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高州市分界中学2011届高三2月月考(理数)


高州市分界中学 2011 届高三 2 月考
数学试题(理科)
第Ⅰ卷 一、选择题: (每小题 5 分,共 40 分) 1.若对任意 x ? R ,不等式 x ≥ ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是 A. a ? ?1 B. a ≤1 C. a ? 1 D. a ≥ 1 ( ) ( )

2.椭圆 x2 ? 4 y 2 ? 1 的离心率为



A.

3 2

B.

3 4

C.

2 2

D.

2 3

3.设方程 x2 ? px ? q ? 0 的解集为 A,方程 x2 ? qx ? p ? 0 的解集为 B,若 A ? B ? ?1 , ? 则 p+q= ( ) A.2 B.0 C.1 D.-1 4.如图,正方形 AB1 B2 B3 中,C,D 分别是 B1 B2 和 B2 B3 的中点,现沿 AC,AD 及 CD 把这个正方形折成一个四面体, 使 B1 ,B2 ,B3 三点重合,重合后的点记为 B,则四面体 A B A—BCD 中,互相垂直的面共有( ) A.4 对 B.3 对 3 C.2 对 D.1 对 D 5.某通讯公司推出一组手机卡号码,卡号的前七位数字固定,从“ ???????0000 ”到 “ ???????9999 ”共 10000 个号码.公司规定:凡卡号的后四位带有数字“ 4 ”或 B C ( B) “ 7 ”的一律作为“优惠卡” ,则这组号码中“优惠卡”的个数为 A. 2000 B. 4096 C. 5904 D. 8320
1 2

6.对于 R 上可导的任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f ?( x) ≥ 0 ,则必有 A. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) C. f (0) ? f (2) ≤ 2 f (1) B. f (0) ? f (2) ? 2 f (1) D. f (0) ? f (2) ≥ 2 f (1)





7.在平面直角坐标系 xOy 中,已知平面区域 A ? ( x,y ) x ? y ≤ 1,且x ≥ 0,y ≥ 0 , 则平面区域 B ? ( x ? y,x ? y ) ( x,y ) ? A 的面积为 A. 2 B. 1 C.

?

?

?

?

( D.



1 2

1 4

1

8.设 f ( x) ? lg ?

? 2 ? ? a ? 是奇函数,则使 f ( x) ? 0 的 x 的取值范围是 ? 1? x ?
1) B. (0, 0) C. ( ??,





, A. (?1 0)

0) , D. (??, ? (1 ? ?)

二、填空题: (每小题 5 分,共 30 分) 9.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,| ? |? 部分图象如图所示,则 f ( x) ? 10.若向量

?
2

)的
2

y 6 O 2 -2 x

a 、 b 的坐标满足 a ? b ? (?2,?1) ,

a
11.

? b ? (4,?3) ,则 a · b 等于
2

?

0

? 2 2 ? ? x ? x ? dx ? 3 ? ?



12.等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 S1 , 2S 2 , 3S3 成等差数列,则 ?an ? 的公比 为 . 选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选只计算前两题的得分. 13.过点 A(2,3)的直线的参数方程 ? 相交于点 B,则 AB =

?x ? 2 ? t ?t为参数? ,若此直线与直线 x ? y ? 3 ? 0 ? y ? 3 ? 2t


14.如图 3,⊙O 和⊙ O ' 都经过 A、B 两点,AC 是⊙ O ' 的切线,交⊙O 于点 C,AD 是⊙O 的切线,交⊙ O ' 于 点 D,若 BC= 2,BD=6,则 AB 的长为 15.设 x ? y ? z ? 1 ,则 F ? 2x ? 3 y ? z 的最小值为_____________。
2 2 2

三、解答题: 16. (本小题满分 12 分)

, 已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 x ?R .
(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最小值和最大值. 8 4

? π 3π ? ? ?

2

17. (本小题满分 12 分) 从某批产品中,有放回地抽取产品二次,每次随机抽取 1 件,假设事件 A : “取出 的 2 件产品中至多有 1 件是二等品”的概率 P( A) ? 0.96 . (1)求从该批产品中任取 1 件是二等品的概率 p ;

? (2) 若该批产品共 100 件, 从中任意抽取 2 件, 表示取出的 2 件产品中二等品的件数,
求 ? 的分布列.

18. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2 n ?1

an ?

n * ,a?N . 3

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅱ)设 bn ?

n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn . an

19. (本题满分 14 分) 如图,已知 ABCD ? A B1C1D1 是棱长为 3 的正方体,点 E 在 AA1 上,点 F 在 CC1 1 上,且 AE ? FC1 ? 1 . (1)求证: E,B,F,D1 四点共面; 分) (4

BG ? (2) 若点 G 在 BC 上,
平面 BCC1B1 ; 分) (4

2 GM ⊥ BF , , M 在 BB1 上, 点 垂足为 H , 求证:EM ⊥ 3

(3)用 ? 表示截面 EBFD1 和侧面 BCC1B1 所成的锐二面角的大小,求 tan ? . 分) (4

D1 C1
F M D

A1 B1
E

A

H

C

G

B

3

20. (本题满分 14 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,过 y 轴正方向上一点 C (0,c) 任作一直线,与 抛物线 y ? x2 相交于 A,B 两点.一条垂直于 x 轴的直线,分别与线段 AB 和直线

l : y ? ?c 交于点 P,Q .
(1)若 OA? (5 OB ? 2 ,求 c 的值; 分) (2)若 P 为线段 AB 的中点,求证: QA 为此抛物线的切线; 分) (5 (3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由. 分) (4 y B

??? ??? ? ?

A

C O

P

x Q 21. (本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x 2 ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 . (Ⅰ)当 b ? l

1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的极值点;

(Ⅲ)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln ?

?1 ? 1 1 ? 1? ? 2 ? 3 都成立. ?n ? n n

4

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 题序 答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 C 6 B 7 B 8 A

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) : 9.__ 2 sin 11.______

?
4

x _________;

10.___ -5________;

4 ________; 3

12.______

1 __________; 3

13.________ 2 5 _____; 15.________ 三、解答题:

14.________ 2 3 ____________;

6 _____________ 11

16. (Ⅰ)解: f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? 因此,函数 f ( x ) 的最小正周期为 π . (Ⅱ)解法一:因为 f ( x) ?

? ?

π? ?. 4?

π? ? ? π 3π ? 2 sin ? 2 x ? ? 在区间 ? , ? 上为增函数, 4? ? ?8 8 ?

在区间 ?

? 3π 3π ? , 上为减函数, ?8 4? ? ? 3π ? f ? ?? 2, ? 8 ? ? π 3π ? ? ? π ? 3π ? ? 3π π ? f ? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1 , 4 ? 4 ? ? 2 4?

又f?

?π? ? ?0, ?8?

故函数 f ( x ) 在区间 ? , ? 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 . 8 4

17.解: (1)记 A0 表示事件“取出的 2 件产品中无二等品” , . A1 表示事件“取出的 2 件产品中恰有 1 件二等品” 则 A0,A1 互斥,且 A ? A0 ? A ,故 1

P( A) ? P( A0 ? A1 )

5

? P ( A0 ) ? P ( A1 ) ? (1 ? p ) 2 ? C1 p (1 ? p ) 2 ? 1 ? p2
于是 0.96 ? 1 ? p 2 . 解得 p1 ? 0.2,p2 ? ?0.2 (舍去) .

1, (2) ? 的可能取值为 0,2 .
若该批产品共 100 件,由(1)知其二等品有 100 ? 0.2 ? 20 件,故

P(? ? 0) ?

2 C80 316 . ? 2 C100 495

C1 C1 160 . P(? ? 1) ? 802 20 ? C100 495 P(? ? 2) ? C2 19 20 . ? 2 C100 495

所以 ? 的分布列为

?
P

0

1

2

316 495

160 495

19 495

18. 解: (Ⅰ)? a1 ? 3a2 ? 3 a3 ? … ? 3
2

n , ① 3 n ?1 . ? 当 n ≥ 2 时, a1 ? 3a2 ? 32 a3 ? … ? 3n ? 2 an ?1 ? 3 1 1 n ?1 ①-②得 3 an ? , an ? n . 3 3 1 在①中,令 n ? 1 ,得 a1 ? . 3 1 ? an ? n . 3
n ?1

an ?



(Ⅱ)? bn ?

n , an

?bn ? n3n .

6

? Sn ? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? …? n3n , ?3Sn ? 32 ? 2 ? 33 ? 3? 34 ? …? n3n?1 .
④-③得

③ ④

?2Sn ? n3n?1 ? (3 ? 32 ? 33 ? …? 3n ) .
即 2Sn ? n3
n ?1

?

3(1 ? 3n ) , 1? 3

? Sn ?

(2n ? 1)3n ?1 3 ? . 4 4

19. (1)如图,在 DD1 上取点 N ,使 DN ? 1 ,连结 EN ,

D1 C1
F

A1 B1

CN ,则 AE ? DN ? 1 , CF ? ND1 ? 2 .
因为 AE ∥ DN , ND1 ∥CF ,所以四边形 ADNE , CFD1 N 都为平行四 边形. 从而 EN ∥ , FD1 ∥CN . AD 又因为 AD ∥ ,所以 EN ∥ ,故四边形 BCNE 是平行四边形, BC BC 由此推知 CN ∥ BE ,从而 FD1 ∥ BE . 因此, E,B,F,D1 四点共面. (2)如图, GM ⊥ BF ,又 BM ⊥ BC ,所以∠BGM ? ∠CFB ,

N
D

E

H

C

M
G
B

A

BC 2 3 BM ? BG ?tan ∠BGM ? BG ?tan ∠CFB ? BG ? ? ? ? 1. CF 3 2
因为 AE ∥ BM ,所以 ABME 为平行四边形,从而 AB ∥ EM . 又 AB ⊥ 平面 BCC1B1 ,所以 EM ⊥ 平面 BCC1B1 . (3)如图,连结 EH . 因为 MH ⊥ BF , EM ⊥ BF , 所以 BF ⊥ 平面 EMH ,得 EH ⊥ BF . 于是∠EHM 是所求的二面角的平面角,即∠EHM ? ? . sin sin 因为∠MBH ? ∠CFB ,所以 MH ? BM ? ∠MBH ? BM ? ∠CFB

? BM ?

BC BC ? CF
2 2

? 1?

3 3 ?2
2 2

?

3 , 13

7

tan ? ?

EM ? 13 . MH

解法二: (1)建立如图所示的坐标系,则 BE ? (3,1) , BF ? (0,2) , BD1 ? (3,3) , 0, 3, 3, 所以 BD1 ? BE ? BF ,故 BD1 , BE , BF 共面. 又它们有公共点 B ,所以 E,B,F,D1 四点共面.

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

??? ??? ? ?

???? ?

??? ?

??? ?

D1

z
A1 B1
E

0, (2)如图,设 M (0, z ) ,则 GM ? ? 0, ,z ? , C1 ?
???? ??? ? ? ??? ? 2 3 而 BF ? (0,2) ,由题设得 GM ?BF ? ? ? ? z ?2 ? 0 , 3, 3
得 z ? 1.

???? ?

? ?

2 3

? ?

F

M D
A

x

H

0, 0, 因为 M (0,1) , E (3,1) ,有 ME ? (3,0) , 0,

????

y

C

G

B

又 BB1 ? (0,3) , BC ? (0,0) ,所以 ME?BB1 ? 0 , 3, 0,

????

??? ?

???? ????

???? ??? ? ME ?BC ? 0 ,从而 ME ⊥ BB1 , ME ⊥ BC .
故 ME ⊥ 平面 BCC1B1 . (3)设向量 BP ? ( x,y, ⊥ 截面 EBFD1 , 3) 于是 BP ⊥ BE , BP ⊥ BF . 而 BE ? (3,1) , BF ? (0,2) ,得 BP?BE ? 3x ? 3 ? 0 , 0, 3,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ??? ? BP?BF ? 3 y ? 6 ? 0 ,解得 x ? ?1 , y ? ?2 ,所以 BP ? (?1 ? 2, . , 3)
又 BA ? (3,0) ⊥ 平面 BCC1B1 , 0, 所以 BP 和 BA 的夹角等于 ? 或 π ? ? ( ? 为锐角) .

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? BP?BA 1 于是 cos ? ? ??? ??? ? . ? ? 14 BP ?BA
故 tan ? ? 13 . 20.解: (1)设直线 AB 的方程为 y ? kx ? c ,
2 将该方程代入 y ? x 得 x ? kx ? c ? 0 .
2

y B

A

C O

P

x Q l

8

令 A(a,a2 ) , B(b,b2 ) ,则 ab ? ?c . 因为 OA? OB ? ab ? a b ? ?c ? c ? 2 ,解得 c ? 2 ,
2 2 2

??? ??? ? ?

或 c ? ?1 (舍去) .故 c ? 2 . (2)由题意知 Q ?

a2 ? c a 2 ? ab ? a?b ? ? ? 2a . , c ? ,直线 AQ 的斜率为 k AQ ? ? a?b a ?b ? 2 ? a? 2 2

又 y ? x2 的导数为 y? ? 2 x ,所以点 A 处切线的斜率为 2a , 因此, AQ 为该抛物线的切线. (3) (2)的逆命题成立,证明如下: 设 Q( x0, c) . ? 若 AQ 为该抛物线的切线,则 k AQ ? 2a , 又直线 AQ 的斜率为 k AQ ?

a 2 ? c a 2 ? ab a 2 ? ab ,所以 ? ? 2a , a ? x0 a ? x0 a ? x0
a?b . 2

得 2ax0 ? a2 ? ab ,因 a ? 0 ,有 x0 ? 故点 P 的横坐标为

a?b ,即 P 点是线段 AB 的中点. 2

, 21.解: (Ⅰ)由题意知, f ( x ) 的定义域为 (?1 ? ?) ,

f ?( x) ? 2 x ?
2

b 2 x3 ? 2 x ? b ? x ?1 x ?1
1 ? (?1, ?) , ? 2

设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,其图象的对称轴为 x ? ?

1 ? 1? ? g ( x)max ? g ? ? ? ? ? ? b . 2 ? 2?
当b ?

1 1 时, g ( x) max ? ? ? b ? 0 , 2 2
2

, 即 g ( x) ? 2 x ? 3x ? b ? 0 在 (?1 ? ?) 上恒成立, ? ? 当 x ? (?1, ?) 时, f ?( x) ? 0 ,
1 ? ? 当 b ? 时,函数 f ( x) 在定义域 (?1, ?) 上单调递增. 2

9

(Ⅱ)①由(Ⅰ)得,当 b ?

1 时,函数 f ( x ) 无极值点. 2
3

1? ? 2? x ? ? 1 1 2? ? ② b ? 时, f ?( x) ? ? 0 有两个相同的解 x ? ? , 2 2 x ?1

1? ? ? x ? ? ?1, ? 时, f ?( x) ? 0 , ? 2? ? ? 1 ? x ? ? ? , ? ? 时, f ?( x) ? 0 , ? ? 2 ?
?b ? 1 , 时,函数 f ( x ) 在 (?1 ? ?) 上无极值点. 2 1 ③当 b ? 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, 2

x1 ?

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b , x2 ? , 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , x2 ? ? 0, 2 2

? b ? 0 时, x1 ?

即 x1 ? (?1 ? ?) , x2 ?? ?1 ? ?? . , ,

? b ? 0 时, f ?( x ) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x
f ?( x )
f ( x)

(?1,x1 )
?
?

x1
0
极小值

( x2, ?) ?

?
?

由此表可知: b ? 0 时, f ( x ) 有惟一极小值点 x1 ?

?1 ? 1 ? 2b , 2

当0 ? b ?

1 ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , 时, x1 ? 2 2

? x1,x2 ? (?1 ? ?) ,
此时, f ?( x ) , f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

10

x
f ?( x )
f ( x)

(?1,x1 )

x1
0
极大值

( x1,x2 )
?
?

x1
0
极小值

( x1, ?) ?

?
?
1 时, 2

?
?

由此表可知: 0 ? b ?

f ( x) 有一个极大值 x1 ?
综上所述:

?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 和一个极小值点 x2 ? ; 2 2

b ? 0 时, f ( x) 有惟一最小值点 x ?

?1 ? 1 ? 2b ; 2

11


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