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【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练:3-3 三角函数的图象与性质


05 限时规范特训

A级

基础达标 4π 1.[2014·韶关调研]如果函数 y=3cos(2x+φ)的图象关于点( ,0)中心对称,那么|φ|的最小值 3

为(

) π A. 6 5π C. 6 π B. 3 π D. 12

4π 4π 8π 2π 解析:函数关于点(

,0)中心对称,则有 3cos(2× +φ)=0,即 cos( +φ)=0,∴cos( + 3 3 3 3

φ)=0,即

2π π π π +φ= +kπ,k∈Z,即 φ=- +kπ,k∈Z,∴当 k=0 时,|φ|= ,此时|φ|最小. 3 2 6 6

答案:A π 2.[2014·玉溪模拟]函数 y=2sin( -2x)(x∈[0,π])的增区间是( 6 A.[0, π ] 3 π 7π B.[ , ] 12 12 5π D.[ ,π] 6 π π π π 3 π - 2x) =- 2sin(2x - ) ,由 + 2kπ≤2x - ≤ π+ 2kπ, k ∈ Z ,解得 + 6 6 2 6 2 3 π 3 5 6 π 5 3 6 )

π 5π C.[ , ] 3 6 解析: y = 2sin( 5 6

kπ≤x≤ π+kπ, k∈Z, 即函数的增区间为[ +kπ, π+kπ], k∈Z, ∴k=0 时, 增区间为[ , π],
选 C 项. 答案:C 3.已知函数 f(x)=sinx+acosx 的图象关于直线 x= 5π 对称,则实数 a 的值为( 3 B.- 2 2 3 3 )

A.- 3

C. 2

D.

解析:由函数 f(x)=sinx+acosx 的图象关于直线 x= 3 .故选 B. 3 答案:B

5π 5π 2 对称,可知 f( )=± a +1,可求得 a= 3 3



4. [2014·福建福州模拟]函数 f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数,该函数的部分图象如图 所示,点 A,B 分别为该部分图象的最高点与最低点,且这两点间的距离为 4 2,则函数 f(x)图象的一条 对称轴的方程为( A.x= π 4 ) B.x= π 2

C.x=4 解析:由题意知|AB|=4 2, 即最值之差为 4,故 =4,T=8, 2 π 所以 f(x)=2cos( x+φ)(0<φ<π), 4

D.x=2

T

π 又 f(x)=2cos( x+φ)(0<φ<π)为奇函数,f(0)=0, 4 故 φ= π π π ,令 x+ =kπ,k∈Z, 2 4 2

得 x=-2+4k,k∈Z, 故 x=2 是一条对称轴.故选 D. 答案:D 1 π π 5.[2014·青岛模拟]函数 f(x)= cos(ωx+φ)对任意的 x∈R,都有 f( -x)=f( +x),若函数 2 3 3

g(x)=3sin(ωx+φ)-2,则 g( )的值是(
A.1 C.-2

π 3

) B.-5 或 3 1 D. 2

π π π 解析:由 f( -x)=f( +x)知此函数的对称轴为 x= , 3 3 3 ∴ π π ω+φ=kπ,k∈Z,∴sin( ω+φ)=0, 3 3

π π ∴g( )=3sin( ω+φ)-2=0-2=-2. 3 3 答案:C π π 6.若函数 f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|< )与 g(x)=cos(ωx- )(ω>0)的图象具有相同的对称中心, 2 6 则 φ=( )

π A. 6 C.- π 3

π B. 3 D.- π 6 π ),其中一 6

解析:由于两函数的对称中心相同,即两函数周期相同,故 ω=2,从而 g(x)=cos(2x- 个对称中心为 (

π π ,0).据题意 ( , 0)也是 y= 2sin(2x+φ) 的对称中心,由对称中心的几何意义可得 3 3

2π π π 2sin( +φ)=0,又|φ|< ,故 φ= . 3 2 3 答案:B π π 7.设函数 f(x)=3sin( x+ ),若存在这样的实数 x1,x2,对任意的 x∈R,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2) 2 4 成立,则|x1-x2|的最小值为________. π π 2 解析:f(x)=3sin( x+ )的最小正周期 T=2π× =4,f(x1),f(x2)应分别为函数 f(x)的最小值 2 4 π 和最大值,故|x1-x2|的最小值为 =2. 2 答案:2 8.[2014·西城区模拟]已知函数 f(x)=sin(2x+ π π π ),其中 x∈[- ,a].当 a= 时,f(x)的值域 6 6 3

T

1 是________;若 f(x)的值域是[- ,1],则 a 的取值范围是________. 2 解析:若- 则- π π ≤x≤ , 6 3

π 2π π π 5π ≤2x≤ ,- ≤2x+ ≤ , 3 3 6 6 6

1 π 此时- ≤sin(2x+ )≤1, 2 6 1 即 f(x)的值域是[- ,1]. 2 若- 则- π ≤x≤a, 6 π π π π ≤2x≤2a,- ≤2x+ ≤2a+ . 3 6 6 6 π π π 7π =- 或 2x+ = 时, 6 6 6 6

∵当 2x+ sin(2x+

π 1 )=- , 6 2

1 ∴要使 f(x)的值域是[- ,1], 2 则有 ∴ π π 7π π ≤2a+ ≤ ,即 ≤2a≤π, 2 6 6 3

π π π π ≤a≤ ,即 a 的取值范围是[ , ]. 6 2 6 2

1 π π 答案:[- ,1] [ , ] 2 6 2 9.设函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈(- π π π , ))的最小正周期为 π,且其图象关于直线 x= 对 2 2 12

π π π 称,则在下面四个结论中:①图象关于点( ,0)对称;②图象关于点( ,0)对称;③在[0, ]上是增函 4 3 6 数;④在[- π ,0]上是增函数,所有正确结论的编号为________. 6

解析:∵T=π,∴ω=2. π π π 又 2× +φ=kπ+ ,∴φ=kπ+ . 12 2 3 ∵φ∈(- π π π π , ),∴φ= ,∴y=sin(2x+ ). 2 2 3 3

由图象及性质可知②④正确. 答案:②④ π π 10.[2014·金华模拟]已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+1(ω>0,A>0,0<φ< )的周期为 π,f( ) 2 4 = 3+1,且 f(x)的最大值为 3. (1)写出 f(x)的表达式; (2)写出函数 f(x)的对称中心,对称轴方程. 解:(1)因 T=π,∴ω=2,最大值为 3, ∴A=2. ∴f(x)=2sin(2x+φ)+1, π ∵f( )= 3+1, 4 π ∴2sin( +φ)+1= 3+1, 2 ∴cosφ= 3 . 2

π π ∵0<φ< ,∴φ= . 2 6 ∴f(x)=2sin(2x+ π )+1. 6 π )+1, 6

(2)由 f(x)=2sin(2x+ 令 2x+

π kπ π =kπ,得 x= - (k∈Z), 6 2 12

∴对称中心为( 由 2x+

kπ π
2 -

,1)(k∈Z), 12

π π kπ π =kπ+ ,得 x= + (k∈Z), 6 2 2 6

∴对称轴方程为 x=

kπ π
2 + 6

(k∈Z).

πx π 2πx 11.[2014·河北质检]设函数 f(x)=sin( - )-2cos . 3 6 6 (1)求 y=f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,求当 x∈[0,1]时,函数 y=g(x)的最大值. 解: (1)由题意知 f(x)= 3 πx 3 πx πx π sin - cos -1= 3·sin( - )-1, 所以 y=f(x)的最小正周期 2 3 2 3 3 3

T=

2π =6. π 3 由 2kπ- π π π π 1 5 ≤ x- ≤2kπ+ ,k∈Z,得 6k- ≤x≤6k+ ,k∈Z, 2 3 3 2 2 2

1 5 所以 y=f(x)的单调递增区间为[6k- ,6k+ ],k∈Z. 2 2 (2)因为函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对称,所以当 x∈[0,1]时,y=g(x)的最大值即 为 x∈[3,4]时,y=f(x)的最大值, 当 x∈[3,4]时, π π 2 π π 3 1 x- ∈[ π,π],sin( x- )∈[0, ],f(x)∈[-1, ], 3 3 3 3 3 2 2

1 即此时 y=g(x)的最大值为 . 2 12.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin(2x+ (1)求常数 a,b 的值; (2)设 g(x)=f(x+ 解:(1)∵x∈[0, ∴2x+ π )且 lg[g(x)]>0,求 g(x)的单调区间. 2 π π )+2a+b,当 x∈[0, ]时,-5≤f(x)≤1. 6 2

π ], 2

π π 7π ∈[ , ]. 6 6 6 π 1 )∈[- ,1], 6 2

∴sin(2x+ 又∵a>0,

∴-2asin(2x+

π )∈[-2a,a]. 6

∴f(x)∈[b,3a+b], 又∵-5≤f(x)≤1, ∴b=-5,3a+b=1, 因此 a=2,b=-5. (2)由(1)得 a=2,b=-5, ∴f(x)=-4sin(2x+ π 2 π )-1, 6 7π π )-1=4sin(2x+ )-1, 6 6

g(x)=f(x+ )=-4sin(2x+
又由 lg[g(x)]>0,得 g(x)>1,

∴4sin(2x+ ∴sin(2x+ ∴2kπ+

π )-1>1, 6

π 1 )> , 6 2

π π 5π <2x+ <2kπ+ ,k∈Z, 6 6 6 π π π π <2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调递增,即 kπ<x≤kπ+ ,k∈Z, 6 6 2 6 π ],k∈Z. 6

其中当 2kπ+

∴g(x)的单调增区间为(kπ,kπ+ 又∵当 2kπ+ 即 kπ+

π π 5π <2x+ <2kπ+ ,k∈Z 时,g(x)单调递减, 2 6 6

π π <x<kπ+ ,k∈Z. 6 3 π π ,kπ+ ),k∈Z. 6 3 π π π ](k∈Z);递减区间为(kπ+ ,kπ+ )(k∈Z). 6 6 3

∴g(x)的单调减区间为(kπ+

综上,g(x)的递增区间为(kπ,kπ+

B级

知能提升 π )|,则下列关于函数 f(x)的说法中正确的是( 3

1.[2014·金版原创]设函数 f(x)=|sin(2x+ A.f(x)是偶函数 B.f(x)的最小正周期为 π C.f(x)的图象关于点(- π ,0)对称 6

)

π 7π D.f(x)在区间[ , ]上是增函数 3 12 π π π π π π π 解析:对于选项 A, 由于 f( )=|sin(2× + )|=0, 而 f(- )=|sin[2×(- )+ ]|=|sin 3 3 3 3 3 3 3 |= 3 π π ≠f( ), 所以 f(x)不是偶函数; 对于选项 B, 由于 f(x)=sin(2x+ )的周期为 π, 而 f(x)=|sin(2x 2 3 3

π π + )|的图象是将 f(x)=sin(2x+ )的 x 轴上方的图象保持不变, x 轴下方的图象关于 x 轴对称到上方去, 3 3 因此 f(x)=|sin(2x+ 于 f(x)=|sin(2x+ π 3 π π )|的周期为 f(x)=sin(2x+ )的周期的一半,故选项 B 不正确;对于选项 C,由 3 3

π )|的图象不是中心对称图形,因此也不正确;对于选项 D,由三角函数的性质可知, 3 π 3 π 2

f(x)=|sin(2x+ )|的单调递增区间是 kπ≤2x+ ≤kπ+ (k∈Z),即
π 7π 当 k=1 时,x∈[ , ],故选 D. 3 12 答案:D

kπ π
2 - 6

≤x≤

kπ π
2 +

(k∈Z), 12

2.已知函数 f(x)=sin(ωx+ 间为[kπ+

π 5π π )(ω>0)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ](k∈Z),单调递减区 3 12 12

π 7π ,kπ+ ](k∈Z),则 ω 的值为________. 12 12 7π 5π )-(kπ- )=π(k∈Z)得函数 f(x)的最小正周期为 π,则 ω=2. 12 12

解析:由(kπ+ 答案:2

3.已知函数 f(x)=sinx+ 3cosx(x∈R),函数 y=f(x+φ)(|φ|≤ 则 φ 的值为________. 解析:f(x)=2sin(x+ 函数. ∴ π π π +φ= +kπ,k∈Z,φ=kπ+ ,k∈Z, 3 2 6 π π ,∴φ= . 2 6

π )的图象关于直线 x=0 对称, 2

π π ),y=f(x+φ)=2sin(x+ +φ)的图象关于 x=0 对称,即 f(x+φ)为偶 3 3

又|φ|≤ 答案: π 6

4.[2014·天津一中模拟]已知函数 f(x)=2cosxsin(x+ (1)求函数 f(x)的单调递减区间;

π 2 )- 3sin x+sinxcosx. 3

(2)将函数 f(x)的图象沿 x 轴向右平移 m 个单位后的图象关于直线 x= 1 3 2 解:(1)f(x)=2cosx( sinx+ cosx)- 3sin x+sinxcosx 2 2 =sinxcosx+ 3cos x- 3sin x+sinxcosx =sin2x+ 3cos2x =2sin(2x+ 由 π ), 3
2 2

π 对称,求 m 的最小正值. 2

π π 3 +2kπ≤2x+ ≤2kπ+ π,k∈Z, 2 3 2 π 7 ≤x≤kπ+ π,k∈Z. 12 12

得 kπ+

π 7π 故函数 f(x)的单调递减区间为[kπ+ ,kπ+ ],k∈Z. 12 12 (2)y=2sin(2x+ ∵y=2sin(2x+ ∴2· π π )― →y=2sin(2x+ -2m), 3 3

π π -2m)的图象关于直线 x= 对称, 3 2

π π π + -2m=kπ+ (k∈Z), 2 3 2

1 5π 5 ∴m=- kπ+ (k∈Z),当 k=0 时,m 的最小正值为 π. 2 12 12


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