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概率3 25.2.


用列举法求概率(1)

复习回顾: 一般地,如果在一次试验中,

有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等,
事件A包含在其中的m种结果, 那么事件A发生的概率为: P ( A) ? 求概率的步骤: (1)列举出一次试验中的所有结果(n个); (2)找出其中事件A发生的结果(m个);

m n


(3)运用公式求事件A的概率:P ( A) ?

m n

球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球都搅匀。 蒙上眼睛从口袋中取一只球,如果你想取出1只黑 球,你选哪个口袋成功的机会大呢? 2 8 解: 在甲袋中,P(取出黑球)= = 7 28
在乙袋中,P(取出黑球)=
1 3

甲 袋

20红,8黑

乙袋 20红,15黑,10白

15 45



1 3



2 7

所以,选乙袋成功的机会大。

例1 如图:计算机扫 雷游戏,在9×9个小 方格中,随机埋藏着 10个地雷,每个小方 解:A区有8格3个雷, 格只有1个地雷,,小 遇雷的概率为3/8, 王开始随机踩一个小 B区有9×9-9=72个小方格, 方格,标号为3,在3 的周围的正方形中有3 还有10-3=7个地雷, 个地雷,我们把他的 由于3/8大于7/72, 区域记为A区,A区外 所以第二步应踩B区 记为B区,,下一步 遇到地雷的概率为7/72, 小王应该踩在A区还 是B区?

1

变式:如果小王 在游戏开始时踩 中的第一格上出 现了标号1,则下 一步踩在哪一区 域比较安全?

引例:掷两枚硬币,求下列事件的概率:

(1)两枚硬币全部正面朝上;
(2)两枚硬币全部反面朝上; (3)一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上; “掷两枚硬币”共有几种结果?

正正

正反

反正

反反

例1:如图,甲转盘的三个等分区域分别写有数字1、2、 3,乙转盘的四个等分区域分别写有数字4、5、6、7。 现分别转动两个转盘,求指针所指数字之和为偶数的 概率。
甲 解:


1 2 3
5 6



4 5 7 6
7
共有12种不同结果,每 种结果出现的可能性相 同,其中数字和为偶数 的有 6 种 ∴P(数字和为偶数)
6



4

1

(1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (3,4) (3,5) (3,6) (3,7)

2
3

=

?

1 2

12

归纳

“列表法”的意义:
当试验涉及两个因素(例如两个转盘) 并且可能出现的结果数目较多时,

为不重不漏地列出所有的结果,
通常采用“列表法”。

例2、同时掷两个质地相同的骰子,计算下列事件的概率: (1)两个骰子的点数相同;(2)两个骰子的点数和是9; (3)至少有个骰子的点数是2。 解: 二 一

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
6

2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
? 1

3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,5)
4 36 ? 1 9

6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

P(点数相同)= P(点数和是9)= 36 6 11 P(至少有个骰子的点数是2 )= 36

思考
“同时掷两个质地相同的骰子”与 “把一个骰子掷两次”,所得到的结果有变化吗?

“同时掷两个质地相同的骰子” 两个骰子各出现的点数为1~6点
“把一个骰子掷两次” 两次骰子各出现的点数仍为1~6点

归纳
随机事件“同时”与“先后”的关系:

“两个相同的随机事件同时发生”与 “一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的。

1、在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机地抽取一 张后放回,再随机地抽取一张,那么两次取出的数字 都是偶数的概率是多少? 解: 列出所有可能的结果:
一 二

1

2

3

4

5

6

1
2 3 4 5 6

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6) (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

P(两次取出的数字都是偶数)=

9 36

?

1 4

变、在6张卡片上分别写有1~6的整数,随机地抽取 一张后不放回,再随机地抽取一张,那么两次取出的 数字都是偶数的概率是多少? 解: 列出所有可能的结果:
二 1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 (2,1)

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (4,6) (5,6) (3,1) (3,2) (4,1) (4,2) (4,3) (5,1) (5,2) (5,3) (5,4)

6

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5)

变2: 第二次 取出的 数字是 第一次 的2倍 的概率。

P(两次取出的数字都是偶数)=

6 30

3 15

?

1 5

5、一个袋子中装有2个红球和2个绿球,任意摸出一个 球,记录颜色后放回,再任意摸出一个球,请你计算两 次都摸到红球的概率。

若第一次摸出一球后,不放回,结果又会怎样? “放回”与“不放回”的区别: (1)“放回”可以看作两次相同的试验;

(2)“不放回”则看作两次不同的试验。

4.一个口袋内装有大小相等的1个白球和已编有不同 号码的3个黑球,从中摸出2个球.摸出两个黑球的 概率是多少? 解:设三个黑球分别为:黑1、黑2、黑3,则:

P(摸出两个黑球)=

6 12
=

1 2

7、甲、乙两人各掷一枚质量分布均匀的正方体骰子,如果点数 之积为奇数,那么甲得1分;如果点数之积为偶数,那么乙得1分。 连续投10次,谁得分高,谁就获胜。 (1)请你想一想,谁获胜的机会大?并说明理由; (2)你认为游戏公平吗?如果不公平,请你设计一个公平的游戏。

列出所有可能的结果:
1 1 1×1=1 2 2×1=2 3 3×1=3 4 4×1=4 5 5×1=5 6 6×1=6

2
3 4 5

1×2=2
1×3=3 1×4=4 1×5=5

2×2=4
2×3=6 2×4=8 2×5=10

3×2=6
3×3=9 3×4=12 3×5=15

4×2=8
4×3=12 4×4=16 4×5=20

5×2=10
5×3=15 5×4=20 5×5=25

6×2=12
6×3=18 6×4=24 6×5=30

6

1×6=6

2×6=12

3×6=18

4×6=24

5×6=30

6×6=36

6、在盒子中有三张卡片,随机抽取两张,可能 拼出菱形(两张三角形)也可能拼出房子(一张三 角形和一张正方形)。游戏规则是: 若拼成菱形,甲胜;若拼成房子,乙胜。 你认为这个游戏公平吗?

2、用如图所示的两个转盘进行“配紫色”(红与蓝)

游戏。请你采用“树形图”法计算配得紫色的概率。

白 红 蓝 甲

黄 绿 蓝 红


3、每个转盘分成相等的两个扇形。甲、乙两人 利用它们做游戏:同时转动两个转盘, 如果两个指针所停区域的颜色相同则甲获胜; 如果两个指针所停区域的颜色不同则乙获胜。 你认为这个游戏公平吗?

蓝 黄

蓝 绿 黄

小结
1.“列表法”的意义 2. 利用树图列举所有结果的方法.

3.随机事件“同时”与“先后”的关系 “放回”与“不放回”的关系.

2、有两把不同的锁和三把钥匙,其中两把钥匙恰好能分别打开 这两把锁,第三把钥匙不能打开这两把锁。任意取一把钥匙去 开任意一把锁,一次打开锁的概率是多少?

解: 设有A,B两把锁和a,b,c三把钥匙,其中钥匙a,b分别 可以打开锁A,B.列出所有可能的结果如下:

P(一次打开锁)=

2 6

=

1 3

4、有甲、乙两把不同的锁,各配有2把钥匙。求从这4把 钥匙中任取2把,能打开甲、乙两锁的概率。
解:设有A1,A2,B1, B2四把钥匙,其中钥匙A1,A2可以 打开锁甲,B1, B2可以打开锁乙.列出所有可能的结 果如下:

P(能打开甲、乙两锁)=

8 12

=

2 3


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