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2013年高中数学联赛四川预赛试题


2013 年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)
(5 月 19 日下午 14:30——16:30)
题 目 得 分 评卷人 复核人 考生注意:1、本试卷共三大题(16 个小题) ,全卷满分 140 分. 2、用黑(蓝)色圆珠笔或钢笔作答. 3、计算器、通讯工具不准带入考场. 4、解题书写不要超过密封线. 得 分 评卷人 一、单项选择题(本大题共 6 个小题,每小

题 5 分,共 30 分) 一 二 三 13 14 15 16 总成绩

1、函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足: f ? x ? 3? ? ? 则 f (2013) ? A、 ?

1 ,若 f (0) ? 2 , f ? x?
【 】

1 2

B、

1 2

C、2

D、2013

2、设等差数列 ?an ? 与等比数列 ?bn ? 满足: 0 ? a1 ? b1 ? a5 ? b5 ,则下述四个结论: ① a3 ? b3 ; A、0 个 ② a3 ? b3 ; ③ a6 ? b6 ; ④ a6 ? b6 中正确的个数是 B、1 个 C、2 个 D、3 个 【 】

3、已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? , PA ? ? , PB ? ? , A 、 B 为垂足, PA = 5 ,

PB = 4 ,设 A 、 B 到二面角的棱 l 的距离分别为 x 、 y ,当 ? 变化时,点 ( x, y ) 的轨迹为下 列图形中的 【 】

A、 B、 C、 D、 4、从 [0,10] 上任取一个数 x ,从 [0, 6] 上任取一个数 y ,则使得 | x ? 5 | ? | y ? 3 |? 4 的概 率是 A、 【 】

1 1 3 1 B、 C、 D、 5 3 2 4 5、当平面上的点 ( x, y ) 的坐标 x 、 y 都为有理数时,该点称为有理点,设 r 是给定的正
实数,则圆 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? r 2 上的有理点 A、最多有一个 B、最多有两个 C、最多有四个 【 D、可以有无穷多个 】

2013 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 1 页 (共 4 页)

6、△ABC 中, ?C ? 90? , ?B ? 30? , AC = 2 ,M 是 AB 的中点,将△ACM 沿 CM 翻折, 使 A、B 两点间的距离为 2 2 ,则三棱锥 A ? BCM 的体积等于 【 】

A、

2 3
评卷人

B、

2 3

C、

6 3

D、

2 2 3

得 分

二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

3? x ,记 f (1) ? f (2) ? f (4) ? ? ? f (1024 ? m , ) 1? x 1 1 1 1 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) ? n ,则 m ? n ? . 2 4 8 1024
7、已知函数 f ( x) ? 8、已知 i 是虚数单位, z ? 1 ? i ? i ? i ? i ? ? ? i
2 3 4 2013

,把复数 z 的共轭复数记为 z ,

则 z?z=
2



9、实数 x, y 满足 x ?

y2 ? 1 ,则 x 2 ? y 2 的最大值是 16



10、关于曲线 C: x 4 ? y 2 ? 1的下列命题: ① 曲线 C 关于原点对称; ② 曲线 C 关于直线 y = x 对称; ③ 曲线 C 所围成的面积小于 ? ; ④ 曲线 C 所围成的面积大于 ? , 其中的真命题是 . (写出所有真命题的编号)

1 1 11、设 n 是小于 100 的正整数,且满足 (n2 ? 1) ? n 为整数, 3 5 则符合条件的所有正整数 n 的和为 .
12、已知函数 f ( x) ? 则实数 a 的取值范围是 得 分 评卷人 三、解答题(本大题共 4 个小题,每小题 20 分,共 80 分)
2 13、设实数 ? ? 0 ,已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 sin ? x ? sin(? x ? ) 的最小

a ? x ,对任意 x ? (0,1) ,有 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 恒成立, x


π 2

正周期是

π π π .求 f ( x ) 在 [ , ] 上的最大值与最小值. 2 8 4

2013 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 2 页 (共 4 页)

x3 ? 3x 14、已知函数 f ( x) ? ,数列 {xn } 满足: x1 ? 2 , xn?1 ? f ( xn ) (n ? N * ) , 2 3x ? 1
记 bn ? log 3 (

xn ?1 ? 1 ) (n ? N * ) . xn ?1 ? 1

( I ) 求证:数列 {bn } 成等比数列,并求数列 {bn } 的通项公式; (II)记 cn ? ?nbn (n ? N * ) ,求数列 {cn } 的前 n 项和公式 Tn .

x2 + y 2 = 1 上异于点 B 的任意两点,且 BP ? BQ . 4 (I)若点 B 在线段 PQ 上的射影为点 M,求 M 的轨迹方程; (II)求线段 PQ 的中垂线 l 在 x 轴上的截距的取值范围.
15、已知点 B(0,1) ,P、Q 为椭圆

2013 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 3 页 (共 4 页)

16、若实数 x0 满足 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x ? x0 为 f ( x ) 的不动点. 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 3 ,其中 a , b 为常数. (I)若 a ? 0 ,求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (II)若 a ? 0 时,存在一个实数 x0 ,使得 x ? x0 既是 f ( x ) 的不动点,又是 f ( x ) 的极值 点.求实数 b 的值; (III)求证:不存在实数组 ( a, b) ,使得 f ( x ) 互异的两个极值点皆为不动点.

2013 年全国高中数学联赛(四川初赛) 第 4 页 (共 4 页)


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