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2013年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛


中 等 数 学 

2 0 1 3 年全 国高中数学联赛甘肃赛区预赛 
中图 分 类 号 : G 4 2 4 . 7 9   文 献 标 识码 : A   文 章 编 号 :1 0 0 5— 6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 4— 0 0 3 4— 0 4  





填 空题 ( 每小题 6分 , 共6 O分)  

棱O A、 O B、 O C两两垂直 , 且长度均为 2 , E 、 F分别  是棱 A B、 A C的中点 , H是 线段  的 中点 , 过E F  

1 . 已知集合  A={  l   l  一 2   I < a } ,   B={  I   一2 x一3<0} .  

作平面与侧棱 O A 、 O B 、 O C或 其延 长线分 别交 于 

若 BC _ A, 则实数 a的取值 范围是

. 




点 A   、 日   、 c 。 . 若 0   = 吾 , 则 二 面 角 D — A   B   一 c  
.   的平面角 的正切值为—
. 


2 . 某程序框图如图 1 所示. 则输出的S =  

0  

阁1  

A  
C  

3 . 已知 四棱锥 P— A B C D的三视图如 图 2 所  示. 则 四棱 锥 P— A B C D的 四个 侧 面中 的最大 面 
积 是  .  





4 —— 

2  

3  

正视 图 

侧视图 
罔2  

俯视图 

9 . 已知抛物线 Y   =   ( p> 0 ) 的焦点为 F , A 、   为抛物线上 的两个 动点 , 且满足  A F B= 1 2 0 。 ,   过弦 A  的中点  作抛物线准线 的垂线 M N, 垂足  为Ⅳ . 则  的最大值为
. 
— —

4 . 已知函数  ) 对任意的  ∈ R, 均有 
2 ) =   则. 厂 ( 2   0 1 3 ) =   , 且  1 ) 一 2 .   .  

1 O . 设[  ] 表示不超过 实数  的最 大整数. 则 

5 . 七个颜 色不 同 的小球 放到编号 分别为 1 、  

2 、 3的三个 盒子 内. 已知各 盒子 内的小球数 不小  于其编号数. 则不 同的放法种数为  .  
、   6 . 在△ A B C中 , 已知 a 、 b 、 C分 别 是 
、  

[  

] = 一 .  

二、 解答题 ( 每小题 1 2分 , 共6 O分 )  

1 1 . 设  ) 是定 义在 [ 1 , +∞) 上 的增 函数 ,  
且关于  的不等式  / (  一 C O S  ) ≤ 乏 厂 ( k   + s i n戈 )   恒成立. 求实数 k 的取值范围.  
1 2 . 已知椭 圆 E:   +   =1 ( 0 >b > 0 ) 的一个 

c的对边 , 且a c + c   =6  一 a   . 若△ A B C  

最大边 的边 长 为  , 且 s i n   C= 2 s i n   A, 则△ A B C  
最小边 的边长为
.  
— —

7 . 把一根长为 7米 的铁丝 截下两段 ( 也可 直  接截成两段 ) , 使这两段 的长度之差不超 过 1 米.   若分别以这两段铁 丝 围成两个 圆 , 则 这两个 圆面 

积之和的最大值为 

平方米.  

焦 点 为 F 。 ( 一  , o ) , 且 过 点   f  ,   1 . 设 椭 圆 E  
的上 、 下顶 点分别 为 A   、 A : , P是 椭 圆上异 于 A   、  

8 . 如图3 , 已知 正三棱 锥 0一 A B C的三 条侧 

2 0 1 4年第 4期 

3 5  

A : 的任 一 点 , 直 线  。 、   : 分 别 与  轴 交 于点 


则  2   0 1 3 )=  2 5 1   X8+5 )=  5 )  
1  
= 一 一 =

Ⅳ . 若直线 O T 与过点  、 Ⅳ的oG相切 , 切点为  1 3 . 已知 函数  ) = 似( 0∈ R) , g (   ) = I n  .   ( 1 ) 若 函数 F (   )= - 厂 (   )一 g (  ) 有极值 1 , 求 

l  
— — .  



证 明: 线段 O T的长为定值 , 并求 出该定值.  

1 )   2‘  
5 . 4 5 5 .  

( 1 ) 1 、 2 、 3号盒子 内放的小球数分 别为 2 、 2 、  

n的值 ;   ( 2 ) 若 函数 G (  )= / ( s i n ( 1 一  ) )+ g (  ) 在  区间( 0 , 1 ) 上为增 函数 , 求 0的取值 范围 ;  
( 3 ) 证明 :  


3 , 则不同的放法有 c ; c ; = 2 1 0 种;  
( 2 ) 1 、 2 、 3号盒子 内放 的小球数 分别为 1 、 3 、  

3 , 则不同的放法有 c ; c   = 1 4 0 种;  
( 3 ) 1 、 2 、 3号盒子 内放 的小球数 分别为 1 、 2 、  

S i n  
l   I, c十 l   J  

n2 ?  

4 , 则不同的放法有 c 1 , c : = 1 0 5 种.  
于是 , 总共有 2 1 0 +1 4 0+1 0 5 = 4 5 5种.  
6 . 1 .  

l 4 . 已知 S   是数列 { 0   } 的前  项和 , 且 
4 S   = 3 a   + 2 ”   (   ∈ N) .  

求: ( 1 ) 口   与0   之 间的关系式 ;  

由口 c +c   :b  一 Ⅱ  
c 。 s   B= 一   Z  B=   .  

( 2 ) 使得数列 口 。 , Ⅱ  ? ? 递增的所有 0 。 的取值.  
1 5 . 已知 口 、 b 、 c 为正实数. 证明:  

V /  ̄ a 2 +3 b c



+ 

3 a b≥ 6 堑 + —  ̄ c 2 +


于是 , 最 长边为 b .  
又 s i n   C =2 s i n   A   c=2 a .  

.  

于是 , 0为最短边.  

参 考 答 案 
由题意知 A={  I 2 一 Ⅱ<  < 2+ 口 } ,  
B={  I 一1<  <3 } .  

由余弦定理得 

(   )   : 。 2 + 4  ̄ 2 - 2 a   x   2 a   x ( 一  
解得 Ⅱ =1 .  
7.   .  

又 BCA, 于是 , 2—0 ≤ 一1 , 且 3 ≤2+ 0 .  

故o ≥3 .  
2   一1 .  

设这两段 的长度分别 为  米 、 Y米. 则 、 Y满  足关系 
>0.   Y>0,   +y≤ 7,   l   一YI ≤1 .  

I s  志


 (   一   )  



一 1 .  

由图 2 , 易知 四棱锥的高为  , 四个 侧面 的面  积 分别为 2 , 5、 3 、 3 、 6 , 其最大值为 6 .  

该平 面 区域 为如 图  
4 所 示 的 阴影 部分 , 两 
/ , 一

J   l , 

\ 

‘  

圆的 面 积 之 和 为 S=  

4 . ÷.  


,  

1  

将其视 为 圆的方  | 0  1  

、 

、  /



 

7 \  
/  

注意到 ,  

程, 此圆经过 点  ( 4 , 3 )  
+ 4 ) =  
. 

/ 

+ 2+ 2 ) =  
1  
一   .  
‘  

或  ( 3 , 4 ) 时, J s 取 最 大 

图4  

2 二  



值  平方米?  
8 . 0 5。  

=  

+-  

于是 ,  

+ 8 ) =   ) .  

如图5 , 作O N上 A   B 。 于点 Ⅳ, 联结 C , N  

3 6  

中 等 数 学 

0  

I A B I   ≥ ÷( I A F I + I B F I ) 。  
1 

I AFI+ I BFI ≤ 

l A BI .  

因 此 ,   =  
C  

≤ 孚 , 当 且 仅 当  
卜o I = 0 .  

A F I =I B FI 时, 上述各式等号成立.  
1 0 . 2   01 3 .  

显 然   , 当   ≥  时 1 1 时 ,  【  I  

故  【  


】 =   1 0 【  

1   0 0 7 +5 0 3+2 5 2+ 1 2 6 +6 3+  
3 l+1 6 +8+4+2 +1  

因为 O C   上平面 O A   B   , 所以, 由三垂线定理 


知C   N上 A 1 B 1   .  

2   0 1 3 .  

故  O N C   为二面角 0- A   B   一 C 。 的平面角.  

二、 1 1 . 原不等式等价于 
f   一c o s Z x> I1
,  

作E M上 D B 。 于点 M. 则E M#O A .  
于是 ,  是 O  的中点. 从而 ,  
E  :0M = 1 .  

1 . j } 一 C O S 2 X ≤ I l }   + s i n  


-^

f   ≥l + c 0 s  ,  

① 

1  一   ≥ s i n  一 s ‘ 1 n  一 1 .  
由式①解得 ≥2 .  
=   .  

② 

设 0 B l :  .  
i  ̄ i . O   B 1  
朋  
:  

面  

因 为   i n 2 x - s i n   一   : ( s i n   x -   )   一 丢 ≤ , ,  
所 以, 由式②得 
¨ ≥o   ≤

在R t △O A   B 。 中, 有 
A。 口 :   :  2 .  

学或   ≥ 学 .  


故 O N:   O A 1 ? O Bl   3  
Al B。 一  

从而 ,   t2 > .   1 2 . 由题 意 得 


b 2   3- 3



+ 

所以’ f a n   o l v c t = O 丽 C 1 =  
.  



1 .  



解得 口  = 4, 6  :1 .  

9 . 鱼


7 1  



于 是 , 椭 圆 E 的 方 程 为 等 + y   = 1 .  
由此 , 知点 A 1 ( 0 , 1 ) , A 2 ( 0 , - 1 ) . 设  P ( x o , ) , 0 ) .  

依题意及抛物线 的定义知 
I A F I= 1 , 4 . 4 1   I , I BF I: I B Bl   I  

则l p A I - " y -1 :  
Y+l:   l e a:


,  
.  

I AF I 十I   BF I =I  

l +I BB】 I=2   I MN 

I MNl   l AFI+ I BFI  

I A B   I  

2   I AB   I  

令y = 0 , 分别得 
一  

注意到 , 在A A B F中 ,  
l A BI   :I AFI  +I BFI   一2I A FI   I BF I   C O 8   1 2 0。  

0  

0  
‘  

l A B   I 。: I A FI  + I BFI  + I AFI   I BFI  

f   I A FI +I B FI )  一I A FI   I B FI =l A BI   2 .  

故   伽 I   I O N I = I   Y o + 1 .   寿I  
又 等 + y 2 。 = l , 于 是 ,   2 。 = 4 ( 1 一   ) ?  

Y , I A FI  

l ≤  

, 则 

2 0 1 4年第 4期 

3 7  

从 而 , ? 0   - - 0 Ⅳ   - l  I   4 ?  
由切割线定理得 
OT  = I   O MI   I   ON I=4   j  I   OTI =2 .  

s i n ( 1 一   <l n   1
.  

令1 一  = t . 则当t ∈( 0 , 1 ) 时,  
s i n   t <   n   .  

1 3 . ( 1 ) 由题意知 
F (   ) = 口   一 I n  (  > 0 ) .  

又 对   ∈ z + , 有   {  ∈ ( 0 ,   ) , 于 是 ,  

故F   (  ) = a一  一 (  > 0 ) .  

( i ) 当a ≤0时 , F(  ) 在( O , +∞) 上单 调 递  减, 无极值.  
( i i ) 当 a> 0时 , F   (  ): 0   =一 1. 于是 ,  

s i n 南  
2.  

1 [ 
( 七+l 。 )  

.  

故   s i n 南 <  ? n  
1 4 . ( 1 ) 由题意得  4 S   : 3 a   + 2   ( n∈ Z+ ) .  

F ( x ) 在 ( o ,   ) 上 单 调 递 减 , 在 (   a , + ∞ ) 上 单 调  
递增.  

从而 , F (   ) 在 =   处有极小值 , 即 

题 给等式与上式相减得 
4 a  =3 a  一3 a   1+2  


F ( 丢 ) = - 一   n   一 ? n   = ?  口 =   .  
( 2 ) 注意到 , G (  )=a s i n ( 1 一  ) +I n  , 且 在 

a  :2  一3 a  




( n∈ Z+ ) .  

区间( 0 , 1 ) 上 为增 函数.   于是 , 对  ∈( 0 , 1 ) , 均有 
G   (  ) =一 a c o s ( 1 一  )+  一 ≥0 .  

( 2 ) 由( 1 ) 知两边 同除以 2   得 
an
= 一  



an



× 



+l  

j  

因为  ∈( 0 , 1 ) , 所以, C O S ( 1 一  )> 0 .  

当a ≤O时 , 显然 ,  
G   (  ) =一 a c o s ( 1 一  )+  一 ≥O .  

号= 一 号 (  一   )   ( 一 寻 )   (   一   )  
一   =

当 a> 0时 ,  
G   (  ) =一 a c o s ( 1 一  )+1 - - - >0 I  

=   n   = 2   [   + ( 一 寻 )   ( 口 。 一 詈 ) 】  


c 一 3   ( 口 。 一   ) + 2   ×  .  

甘 —   X C O S ( 1 一  .  
设h ( x )= X C O S ( 1 一  ) .   显然 , h (  )=  c o s ( 1一 戈 ) 在  ∈( 0 , 1 ) 上单  调递 增.   从而 , h (  ) < h ( 1 ) = 1 .   由   ≥1   0< 口 ≤1 .  

故a   + 1 一 a  




号 ) [ ( 一 3 )   + l 一 ( 一 3 )   ] + 詈 ( 2 “ + l 一 2   )   ( 一 3 )   ( 口 。 一 詈 ) × ( 一 4 ) +   × 2   .  
ao 一


若  > 了 2 则对充分大 的偶数 凡有 
a +1< a  ;  

综上 , a∈( 一∞, 1 ] .  
( 3 ) 由( 2 ) , 知当 a =1 时,   G (  ) = s i n ( 1 一  ) + I n戈   在 区间( 0 , 1 ) 上为增 函数.   所 以, 当  ∈( 0 , 1 ) 时,  
G ( 戈 )= s i n ( 1 一  ) +I n 戈< G ( 1 ) = 0  

若。 。 <   , 则对充分大 的奇数 n有 
an+ 1 < an .  

综上 ,   =   .  
1 5 . 注意到 .  

3 8  

中 等 数 学 

2 0 1   3 年全国高中数学联赛江 西赛 区预赛 
中图 分 类 号 : G 4 2 4 . 7 9   文 献 标 识 码 :A   文 章 编 号 :1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 4 ) 0 4— 0 0 3 8— 0 4  





填空题( 每小题 8 分, 共6 4分 )  

绝对值 为 1 . 则满足条件 的排列个数为 
二、 解答题 ( 共8 6分)  

.  

1 . 若2   0 1 3的每个素因子均为某个 正整数等  差数列 { 0   } 中的项 , 则0   。 。 。 的最大值是

. 
— —

9 . ( 2 0分 ) 设 抛 物线 Y   = 2 p x ( P> 0 ) 与直线  + Y =1 交 于点 A 、   . 若  _ l _ O B , 求抛 物线 方程 
及 △  的 面积 .  

2 . 若。 、 6 、 c > 0 , 1 一 +   2 一 + 三 :1贝 0   n + 2 b + 3 c  
的最 小值 为  .  

1 O . ( 2 O分 ) 如图 1 , 在 四边 形 A B C D中, 已知  F分别是边 A D、 B C的 中点 , P是对角线 B D上  一   ] , 则   E、 的一点 , 直线 E P 、 P F分别 与 A B、 D C的延长线 交 

3 . 若  = n ! 【  +   2 + … + 南
S 2   0 l 3  
— —

. 

于点  、 Ⅳ . 证明 : 线段 M N被直线 E F所平分.  

4 . 若正方体 X与正四面体 y的表 面积相 等 ,  

则其体积之 比  :  
5 . 若椭 圆中心到焦点 、 长轴端点 、 短轴端点及  准线的距离均为正整数 , 则 这 四个距离之 和 的最 
小值为  .  

6 . 函数 f (  )=  

一 6+ , / 3一  的值 域 为 

I 冬 I   l  

1 1 . ( 2 0分 ) 在非钝角△ A B C中, 证明:   7 . 已知合数 k ( 1 < k <1 0 0 ) . 若 k的数 字和为 
s i n   A +s i n   B +s i n   C >2 .  

素数 , 则称 合数 k为 “ 山寨 素数” . 这种 山寨 素数 
的个数为  .  

1 2 . ( 2 6分 ) 问: 是否存在这 样 的正 整数数列 

{ 口   } , 满足 0   。  = 2   0 1 3 , 且 对每个 k∈ { 2 , 3 , …,  
2   0 1 3 } , 均有 1   0   一 口   I = 2 0或 1 3 ; 而其 各项 血   ,  

8 . 将集合 { 1 , 2 , …, 8 } 中的元 素作全排列 , 使  得除了最左端的一个数 之外 , 对 于其余 的每个 数 
n , 在 n的左边某个位置上总有一个数与  之差 的 

口   , …, 。   。 。   的值 恰构 成 1 , 2 , …, 2   0 1 3的一 个排 
列 ?证 明你的结论.  

: ±   :   : ±  ±  ±  

故 巫


+ 巫
h  

+ 巫

≥ 



:  雯

. 



+  
/ 8 / _ = 瓦  i 
a b c  

+ — 2  ̄ / 0 ,   3 b 3 C 2  
: 6 .  
f 傅  廪 槔供 )  

腿竿+ D   3 a c ≥ 2  ̄   D   2  ̄ 三 3 ,  


t > 2 × 3/  

/ c 五 2 +   3 a b ≥ — 2  ̄   3 C 2
. 


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