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广东省湛江市第一中学2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试题含答案


广东省湛江市第一中学 2014-2015 学年高二上学期期末考试数学 (文)试题 考试时间:120 分钟 满分:150 分

一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.若命题“ p ? q ”为真,且“ ?p ”为真,则( A. p 或 q 为假 B. q 假 ) D.不能判断 q 的真假

C. q 真

2.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 36 ,焦距为 12 ,则椭圆的方程为( ) A.

x2 y 2 ? ?1 36 64

B.

x2 y 2 ? ?1 100 64 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1或 ? ?1 100 64 64 100
) D. ?12

C.

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1或 ? ?1 36 64 64 36

D.

3.若 f ' ( x0 ) ? ?3 ,则 lim A. ?3

f ( x0 -h) ? f ( x0 ? 3h) ?( h ?0 h B. ?6 C. ?9

x2 y2 4 4 已知双曲线 2- 2=1的一条渐近线方程为 y ? x ,则双曲线的离心率为( a b 3 5 A.3
3 2



5 5 B. 3 或4

5 C. 4 )

3 D. 2

5.函数 y = x - 3 x - 9 x (- 2 < x < 3) 有( A.极大值 5 ,极小值 ?27 C.极大值 5 ,无极小值

B.极大值 5 ,极小值 ?11 D.极小值 ?27 ,无极大值

6.有下述说法:① a ? b ? 0 是 a 2 ? b 2 的充要条件. ② a ? b ? 0 是 ③ a ? b ? 0 是 a 3 ? b3 的充要条件.④ a ? b ? 0 是 a ? 则其中正确的说法有( A. 0 个 7. 曲线 ) B. 1 个 C. 2 个

1 1 ? 的充要条件. a b

b 的充要条件。

D. 3 个 )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的( 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m
B.离心率相等
-1-

A.焦距相等

C.焦点相同

D.准线相同

8.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的取值范
3 2

围是(

) B. [? 3 , 3 ] C. (??,? 3 ) ? ( 3 ,??) D. (? 3 , 3 )

A. (??,? 3 ] ? [ 3 ,??)
2

9.抛物线 x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点 F 做倾斜角为 30o 的直线,与抛物线分别交于 A,B 两点(A 在 y 轴左侧) ,则 A. 3 2 10.
AF FB ?(

)

B. 1

2

C

3 3

D

1 3

要使直线 y ? kx ? 1(k ? R ) 与焦点在 x 轴上的椭圆 ) B、 0 ?

x2 y 2 ? ? 1 总有公共点,实数 a 7 a
D、 1 ?

的取值范围是( A、 0 ? 二.填空题 11.函数 y ?

a ?1

a?7

C、 1 ?

a?7

a?7

sin x 的导数为_________________; x
_________________________

12. 已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 ,则 ?p 是

13、已知抛物线 x 2 ? 4 y 的焦点 F 和点 A ? ?1, 6 ? , P 为抛物线上一点,则 PA ? PF 的最小值是 ________________; 14.设 f ( x) ? x 3 ?

1 2 x ? 2 x ? 3 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m-1 恒成立,则实数 m 的 2

取值范围为 。 三.解答题(要求写出解题过程) 15. (12 分)已知命题 p : x 2 ? x ? 12, q : x ? Z 且“ p且q ”与“非 q ”都为假命题,求 x 的值。 16.(12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? (1 ? a ) x ? a (a ? 2) x ? b (a, b ? R且a ? 0) .若函数 f ( x)
3 2

的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 , (1)求 a, b 的值; (2)求函数 f ? x ? 在点(1,f(1))处的切线方程。

-2-

17.(14 分)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1、F 2 在坐标轴上,离心率为 2,且过点(4, - 10 ) (1)求双曲线的方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证: MF1 ? MF2

18. (14)某集团为获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每年投 入广告费 t(百万元),可增加销售额约为-t2+7t(百万元)(0≤t≤4). (1)若该公司将当年的广告费控制在 400 万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司 获得的收益最大? (2)现该公司准备共投入 400 万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术 1 改造费 x(百万元),可增加的销售额为- x3+x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案,使 3 该公司获得的收益最大.(注:收益=销售额-投入)

19.(14 分)已知 f(x)=ax2(a∈R),g(x)=2ln x.
(1)当 a ? 1 时,求函数 F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.

(2)若方程 f(x)=g(x)在区间[ 2,e]上有两个不等解,求 a 的取值范围.

-3-

(Ⅱ) 设椭圆 C 的左顶点为 A,下顶点为 B,动点 P 满足 PA ? AB ? m ? 4 , ( m ? R )试求点 P 的轨迹方程,使点 B 关于该轨迹的对称点落在椭圆 C 上.

-4-

2014-2015 年第一学期高二级期末考试文科数学答题卡
班级
注意事项 : 1、答题前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔填写班级、姓名、试室号和座位 号,再用 2B 铅笔把考号的对应数字涂黑。 2、保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破。





姓名

试室号

座位号

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[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]

单 选 题

1 2 3 4

[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]

5 6 7 8

[A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D] [A] [B] [C] [D]

9

[A] [B] [C] [D]

10 [A] [B] [C] [D]

二、填空题
11.____________________ 13.____________________ 12.____________________ 14.____________________

三、解答题:本大题共 6 小题;共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、 (12 分)

-5-

16、(12 分)

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-6-





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17、(14 分)

-7-

18、 (14 分)

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19.(14 分)

-9-

20.(14 分)

y M x A F1 o B F2 N

- 10 -

2014-2015 年第一学期高二级期末考试(文科)参考答案
一.选择题(每题 5 分,共 50 分) 1 C 2 D 3 B 4 A 5 C 6 A 7 A 8 B 9 D 10 C

二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 11.

x cos x ? sin x x2

12.?x0 ? R,sin x0 ? 1

13. 7

14, ? 6, ?? ?

三.解答题(80 分) 15.(12 分) 解:非 q 为假命题,则 q 为真命题; 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。3 分 p且q 为假命题,则 p 为假命题,即非 P 为真命题。 所以 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 x 2 ? x ? 12, 且x ? Z ,

故 ?12 ? x 2 ? x ? 12且x ? Z 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分
2 ? ? x ? x ? 12 ? 0 由 ?12 ? x ? x ? 12 得 ? , 解不等式组得 ? 3 ? x ? 4, 2 ? ? x ? x ? 12 ? 0 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分
2

又因为 x ? Z ,

所以x ? ?2, ? 1, 0,1, 2或3 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。11 分

所以“ p且q ”与“非 q ”同时为假命题 x 的值值为-2,-1,0,1,2 或 3.。 。 。 。 。 。 。12 分 16(12 分) 解: (1) f ?( x) ? 3 x ? 2(1 ? a ) x ? a (a ? 2) 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分
2

依题意得 ?

?

f (0) ? b ? 0

? f ?(0) ? ?a (a ? 2) ? ?3

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分

解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 (舍去)。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 (2)由(1)知 f ? x ? ? x ? 4 x ? 3 x 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分
3 2

f ' ? x ? ? 3x 2 ? 8 x ? 3 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分
所以 k ? f (1) ? 8 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。9 分
'

又因为当 x ? 1时f (1) ? 1 ? 4 ? 3 ? 2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分

- 11 -

所以函数 f ? x ? 在点(1,f(1))处的切线方程为 y ? 2 ? 8 ? x ? 1? 即 y ? 8 x ? 6 。 。 。 。 。12 分 17.(14 分) 解:(1)因为 e ?

2 ,所以

c c2 ? 2即 2 ? 2, 又 c 2 ? a 2 ? b 2 , 所以a 2 =b 2 a a

。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 可设双曲线的方程为 x 2 ? y 2 ? ? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 ? ? ? 0? 。

因为双曲线过点(4,- 10 ) ,所以 16-10= ? ,即 ? =6.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 所以双曲线的方程为

x2 y2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。7 分 ? ?1。 6 6

(2)易知 F1 ?2 3, 0 , F2 2 3, 0 ,。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 所以 k MF1 ?

?

? ?

?

m m , , kMF2 ? 3? 2 3 3? 2 3

所以 k MF1 k MF2 ?

m m m2 ?? 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 3 3? 2 3 3? 2 3
2 2

因为 M(3,m)在双曲线上,所以 9 ? m ? 6即m ? 3 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分 所以 k MF1 k MF2 ? ?1, 所以MF1 ? MF2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。14 分

19.(14 分)解: (1) 当 a=1 时,F(x) =f(x)-g(x)=x2-2ln x,其定义域为(0,+∞),
- 12 -

2 2 x ?1 ∴F′(x)=2x- = x x
2

?

?

(x>0). 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分



2 ? x 2 ? 1? x

>0 时,x>1; 当

2 ? x 2 ? 1? x

<0 时, 0 ? x ? 1 .。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分

1? ∴当 a=1 时函数 F(x)=f(x)-g(x)的单调递增区间为 ?1, ?? ? , 单调递减区间为 ? 0,
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分

20.解:(Ⅰ)

b ? 1, 根据已知得

x2 ? y2 ? 1 2 a

设 M (c, y), (y ? 0) ?

c2 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。2 分 ? y2 ? 1 。 a2

c2 a 2 ? c2 b2 1 ? y ? 1? 2 ? ? 2 ? 2 2 a a a a
2

?y ?

1 1 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。4 分 ? , 即a ? 2 。 a 2

∴所求椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ..。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。5 分 4

(Ⅱ)由(Ⅰ)知点 A(-2,0),点 B 为(0,-1) ,设点 P 的坐标为 ( x, y ) 则 PA ? (?2 ? x, ? y ) , AB ? (2, ?1) ,.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。6 分 由 PA ? AB ? m -4 得- 4 ? 2 x ? y ? m ? 4 ,

- 13 -

∴点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? m 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。8 分 设点 B 关于 P 的轨迹的对称点为 B '( x0 , y0 ) ,则由轴对称的性质可得:

y0 ? 1 x 1 y ?1 ?? , 0 ? 2 ? 0 ? m ,解得 x0 2 2 2
?4 ? 4m 2m ? 3 ,.。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。10 分 , y0 ? 5 5 ?4 ? 4m 2 2m ? 3 2 ∵点 B '( x0 , y0 ) 在椭圆上,∴ ( ) ? 4( ) ? 4 ,整理得 2m 2 ? m ? 3 ? 0 解得 5 5 x0 ?

m ? ?1 或 m ?

3 2。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。12 分

3 3 ,经检验 y ? 2 x ? 1 和 y ? 2 x ? 都符合题设, 2 2 3 ∴满足条件的点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1 或 y ? 2 x ? . 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。14 分 2
∴点 P 的轨迹方程为 y ? 2 x ? 1 或 y ? 2 x ?

- 14 -


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