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河南省开封市2016届高三数学上学期第一次模拟考试试题 文


开封市 2016 届高三第一次模拟考试数学(文)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)-(23)题 为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的 姓名

、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标号, 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。 5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑。 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差 锥体体积公式

s?

1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ? ? ? ( xn ? x)2 ] n

V?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积,体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4? R2

4 V ? ? R3 3

其中 R 为球的半径

第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1. 设集合 A={n|n=3k-1,k∈Z},B={x| |x-1|>3},则 A∩( CR B)= A. {-1,2} B.{-2,-1, 1, 2, 4} C.{1, 4} ( A ) D. Φ
-1-

2. 已知复数 z ? 1 ? ai (a ? R) ( i 是虚数单位) , A. 2 B. ?2 C. ?2

z 3 4 ? ? ? i ,则 a ? ( B ) z 5 5 1 D. ? 2

3. 已知命题 p1 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为增函数, p2 :函数 y ? 2x ? 2? x 在 R 为减函数,则 在命题 q1 : p1 ? p2 ; 真命题是( C ) A. q1 , q3 B. q2 , q3 C. q1 , q4 (D) q2 , q4

q2 : p1 ? p2 ;

q3 : ? ? p1 ? ? p2 和

q4 : p1 ? ? ? p2 ? 中,

4. 已 知函数 f ( x) 是 定义在 R 上的 偶函数 , 且在区间 [0, ??) 单 调递增 . 若实 数 a 满足
f (log 2 a ) ? f (log 1 a ) ? 2 f (1) , 则 a 的最小值是(
2

C )

1 D.2 2 5. 如图的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个数中最大的数,那么在空 白的判断框中,应该填入下面四个选项中的 ( A ) A. c ? x ? B. x ? c ? C. c ? b ? D. b ? c ?

A.

3 2

B.1

C.

6.下列说法错误的是( B



A.自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的 关系叫做相关关系; B.在线性回归分析中,相关系数 r 的值越大,变量间的相关性越强; C.在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高; D.在回归分析中, R 为 0.98 的模型比 R 为 0.80 的模型拟合的效果好.
2 2

7. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有 1、2、3、4 这四个数字,若连续两次 抛掷这个玩具,则两次向下的面上的数字之积为偶数的概率是( D ) 2 3 1 1 A. B. C. D. 2 3 3 4

-2-

8. 函数 f ( x ) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? ? ) 的图像如右图所示, 为了得到这个 函数的图像,只需将 y ? sin x ( x ? R) 的图像上的所有的点 ( C )

A. 向左平移 B. 向左平移 C. 向左平移 D. 向左平移

? ? ? ?
6 3 3

个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的

1 倍,纵坐标不变; 2

个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变; 个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的

1 倍,纵坐标不变; 2

6

个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不变.

→ → → 9. 在△ABC 中,M 为边 BC 上任意一点,N 为 AM 的中点,AN=λ AB+μ AC,则 λ +μ 的值为 ( A )

A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.1

10. 一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的外接球的 表面积为(A)

A.

B.

C.

D.

-3-

11. 已知双曲线 C :

5 x2 y 2 ? 2 ? 1 满足彖件: (1)焦点为 F (2)离心率为 , 1 (?5,0), F 2 (5,0) ; 2 3 a b

求得双曲线 C 的方程为 f ( x, y) ? 0 . 若去掉条件(2) ,另加一个条件求得双曲线 C 的方程仍 为 f ( x, y) ? 0 ,则下列四个条件中,符合添加的条件共有 ( B )

①双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 上的任意点 P 都满足 || PF1 | ? | PF2 ||? 6 ; a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1 的虚轴长为 4; a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1 的一个顶点与抛物线 y2=6x 的焦点重合; a 2 b2 x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 . a 2 b2
B.2 个 C.3 个 D.4 个

②双曲线 C :

③双曲线 C :

④双曲线 C : A.1 个

12.已知函数

的定义域为 R,当

时,

,且对任意的实数 ,



等式 ,则 A.4021

恒成立.若数列{ 的值为( ).

}满足

,且

=

B.3021

C.2241

D.2201

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必 须做答,第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.正项等比数列 ?an ? 中, a 2 ? 4 , a4 ? 16 ,则数列 ?an ? 的前 9 项和等于 14. 设函数 f (x) =
2 2

.1022 }.

, 则方程 f (x) =

的解集为

{﹣1,

15. 已知圆 x +y +2x-4y+1=0, 关于直线 2ax-by+2=0 (a, b∈R) 对称, 则 ab 的取值范围是 (∞,

1 ]. 4

-4-

16. 若偶函数 y ? f ( x), x ? R ,满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,且 x ? [0,2] 时, f ( x) ? 3 ? x2 ,则 方程 f ( x) ? sin | x | 在[-10,10]内的根的个数为 . 10

三、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 ccosA,bcosB,acosC 成等差数列 (Ⅰ)求∠B; (Ⅱ)若 , ,求△ABC 的面积.

解: (Ⅰ)∵ccosA,BcosB,acosC 成等差数列, ∴2bcosB=ccosA+acosC 由正弦定理知:a=2RsinA,c=2RsinC,b=2RsinB 代入上式得:2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC,即 2sinBcosB=sin(A+C) . 又 A+C=π ﹣B,所以有 2sinBcosB=sin(π ﹣B) ,即 2sinBcosB=sinB. 而 sinB≠0,所以 cosB=

1 ,及 0<B<π ,得 B= 2
= ,



(Ⅱ)由余弦定理得:cosB=



= ,

又 a+c= ∴

,b=



﹣2ac﹣3=ac,即 ac= ,

∴S△ABC= acsinB= × × 18. (本小题满分 12 分)

=



如图 1, 在直角梯形 ABCD 中, ∠ADC=90°, CD∥AB, AD=CD= AB=2, 点 E 为 AC 中点. 将△ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC⊥平面 ABC,得到几何体 D﹣ABC,如图 2 所示. (Ⅰ)在 CD 上找一点 F,使 AD∥平面 EFB; (Ⅱ)求三棱锥 C-ABC 的高.

-5-

解: (Ⅰ)取 CD 的中点 F,连结 EF,BF, 在△ACD 中,∵E,F 分别为 AC,DC 的中点, ∴EF 为△ACD 的中位线 ∴AD∥EF, ……………2 分 EF? 平面 EFB,AD?平面 EFB ∴AD∥平面 EFB. ……………4 分 (Ⅱ)设点 C 到平面 ABD 的距离为 h, ∵平面 ADC⊥平面 ABC,且 BC⊥AC, ∴BC⊥平面 ADC, ∴BC⊥AD,而 AD⊥DC, ∴AD⊥平面 BCD,即 AD⊥BD. ……………8 分 ∴ , ,S△ACD=2,

∴三棱锥 B﹣ACD 的高 BC=2 ∴ =

∴可解得:h=2.

……………12 分

19.(本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 8 次,画出茎叶图如图所示,乙的成绩中有一个数个位数字模糊,在茎叶图中用 c 表示.(把频 率当作概率)

(Ⅰ)假设 c=5,现要从甲,乙两人中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度,你认为派哪 位学生参加比较合适? (Ⅱ)假设数字 c 的取值是随机的,求乙的平均分高于甲的平均分的概率. 解:(Ⅰ)若 c=5,则派甲参加比较合适,理由如下:



……3 分



-6-

, ……6 分 ∵ , ……8 分

∴两人的平均成绩相等,但甲的成绩比较稳定,派甲参加比较合适. (Ⅱ)若 x 乙> x 甲,则 ∴ c>5

1 (75+80×4+90×3+3+5+2+c)>85 8

∴c=6, 7, 8, 9

c 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ∴乙的平均分高于甲的平均分的概率为

2 5

……12 分

20. (本小题满分 12 分) 如图, 已知圆 G : ( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 是椭圆 的内切圆, 其中 A 为椭圆的左顶点. (Ⅰ)求圆 G 的半径 r ;

x2 ? y 2 ? 1的内接△ ABC 16

(Ⅱ)过点 M (0,1) 作圆 G 的两条切线交椭圆于 E,F 两点,证明:直线 EF 与圆 G 相切. . G

解: (Ⅰ)设 B(2 ? r, y0) ,过圆心 G 作 GD ? AB 于 D , BC 交长轴于 H 由

GD HB y r ? 得 ? 0 , 2 AD AH 6?r 36 ? r



y0 ?

r 6?r 6?r
2

(1)

……………2 分

而 B(2 ? r, y0) 在椭圆上, y0 ? 1 ?

(2 ? r )2 12 ? 4r ? r 2 (r ? 2)(r ? 6) ? ?? 16 16 16

(2)

2 由(1)、 (2)式得 15r ? 8r ?12 ? 0 ,解得 r ?

2 6 或 r ? ? (舍去) ……………4 分 3 5

(Ⅱ) 设过 M(0,1) 与圆 ( x ? 2) ? y ?
2 2

4 相切的 9
-7-

直线方程为: y ? 1 ? kx

(3)



2 2k ? 1 2 ,即 32k ? 36k ? 5 ? 0 ? 2 3 1? k
?9 ? 41 ?9 ? 41 , k2 ? 16 16

(4)

解得 k1 ?

……………6 分

32k x2 ? y 2 ? 1得 (16k 2 ? 1) x2 ? 32kx ? 0 ,则异于零的解为 x ? ? 将(3)代入 16k 2 ? 1 16
设 F ( x1 , k1 x1 ? 1) , E ( x2 , k2 x2 ? 1) ,则 x1 ? ?

32k1 32k2 , x2 ? ? 2 16k1 ? 1 16k2 2 ? 1
……………9 分

则直线 FE 的斜率为: kEF ?

k2 x2 ? k1 x1 k ?k 3 ? 1 2 ? x2 ? x1 1 ? 16k1k2 4

于是直线 FE 的方程为: y ? 即y?

32k12 32k1 3 ?1 ? ( x ? ) 2 16k1 ? 1 4 16k12 ? 1

3 7 x? 4 3

3 7 ? 2 2 3 ? 则圆心 (2, 0) 到直线 FE 的距离 d ? 3 9 1? 16
故结论成立.

……………12 分

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f (x)=xlnx+ax(a∈R) (Ⅰ)若函数 f (x)在区间[ e
2

,+∞)上为增函数,求 a 的取值范围;

(Ⅱ)若对任意 x∈(1,+∞),f (x)>k(x-1)+ax-x 恒成立,求正整数 k 的值. 解:(Ⅰ)由 f(x)=xlnx+ax,得:f (x)=lnx+a+1 ∵函数 f(x)在区间[e ,+∞)上为增函数, ∴当 x∈[e ,+∞)时 f (x)≥0, ……………2 分 即 lnx+a+1≥0 在区间[e ,+∞)上恒成立, ∴a≥-1-lnx. 又当 x∈[e ,+∞)时, lnx∈[2,+∞),∴-1-lnx∈(-∞,-3]. ∴a≥-3; ……………5 分
-82 2 2 ′ 2 ′

(Ⅱ)若对任意 x∈(1,+∞),f(x)>k(x-1)+ax-x 恒成立, 即 x?lnx+ax>k(x-1)+ax-x 恒成立, 也就是 k(x-1)<x?lnx+ax-ax+x 恒成立, ∵x∈(1,+∞),∴x-1>0. 则问题转化为 k<

x ln x ? x 对任意 x∈(1,+∞)恒成立, ……………6 分 x ?1

设函数 h(x)=

x ln x ? x x ? ln x ? 2 ′ ,则 h (x)= , x ?1 ( x ? 1)2


再设 m(x)=x-lnx-2,则 m (x)=1∵x∈(1,+∞),∴m (x)>0,


1 . x

则 m(x)=x-lnx-2 在(1,+∞)上为增函数, ∵m(1)=1-ln1-2=-1,m(2)=2-ln2-2=-ln2, m(3)=3-ln3-2=1-ln3<0,m(4)=4-ln4-2=2-ln4>0. ∴? x0∈(3,4),使 m(x0)=x0-lnx0-2=0. ∴当 x∈(1,x0)时,m(x)<0,h (x)<0, ……………8 分 ∴h(x)=


x ln x ? x 在(1,x0)上递减, x ?1


x∈(x0,+∞)时,m(x)>0,h (x)>0, ∴h(x)=

x ln x ? x 在(x0,+∞)上递增, x ?1

∴h(x)的最小值为 h(x0)=

x0 ln x0 ? x0 . x0 ? 1
x ln x ? x x ?1

∵m(x0)=x0-lnx0-2=0,∴lnx0+1=x0-1,代入函数 h(x)= 得 h(x0)=x0,

∵x0∈(3,4),且 k<h(x)对任意 x∈(1,+∞)恒成立, ∴k<h(x)min=x0,∴k≤3, ∴k 的值为 1,2,3. ……………12 分 请考生从第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多 做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:平面几何选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CE. (Ⅰ)证明:∠D=∠E; (Ⅱ)设 AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M,且 MB=MC,证明:△ADE 为等边三角形.

-9-

证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形, ∴∠D=∠CBE, ∵CB=CE, ∴∠E=∠CBE, ∴∠D=∠E; ……………5 分 (Ⅱ)设 BC 的中点为 N,连接 MN,则由 MB=MC 知 MN⊥BC, ∴O 在直线 MN 上, ∵AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为 M, ∴OM⊥AD, ∴AD∥BC, ∴∠A=∠CBE, ∵∠CBE=∠E, ∴∠A=∠E, 由(Ⅰ)知,∠D=∠E, ∴△ADE 为等边三角形. ……………10 分 23. (本小题满分 10 分)选修 4﹣4:极坐标与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴.已 知曲线 C1 的极坐标方程为 0) ,射线 , ,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ sinθ =a(a> 与曲线 C1 分别交异于极点 O 的四点

A,B,C,D. (Ⅰ)若曲线 C1 关于曲线 C2 对称,求 a 的值,并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程; (Ⅱ)求|OA|?|OC|+|OB|?|OD|的值. 解:解: (Ⅰ)C1:即 ρ =2
2

ρ (
2

sinθ +
2

cosθ )=2ρ sinθ +2ρ cosθ ,

化为直角坐标方程为 (x﹣1) +(y﹣1) =2. 把 C2 的方程化为直角坐标方程为 y=a, 因为曲线 C1 关于曲线 C2 对称, 故直线 y=a 经过圆心 (1, 1) , 解得 a=1,故 C2 的直角坐标方程为 y=1. ……………5 分 (Ⅱ)由题意可得, ; ; =2 cos( +φ ) , φ;

- 10 -

∴|OA|?|OC|+|OB|?|OD|=8sin(φ + =8cosφ =8× =4

)sinφ +8cos(

+φ )cosφ

. ……………10 分

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设函数 f(x)=|x﹣a|,a<0. (Ⅰ)证明 f(x)+f(﹣ )≥2; (Ⅱ)若不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)证明:函数 f(x)=|x﹣a|,a<0, 则 f(x)+f(﹣ )=|x﹣a|+|﹣ ﹣a| =|x﹣a|+| +a|≥|(x﹣a)+( +a)| =|x+ |=|x|+ ≥2 =2. ……………5 分

(Ⅱ)解:f(x)+f(2x)=|x﹣a|+|2x﹣a|,a<0. 当 x≤a 时,f(x)=a﹣x+a﹣2x=2a﹣3x,则 f(x)≥﹣a; 当 a<x< 时,f(x)=x﹣a+a﹣2x=﹣x,则﹣ <f(x)<﹣a; 当x 时,f(x)=x﹣a+2x﹣a=3x﹣2a,则 f(x)≥﹣ .

则 f(x)的值域为[﹣ ,+∞) , 不等式 f(x)+f(2x)< 的解集非空,即为 >﹣ ,解得,a>﹣1,由于 a<0, 则 a 的取值范围是(﹣1,0) . ……………10 分

- 11 -


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