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诱导公式一


第5章 三角函数
5.5 诱导公式

复 习

1.任意角α 的正弦、余弦、正切是怎样 定义的?

sin ? ? y
cos ? ? x

α 的终边

y

P(x,y)

O

y tan ?

? ( x ? 0) x

x

创设情景

兴趣导入

之间具有什么关系? sin 30? 、 sin 390? 和 sin ( ? 330?)

由于 30? 、390? 和-390? 角的终边相同, 根据任意角三角函数的定义可以得到 . sin 30? = sin 390? = sin ( ? 330?)

推广,可以得到

.

动脑思考

探索新知



终边相同角的同名三角函数值相同.

导 公式一: 公 式

sin(2kπ ? ? ) ? sin ? cos(2kπ ? ? ) ? cos ? tan(2kπ ? ? ) ? tan ?

k?Z

利用公式,可以把任意角的三角函数转化为0°~ 360° 范围内的角的三角函数.

巩固知识 典型例题



例 1 求下列各三角函数值:

导 公 式

9? (1) cos ; 4

(2) sin 780 ;

?

11? (3) tan(? ). 6

利用诱导公式将任意角的三角函数转化为 [0,2?] 内的角的三角函数
cos 9? ? ? 2 ? cos(2? ? ) ? cos ? 4 4 4 2

sin 780? ? sin(2 ? 360? ? 60? ) ? sin 60? ?

3 2

tan(?

11? ?? ? 3 ? ) ? tan ?(?1) ? 2? ? ? ? tan ? 6 6? 6 3 ?

运用知识
练习5.5.1

强化练习

求下列各三角函数值: (1) cos

7? ; 3

(2) sin 750? .

创设情景

兴趣导入

sin 30? 与 sin(?30? ) 之间具有什么关系?

点 P 与点 P? 的横坐标相同,纵 坐标互为相反数.由此得到
? = sin 3 0 ? sin(?30? ) .

推广,可以得到

.

-α 的诱导公式:

思考1:对于任意给定的一个角α ,-α 的终边与α 的终边有什么关系?
y α 的终边

o

x

-α 的终边

思考2:设角α 的终边与单位圆交于点 P(x,y),则-α 的终边与单位圆的交 点坐标如何?
α 的终边 y

P(x,y)
o

P(x,-y)
-α 的终边

x

公式二:

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos? tan(?? ) ? ? tan?



负角的诱导公式.

导 公式二: 公 式

sin(?? ) ? ? sin ? cos(?? ) ? cos ? tan(?? ) ? ? tan ?

利用公式,可以把负角的三角函数转化为正角的三角函数.

巩固知识 典型例题



例 2 求下列三角函数值: (1) sin(?60? ) ;(2) cos(?

导 公 式
cos(?

19? ) ;(3) tan(?30? ) . 3

sin( ?60? ) ? ? sin 60? ? ?

3 2

19? 19? ? ? 1 ) ? cos ? cos( ? 6?) ? cos ? 3 3 3 3 2

tan( ?30? ) ? ? tan 30? ? ?

3 3

运用知识
练习5.5.2

强化练习

求下列各三角函数值:

? (1) tan(? ) ; 6
(2) sin(?390? ) ; (3) cos(?

8? ); 3


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