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2014高考导数必做压轴题


2013 年高考数学导数压轴题精练
1.已知函数 f ( x) ? x2 ? ln x ? ax . (1)若 f ? x ? 在 (0,1) 上是增函数,求 a 得取值范围; (2)在(1)的结论下,设 g ( x) ? e2 x ? | e x ? a | , x ?[0, ln 3] ,求函数 g ( x) 的最小值.

2.已知对任意 m ?

R ,直线 x ? y ? m ? 0 都不是 f ( x) ? x3 ? 3ax(a ? R) 的切线. (I)求 a 的取值范围; (II)求证在 x ? [?1,1] 上至少存在一个 x 0 ,使得 | f ( x0 ) |?
2 3.设函数 f ( x) ? x ? 2 ? ?1? ln x k

1 成立. 4

?k ? N ? ? .

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ) 设函数 g ? x ? ? 2bx ?

1 在 ?0,1? 上是增函数, 且对于 ?0,1? 内的任意实数 x1 , x2 当 k 为 x2

偶数时,恒有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求实数 b 的取值范围; 4.已知函数 f(x)=x-ln(x+a). (a 是常数) (I)求函数 f(x)的单调区间; 1 (II) 当 y ? f ( x) 在 x=1 处取得极值时,若关于 x 的方程 f(x)+2x=x2+b 在[ ,2]上恰 2 有两个不相等的实数根,求实数 b 的取值范围; (III)求证:当 n ? 2, n ? N + 时 ?1 ?

? ?

1 ?? 1? ? 1? 1 ? 2 ?...... ?1 ? 2 ? ? e . 2 ?? 2 ?? 3 ? ? n ?

5.已知函数 f ( x) ? ( x ? ax ? a)e , ( a 为常数) .
2

?x

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在 x ? 0 时取得极小值,试确定 a 的取值范围;
1

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设由 f ( x) 的极大值构成的函数为 g ( x) ,试判断曲线 g ( x) 只可能与直线 2 x ? 3 y ? m ? 0 、 3x ? 2 y ? n ? 0 ( m , n 为确定的常数)中的哪一条 相切,并说明理由.

6. 已知定义在正实数集上的函数 f ( x) ? x2 ? 4ax ? 1 , g ( x) ? 6a2 ln x ? 2b ? 1 ,其中

a ? 0. (Ⅰ)设两曲线 y ? f ( x) , y ? g ( x) 有公共点,且在该点处的切线相同,用 a
表示 b ,并求 b 的最大值; (Ⅱ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,证明:若 a ? 3 ? 1 ,则对 任意 x1 , x2 ? (0, ??) , x1 ? x2 有

h( x2 ) ? h( x1 ) ?8. x2 ? x1

7.已知对任意的 x ? 0 恒有 a1nx ? b( x ? 1) 成立。 (1)求正数 a 与 b 的关系; (2)若 a ? 1, 设f ( x) ? m x ? n, (m, n ? R),若 1nx ? f ( x) ? b( x ? 1) 对 ?x ? 0 恒成立,求函数 f ( x) 的解析式;

8.设函数 f ( x) ? x ? m ln x , g ( x) ? x ? x ? a .
2 2

⑴当 a ? 0 时, f ( x) …g ( x) 在 (1, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围; ⑵当 m ? 2 时,若函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 在 [1,3] 上恰有两个不同零点,求实数 a 取 值范围; ⑶是否存在实数 m ,使函数 f ( x) 和 g ( x) 在其公共定义域上具有相同的单调性,若存 在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

x2 , g ( x) ? 2a ln x(e 为自然对数的底数) 9.已知函数 f ( x) ? e
2

(1)求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间,若 F ( x ) 有最值,请求出最值; (2)是否存在正常数 a ,使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点,且在该公共点 处有共同的切线?若存在,求出 a 的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存 在,请说明理由。

10.已知函数 f ( x) ? ? x2 ? ax ? ln x ( a ? R ) . (1)当 a ? 3 时,求函数 f ( x) 在 ? , 2 ? 上的最大值和最小值; 2 (2)当函数 f ( x) 在 ?

?1 ?

? ?

?1 ? , 2 ? 单调时,求 a 的取值范围; ?2 ?

(3)求函数 f ( x) 既有极大值又有极小值的充要条件。

11.设函数 f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? a x .
2 2

(I)当 a ? ?1 时, 求函数y ? f ( x) 图像上的点到直线 x ? y ? 3 ? 0 距离的最小值; (II)是否存在正实数 a,使 f ( x) ? g ( x) 对一切正实数 x 都成立?若存在,求出 a 的 取值范围;若不存在,请说明理由.

12.已知 a ? R,函数f ( x) ? x 2 ? 2a ln x.

时, 求f ( x) 的单调区间和最值; (Ⅰ) 当a ? 1
(Ⅱ)若 a ? 0, 试证明 :"方程 f ( x) ? 2ax有唯一解 "的充要条件是 " a ?

1 ". 2

13.已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x ? 2) ? f ( x) ? 0 ,

3

当 x ? ?0,2? 时, f ( x) ? ln x ? ax ? a ? ? ? ,当 x ? ?? 4,?2? 时, f ( x) 的最大值为-4. (I)求实数 a 的值; (II)设 b ? 0 ,函数 g ( x) ?

? ?

1? 2?

1 3 bx ? bx , x ? ?1,2? .若对任意的 x1 ? ?1,2? , 3

总存在 x2 ? ?1,2? ,使 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 ,求实数 b 的取值范围.

14.已知函数 f ( x) ? ?a 2 x 2 ? ax ? ln x (a∈R) 。 (I)我们称使 f ( x) =0 成立的 x 为函数的零点。证明:当 a=1 时,函数 f ( x) 只有一个 零点; (II)若函数 f ( x) 在区间(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围。

15.定义: F ( x, y ) ? xy ? ln x, x ? (0,?? ), y ? R, , f ( x) ? F ( x, ) (其中 a ? 0 ) 。 (1)求 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) ? ?

x a

1 恒成立,试求实数 a 的取值范围; 2

16.已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x(a ? 0). 2

(1)若函数 f ( x ) 在定义域内单调递增,求 a 的取值范围; (2)若 a ? ?

1 1 且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 ?1, 4? 上恰有两个不相等的实数根, 2 2

求实数 b 的取值范围; (3)设各项为正的数列 {an } 满足: a1 ? 1, an?1 ? ln an ? an ? 2, n ? N *. 求证: an ? 2 ? 1
n

2011 年宁夏理科数学压轴题
4

(21) (本小题满分 12 分) 已 知 函 数 f ( x) ?

a ln x b ? , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1,f ( 1) )的切线方程为 处 x ?1 x

x ? 2y ? 3 ? 0 。
(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x ) ?

ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

2010 年宁夏理科数学压轴题
(21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e ? 1 ? x ? ax 。
x 2

(1) 若 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围 命题意图:本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范 围问题,考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.

2009 年宁夏理科数学压轴题
(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2 ?x

(I) (II)

如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x ) 的单调区间; 若 f ( x ) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明

? ? ? <6.

w.w.w. k.s. 5.u.c.o.m

2008 年宁夏理科数学压轴题
5

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ax ?

1 (a,b ? Z) , 曲线 y ? f ( x) 在点 (2,f (2)) 处的切线方程为 y=3. x?b

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式: (Ⅱ)证明:函数 y ? f ( x) 的图像是一个中心对称图形,并求其对称中心; (Ⅲ) 证明: 曲线 y ? f ( x) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定 值,并求出此定值.

2007 年宁夏理科数学压轴题
21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln( x ? a) ? x2 (I)若当 x ? ?1 时, f ( x ) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x ) 的单调性; (II)若 f ( x ) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln 1 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 3x 在 x ? ?1 处取得极值。
3 2

e . 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求证:对于区间 [ ?1,1] 上任意两个自变量的值 x1 , x2 ,都有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 4 ; (Ⅲ)若过点 A(1, m) 可作曲线 y ? f ( x) 的三条切线,求实数 m 的取值范围。

2 设 g ( x0 ) ? 2 x0 ? 3x0 ? m ? 3,则 g ?( x0 ) ? gx0 ? 6x0 ,知函数
3 2
2

f ( x) ? ln x ?

a , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 6 ln x ,其中 a ?R . x

(Ⅰ)讨论 f ( x) 的单调性; (Ⅱ)若 g ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围;

6

(Ⅲ)设函数 h( x) 有

? x 2 ? mx ? 4 , 当 a ? 2 时,若 ?x1 ? (0,1) , ?x2 ?[1,2] ,总

g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

3.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 , (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) * ? ? ?? ? (n? N 且n ?1) 3 4 5 n ?1 4

22.(15 分)设函数 f ( x) = ln x - px + 1 (Ⅰ)讨论函数 f ( x) 的极值点; (Ⅱ)若 对任意的 x ? 0 ,恒有 f ( x) ? 0 ,求 p 的取值范围; (Ⅲ)证明:

ln 2 ln 3 ln n 2n2 ? n ? 1 ? ? ? ? ? (n ? N , n ? 2). 22 32 n2 4(n ? 1)

5. (本小题满分 14 分) 已知点 P ( t , y )在函数 f ( x ) = 0 ). (1) 求证:| ac | ? 4; (2) 求证:在(–1,+∞)上 f ( x )单调递增. (3) (仅理科做)求证:f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1. 8. (本小题满分 14 分)

x (x ? –1)的图象上,且有 t2 – c2at + 4c2 = 0 ( c ? x ?1

7

设函数 f ( x ) ?

1? x ? ln x 在 [1,??) 上是增函数. ax
1 a?b a?b ? ln ? . a?b b b

(1) 求正实数 a 的取值范围; (2) 设 b ? 0, a ? 1 ,求证:

15. (本小题满分 14 分,第一小问满分 4 分,第二小问满分 10 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? x 2 | x ? a | . (Ⅰ)当 a ? 2 时,求使 f ( x ) ? x 成立的 x 的集合;
2] 上的最小值. (Ⅱ)求函数 y ? f ( x ) 在区间 [1,

17. 本小题满分 12 分) 函数 y ? f ( x) 在区间(0,+∞)内可导,导函数 f ?( x) 是减函数,且 f ?( x) ? 0. 设

x0 ? (0,??), y ? kx ? m 是曲线 y ? f ( x) 在点( x0 , f ( x0 ) )得的切线方程,并设函数
g ( x) ? kx ? m.
(Ⅰ)用 x0 、 f ( x0 ) 、 f ?( x0 ) 表示 m; (Ⅱ)证明:当 x0 ? (0,??)时, g ( x) ? f ( x) ;

3 (Ⅲ)若关于 x 的不等式 x ? 1 ? ax ? b ? x 3 在[0,??) 上恒成立,其中 a、b 为实 2
2

2

数, 求 b 的取值范围及 a 与 b 所满足的关系. 23. 已知函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的图象关于原点对称,且 f ? x ? ? x2 ? 2x . (Ⅰ)求函数 g ? x ? 的解析式;

8

(Ⅱ)解不等式 g ? x ? ? f ? x ? ? x ? 1 ; (Ⅲ)若 h ? x ? ? g ? x ? ? ? f ? x ? ? 1 在 ? ?1,1? 上是增函数,求实数 ? 的取值范围.

ex f ( x) ? 1 ? ax ,其中 a 为正实数 40. 设
(Ⅰ )当 a

?

4 3 时,求 f ( x) 的极值点;

(Ⅱ )若 f ( x) 为 R 上的单调函数,求 a 的取值范围。
x 2 k 41. 已知函数 f ( x) ? ( x ? k ) e .

(1)求 f ( x) 的单调区间;

(2)若对 ?x ? (0 , ? ?) ,都有 42. 已知函数 (II)求

f ( x) ?

1 e ,求 k 的取值范围。

f ? x ? ? ? x ? k ? ex
在区间

, (I)求

f ? x?

的单调区间;

f ? x?

?0,1? 上的最小值。
2

43. 设 a ? 0 ,讨论函数 f ( x) ? ln x ? a(1 ? a) x ? 2(1 ? a) x 的单调性.

() x? x? 2 a x? b x ? a ( )? x? 3 x ? 2 44. 设函数 f , gx ,其中 x ? R ,a、b 为常数,
3 2 2

已知曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在点(2,0)处有相同的切线 l 。 (I) 求 a、b 的值,并写出切线 l 的方程;

x ? x2 x x x ) ? gx ( )? m x (II)若方程 f( 有三个互不相同的实根 0、 1 、 2 ,其中 1 ,且对任意


x??x 1, x 2?

() x ? g () x ? m ( x ? 1 ) ,f 恒成立,求实数 m 的取值范围。

9

f ( x) ? x ?
45. 设函数

1 ? a ln x(a ? R ). x

(I)讨论 f ( x) 的单调性;

x 和x2 , A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )) 的直线的斜率为 k , (II) 若 f ( x) 有两个极值点 1 记过点
问:是否存在 a ,使得 k ? 2 ? a ? 若存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由.

1 1 f ( x) ? ? x 3 ? x 2 ? 2ax 3 2 46.设 . 2 ( ,?? ) f ( x ) (1)若 在 3 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 16 (2)当 0 ? a ? 2 时, f ( x) 在 [1,4] 上的最小值为 3 ,求 f ( x) 在该区间上的最大值. ?

2 47. 已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (2 ? a) x . (I)讨论 f ( x) 的单调性;

(II)设 a ? 0 ,证明:当

0? x?

1 1 1 f ( ? x) ? f ( ? x) a 时, a a ;

(III)若函数 y ? f ( x) 的图像与 x 轴交于 A,B 两点,线段 AB 中点的横坐标为 x0,证明:

f ? (x0)<0.

48. 设函数 f ( x) =x+ax2+blnx,曲线 y= f ( x) 过 P(1,0) ,且在 P 点处的切斜线率为 2. (I)求 a,b 的值; (II)证明: f ( x) ≤2x-2.

10

f ( x) ?
49. 已 知 函 数

a ln x b ? ))的切线方程为 x ? 1 x , 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( 1 ,f ( 1 处

x ? 2y ? 3 ? 0 。
(Ⅰ )求 a 、 b 的值;

(Ⅱ )如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, 50.设函数

f ( x) ?

ln x k ? x ? 1 x ,求 k 的取值范围。

f? x ? ? x ? e x ? 1? ? ax 2

1 f (Ⅰ )若 a= 2 ,求 ? x ? 的单调区间;

f (Ⅱ )若当 x ≥0 时 ? x ? ≥0,求 a 的取值范围
51.已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? (3 ? 6a) x ? 12a ? 4(a ? R)
3 2

(Ⅰ )证明:曲线 y ? f ( x)在x ? 0 的切线过点(2, 2); (Ⅱ )若

f ( x)在x ? x0处取得极小值,x0 ? (1,3) ,求 a 的取值范围。
1 x , g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) .

52. 设函数 f ( x) 定义在 (0, ??) 上, f (1) ? 0 ,导函数 (1)求 g ( x) 的单调区间和最小值;

f ?( x) ?

1 g( ) (2)讨论 g ( x) 与 x 的大小关系;

x ? 0 ,使得 (3)是否存在 0

| g ( x) ? g ( x0 ) |?

1 x 对任意 x ? 0 成立?若存在,求出 x0 的取

值范围;若不存在,请说明理由.

11

? 53. 设 f ( x) ? ln x , g ( x) ? f ( x) ? f ( x) .
(1)求 g ( x) 的单调区间和最小值;

(2)讨论 g ( x) 与

1 g( ) x 的大小关系;

1 (3)求 a 的取值范围,使得 g (a) ? g ( x) < a 对任意 x >0 成立.
54. 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a , b 满足 a ? b ? 0
x x

(1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 a ? b ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围. 55. 已知函数 f ( x) ? a ? 2 ? b ? 3 ,其中常数 a , b 满足 a ? b ? 0
x x

(1)若 a ? b ? 0 ,判断函数 f ( x ) 的单调性; (2)若 a ? b ? 0 ,求 f ( x ? 1) ? f ( x) 时的 x 的取值范围. 56. 已知函数 (Ⅰ )求函数

f ? x ? ? xe? x ? x ? R ?
f ? x?



的单调区间和极值; 的图象与函数

(Ⅱ ) 已知函数 直线 x ? 1

y ? g ? x?

y ? f ? x?

的图象关于

对称.证明当 x ? 1 时, (Ⅲ )如果

f ? x? ? g ? x?



x1 ? x2 ,且 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,证明 x1 ? x2 ? 2 .

12

57. 已知函数

f ? x ? ? ax 3 ?

3 2 x ?1 x ?R ? ? ,其中 a ? 0 . 2

y ? f ? x? 2, f ? 2? (Ⅰ )若 a ? 1 ,求曲线 在点 处的切线方程;
? 1 1? ? , ? ? 2 2 ? 上, f ? x ? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围. ? (Ⅱ )若在区间

?

?

58. 设函数 f ( x) ? a ln x ? x ? ax , a ? 0
2 2

(Ⅰ )求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ )求所有实数 a ,使 e ? 1 ? f ( x) ? e 对 x ? [1, e] 恒成立.
2

注: e 为自然对数的底数.

? ) ? ?a , f '( ? )? ? b, 其 中 常 数 59. 设 f ( x) ? x ? ax ? bx ?? 的 导 数 f '(x )满 足 f '(
a, b ? R 。
(Ⅰ )求曲线 y ? f ( x) 在点 (?, f (?)) 处的切线方程; (Ⅱ ) 设 g ( x) ? f '( x)e ,求函数 g ( x) 的极值。 60. 设 的导数为 ,若函数 的图象关于直线
?x

?

?

对称,且

.](Ⅰ )求实数 , 的值;(Ⅱ )求函数

的极值

【理·2010 全国卷一第 20 题】已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) ln x ? x ? 1 . (Ⅰ)若 xf '( x) ? x ? ax ? 1 ,求 a 的取值范围;
2

(Ⅱ)证明: ( x ? 1) f ( x) ? 0

13

【理·2010 全国卷三第 21 题】设函数 f ? x ? ? ex ?1 ? x ? ax2 。 (Ⅰ)若 a ? 0 ,求 f ? x ? 的单调区间; (Ⅱ)若当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 。求 a 的取值范围。 【理·2010 安徽卷第 17 题】设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ex ? 2x ? 2a, x ? R 。 (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a > ln 2 ? 1 且 x > 0 时, e > x ? 2ax ? 1 。
x 2

14


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