 一条是切线; ④P 为原点时不存在这样的直线; (3) 过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个 公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直线。 7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点
2 所构成的三角形) 问题 : S ? b tan

b2 ,抛物线的通径为 2 p ,焦准距为 p ; c
(6)若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦为 AB,
2

x y ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )为例) : 2 a b ①范围: ?a ? x ? a, ?b ? y ? b ;②焦点:两个焦点 (?c, 0) ;③对称性:两条对称轴 x ? 0, y ? 0 ,一个对 称中心(0,0) ,四个顶点 (? a, 0), (0, ?b) ,其中长轴长
(1)椭圆(以

2

2

(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的 弦;

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则① | AB |? x1 ? x2 ? p ;②
x1 x2 ? p2 , y1 y2 ? ? p 2 4
2

a2 为 2a, 短轴长为 2 b ; ④准线: 两条准线 x ? ? ;⑤ c c 离心率: e ? ,椭圆 ? 0 ? e ? 1 , e 越小,椭圆越 a
圆; e 越大,椭圆越扁。 如 (1) 若椭圆

?
2

(7)若 OA、OB 是过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点 (2 p, 0) 12.圆锥曲线中线段的最值问题: 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A(3,4 2 ) 与到准线的距离和最小,则点 ______________ P 的坐标为

? c | y0 | ,当

x2 y2 10 , 则m ? ? 1 的离心率 e ? 5 m 5

| y0 |? b 即 P 为短轴端点时, S max 的最大值为 bc;对
于双曲线 S ?

b

2

25 的值是__(答:3 或 ) ; 3
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角

t an

?
2

。 如

(1)短轴长为 5 ,

(2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标为 。

(?

1 3 1? ? , 1 5

3 1 ) ? ? ( ? 3 2
A Q H P F B

,

1 ? ) 2

2 x 3 12 y 3 ? ) ? 1 的焦点为 9、椭圆 在椭圆上, F1 , ,F2 ,点 ( , ( 1 P) 9 2 3 1 5

分析: ( 1 ) A 在抛物线外,如图,连 PF ,则

2 、在平面直角 中 , 已 知 点 点在直线 y = -3

坐 标 系 xOy A(0,-1) , B 上, M 点满足

若 | PF1 |? 4 ,则 | PF2 |? 为 .
2

; ?F 1PF 2 的大小

PH ? PF ,因而易发现,当 A、P、F 三点共线时,
距离和最小。 (2)B 在抛物线内,如图,作 QR⊥l 交于 R,则 当 B、Q、R 三点共线时,距离和最小。 解: (1) (2,

MB//OA, MA?AB = MB?BA,M 点的轨迹为曲线 C。 (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值。 (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA =

10、过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为

45? 的直线交抛物线于 A、 B 两点, 若线段 AB 的长为 8,
则 p ? ________________

1 2) (2) ( ,1 ) 4
1、 已知椭圆 C1 的方程为

????

【解析】 设切点 P( x0 , y0 ) , 则切线的斜率为

x2 ? y 2 ? 1, 双曲线 C2 的左、 4

y ' |x? x0 ? 2 x0 .
解 得 :

(-x,-1-y) , MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).再由愿意 得 知 ( MA + MB ) ? ? (x,-2)=0.

????

??? ?

由 题 意 有

右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 C2 的左、右顶点分 别是 C1 的左、右焦点。 (1) 求双曲线 C2 的方程; (2) 若直线 l: y ? kx ? 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交点 A 和 B 满 足 OA ? OB ? 6 (其中 O 为原点),求 k 的取值范围。
2 2 解: (Ⅰ)设双曲线 C2 的方程为 x ? y ? 1 ,则 a2 b2

????

????

??? ? AB =0, 即 ( -x,-4-2y )

y0 ? 2 x0 x0



y0 ? x02 ?1

b b x0 2 ? 1,? ? 2, e ? 1 ? ( )2 ? 5 a a
双曲线

a 2 ? 4 ? 1 ? 3, 再由a 2 ? b 2 ? c 2得b 2 ? 1.

1 2 x -2. (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 ) 4 1 2 ' 1 为曲线 C:y= x -2 上一点, 因为 y = x,所以 l 的 4 2 1 斜 率 为 x 0 因 此 直 线 l 的 方 程 为 2 1 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x2 ? 0 。 2
所以曲线 C 的方程式为 y= 则 O 点到 l 的距离 d ?
2 | 2 y0 ? x0 |

x2 y2 b ? 2 ? 1 的一条渐近线为 y ? x ,由方程组 2 a a b
x2 ? b x ? 1 ? 0 有唯一解 , 所以△ = a


b ? ? y? x a , 消去 ? 2 ? ? y ? x ?1
b ( )2 ? 4 ? 0 a

y, 得



C2 的 方 程 为

x ? y 2 ? 1. ( II ) 将 3

2

1 2 .又 y0 ? x0 ? 2 , 所 2 4 x0 ?4

,



b ?2 a

,

1 2 x0 ? 4 x2 2 2 2 1 4 2 y ? kx ? 2代入 ? y ? 1得(1 ? 4k ) x ? 8 2kx ? 4 ? 0d . ?2 以 ? ( x0 ?4? ) ? 2, 4 2 2 x0 ?4 2 x0 ?4
由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得
2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

e?

c a 2 ? b2 b ? ? 1 ? ( )2 ? 5 a a a
y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程
, ? y 2 ? 2 ,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0)

由渐近线方程为 是x 且
2

P( 3,1)



?1 ? (8 2 ) k ? 16(1 ? 4k ) ? 16(4k ? 1) ? 0,
2 2 2 2



1 k ? . 4
2

3 设双曲线 ①
2

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的渐近线与抛物 a 2 b2
)

P( 3,?1) P( 3,1)

. 不 妨 去 , 则

x ? y 2 ? 1得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 ? 0 2 x y2 3 4、过椭圆 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点 F1 作 x 轴 a b .由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 得 将y ? kx ? 2代入
2 ? ? 1 的垂线交椭圆于点 若 ?F P ,F2 为右焦点, ?1 ? 3k ? 0, 2 2 1PF 2 ? 60 , 即 k ? 且 k ? 1. ? 2 2 2 3 ? ?? 2 ? (?6 2k ) ? 36(1 ? 3k ) ? 36(1 ? k ) ? 0.

2

线 y=x +1 相切,则该双曲线的离心率等于(

PF1 ? (?2 ? 3,?1) PF2 ? (2 ? 3,?1) .




则椭圆的离心率为

PF 1

·

PF2



x2 y2 6 2k ?9 ? ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别 5 、已知双曲线 设A( x A , y A ), B( xB , yB ), 则x A ? xB ? , x A ? xB ? 2 b2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 ??? ? ??? ? 由OA ? OB ? 6得x A xB ? y A yB ? 6, 而 是 F1 、F2 , 其一条渐近线方程为 y ? x , 点 P( 3, y0 ) x A xB ? y A yB ? xA xB ? (kxA ? 2)(kxB ? 2)
在双曲线上.则 PF 1 · PF 2 =( )0

(?2 ? 3,?1)(2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3)(2 ? 3) ? 1 ? 0
【解析】设抛物线 C :

y 2 ? 8x 的准线为 l : x ? ?2 直线
P ,

y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 恒过定点
分 别 作

? ?2,0?

. 如图过 于

A、B
, 由

AM ? l



M

BN ? l

N

? ( k 2 ? 1) x A xB ? 2k ( x A ? xB ) ? 2 ?9 6 2k ? ( k ? 1) ? ? 2k ? ?2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 3k 2 ? 7 ? 2 . 3k ? 1
2

| FA |? 2 | FB | ,则 | AM |? 2 | BN | ,点 B 为 AP 的中点.
6、 已知直线 y ? k ? x ? 2?? k ? 0? 与抛物线 C : y ? 8 x
2

连结 OB ,则 | OB |?

相 交 于 A、B 两 点 , F 为 C 的 焦 点 , 若

1 | AF | , 2
故点

| FA |? 2 | FB | ,则 k ? (

)

? | OB |?| BF |



B 的横坐标为 1 ,

B 的坐标为

3k ? 7 15k ? 13 于是 2 ? 6,即 ? 0. 解 此 不 等 式 得 3k ? 1 3k 2 ? 1
2 2

7、已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l2 : x ? ?1 ,抛 物线 y ? 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之
2

(1, 2 2) ? k ?

2 2 ?0 2 2 ? 1 ? (?2) 3

, 故选 D

13 1 k ? 或k 2 ? . 15 3
2



由①、②、③得 故 k 的

1 1 13 ? k 2 ? 或 ? k 2 ? 1. 4 3 15
取 值 范 围 为

和的最小值是(



8、设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点为 F(1, 0),直线 l 与抛物线 C 相交于 A,B 两点。若 AB 的中 点为(2,2) ,则直线 l 的方程为_____________.

? y12 ? 4 x1 ? A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 则有x1 ? x2, ? 2 ? ? y2 ? 4 x2 y ? y2 4 2 两式相减得,y12 ? y2 ? 4 ? x1 ? x2 ?, ? 1 ? ? x1 ? x2 y1 ? y2 ? 直线l的方程为y-2=x-2,即y=x


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