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2013届高三江苏专版数学一轮复习课时作业(48)圆锥曲线的综合问题)


课时作业(四十八) [第 48 讲

圆锥曲线的综合问题]

[时间:45 分钟 分值:100 分]

x2 1.若抛物线 y2=2px 的焦点与双曲线 -y2=1 的右焦点重合,则 p 的值为________. 3 2 2.抛物线 y=-x 上的点到直线 4x+3y-8=0 距离的最小值是________. 3.以椭圆

上任意一点与焦点所连接的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系 是________. x2 y2 4.方程 2+ =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 m 的取值范围是________. m ?m-1?2 能力提升 5.曲线 y2-ky=x+k+1 经过 y 轴上的一定点,这个定点是________. x2 y2 6.对于曲线 C: + =1,给出下面四个命题: 4-k k-1 ①曲线 C 不可能表示椭圆; ②当 1<k<4 时,曲线 C 表示椭圆; ③若曲线 C 表示双曲线,则 k<1 或 k>4; 5 ④若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<k< . 2 其中所有正确命题的序号为________. x2 y2 7.[2011· 南通模拟] 以椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F(-c,0)为圆心,c 为半径的圆 a b 与椭圆的左准线交于不同的两点,则该椭圆的离心率的取值范围是________. 1 x2 y2 8.[2011· 淮南一模] 抛物线 x= y2 的准线与双曲线 - =1 的右准线重合,则 m 的 m 12 4 值是________. 9.[2011· 常州模拟] 若直线 mx+ny=4 和圆 O:x2+y2=4 没有交点,则过点(m,n)的 2 x y2 直线与椭圆 + =1 的交点个数为________. 5 4 x2 y2 10.[2011· 江南十校联考] 设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左右焦点,P 为椭圆上任 25 16 一点,点 M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为________. x2 y2 11.[2011· 常州一模] 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦 a b 点到一条渐近线 l 的距离为 4,若渐近线 l 恰好是曲线 y=x3-3x2+2x 在原点处的切线,则 双曲线的标准方程为________. x2 y2 6 12.[2010· 苏北四市模拟] 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率是 ,过椭圆上一点 M a b 3 作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B 两点,且斜率分别为 k1,k2.若点 A,B 关于原点对称,则 k1· k2 的值为________. x2 y2 13.(8 分)[2011· 常州调研] 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的右 a b 焦点为 F(4m,0)(m>0,m 为常数),离心率等于 0.8,过焦点 F 且倾斜角为 θ 的直线 l 交椭圆 C 于 M、N 两点. (1)求椭圆 C 的标准方程; 1 1 5 2 (2)若 θ=90° 时, + = ,求实数 m 的值. MF NF 9

基础热身

图 K48-1

x2 y2 y2 x2 14.(8 分)已知半椭圆 2+ 2=1(x≥0)(焦点为 F0)与半椭圆 2+ 2=1(x≤0)(相应椭圆的 a b b c 左右焦点为 F1,F2)组成的曲线称为“果圆”,其中 a2=b2+c2,a>b>c>0. (1)若△F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)设 A1,A2 为“果圆”在 x 轴上的端点,B1,B2 为“果圆”在 y 轴上的端点,若 b |A1A2|>|B1B2|,求 的取值范围. a

15.(12 分)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,它的一个顶点恰好是抛物线 x2 2 5 =4y 的焦点,离心率为 . 5 (1)求椭圆 C 的标准方程; → → → (2)P 为椭圆 C 上一点,弦 PA,PB 分别过椭圆 C 的左右焦点 F1,F2,PF1=λ1F1A,PF2 → =λ2F2B.证明:λ1+λ2 为定值.

x2 16.(12 分)[2011· 深圳一模] 已知点 F 是椭圆 +y2=1(a>0)的右焦点,点 M(m,0)、 1+a2 → → → → → N(0,n)分别是 x 轴、y 轴上的动点,且满足MN· NF=0.若点 P 满足OM=2ON+PO,O 为原 点. (1)求点 P 的轨迹 C 的方程;

(2)设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹交于 A、B 两点,直线 OA、OB 与直线 x=-a 分 →→ 别交于点 S、T(O 为坐标原点),试判断FS· FT是否为定值?若是,求出这个定值;若不是, 请说明理由.

课时作业(四十八) 【基础热身】 1.4 p ? x2 2 [解析] 由双曲线 -y =1 的右焦点是(2,0),抛物线 y2=2px 的焦点是? ?2,0?,故 3

p =2,p=4. 2 4 2. [解析] 设抛物线 y=-x2 上一点为(m,-m2),该点到直线 4x+3y-8=0 的距离为 3 |4m-3m2-8| 2 4 ,当 m= 时,取得最小值为 . 5 3 3 3.内切 [解析] 设线段是 PF1,O1 是线段 PF1 的中点,连接 O1O,PF2,其中 O 是椭 圆的中心,F2 是椭圆的另一个焦点,则在△PF1F2 中,由三角形中位线定理可知,两圆的连 1 1 1 心线的长是|OO1|= |PF2|= (2a-|PF1|)=a- |PF1|=R-r. 2 2 2 1 4.m< 且 m≠0 [解析] 首先 m≠0,m≠1,根据已知,m2<(m-1)2,即 m2-(m2-2m 2 +1)<0, 1 1 解得 m< ,所以实数 m 的取值范围是 m< 且 m≠0. 2 2 【能力提升】 5.(0,-1) [解析] 令 x=0,得 y2-ky-k-1=0,解得 y=-1 或 y=k+1,∴定点是 (0,-1). 4-k>0, ? ? 6.③④ [解析] 根据椭圆和双曲线的定义,可得当?k-1>0, ? ?4-k≠k-1, k<4, ? ?k>1, 即? 5 ? ?k≠2

时,

表示椭圆;当 k<1 或 k>4 时,表示双曲线. a2 c2 1 1 2 2 7.? ,1? [解析] 依题意可知 -c<c?a2<2c2? 2> ?e2> ,所以 e> .又 0<e<1,所 c a 2 2 2 2 ? ? 2 以椭圆的离心率的取值范围为? ,1?. ?2 ? x2 y2 a2 12 8.-12 [解析] 双曲线 - =1 的右准线为 x= = =3,所以抛物线 y2=mx 的开 12 4 c 4 m 口向左,- =3,m=-12. 4 4 9.2 [解析] 因直线与圆没有公共点,所以圆心到直线的距离 >2?m2+n2<4, 2 m +n2 可以判断出点(m,n)在椭圆的内部,故过点(m,n)的直线与椭圆的交点个数为 2. 10.15 [解析] |PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|,|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2| 易知 M 点在椭圆外,连接 MF2,并延长交椭圆于 P 点,此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|. x2 y2 11. - =1 [解析] 依题意,由 y=x3-3x2+2x,可得 y′=3x2-6x+2,所以在原点 4 16 b 处的切线斜率为 k=y′|x=0 =2.又双曲线渐近线方程为:y=± x, a b 所以 =2,且渐近线方程为:y=2x. a 2c 设双曲线其中一个焦点为 F(c,0),d= =4?c=2 5, 5 c2=a2+b2=a2+4a2=20?a2=4,所以 b2=16, x2 y2 从而双曲线的标准方程为 - =1. 4 16

y1-y0 -y1-y0 1 12.- [解析] 设 M(x0,y0),A(x1,y1),则 B(-x1,-y1),从而 k1k2= · 3 x1-x0 -x1-x0 2 y1 -y2 0 = 2 2. x1-x0



? ?x y ?a +b =1,
2 1 2 2 1 2

x2 y2 0 0 + =1, a2 b2

2 2 2 x2 0-x1 y1-y0 两式相减得: 2 = 2 , a b

b2 6 故 k1· k2=- 2.又 e= , a 3 b2 1 1 所以 2= ,故 k1· k2=- . a 3 3 c 4 13.[解答] (1)∵c=4m,椭圆离心率 e= = , a 5 ∴a=5m,b=3m. x2 y2 ∴椭圆 C 的标准方程为 + =1. 25m2 9m2 2 2 x y (2)在椭圆方程 + =1 中, 25m2 9m2 9m 令 x=4m,解得 y=± , 5 9m ∵当 θ=90° 时,直线 MN⊥x 轴,此时 FM=FN= . 5 1 1 10 ∴ + = , MF NF 9m 1 1 5 2 10 5 2 ∵ + = ,∴ = ,解得 m= 2. MF NF 9 9m 9 14.[解答] (1)∵F0(c,0),F1(0,- b2-c2), F2(0, b2-c2), ∴|F0F1|= ?b2-c2?+c2=b=1, |F1F2|=2 b2-c2=1, 3 7 于是 c2= ,a2=b2+c2= , 4 4 所求“果圆”方程为 4 2 2 4 x +y =1(x≥0),y2+ x2=1(x≤0). 7 3 (2)由题意,得 a+c>2b,即 a2-b2>2b-a. b 4 ∵(2b)2>b2+c2,∴a2-b2>(2b-a)2,得 < . a 5 2 b 1 又 b2>c2=a2-b2,∴ 2> . a 2 b ? 2 4? ∴ ∈ . a ? 2 ,5? x2 y2 15.[解答] (1)设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0), a b 则由题意知 b=1. 2 5 由离心率为 , 5 a2-b2 2 5 1 2 5 ∴ = ,即 1- 2= ,∴a2=5. a2 5 a 5

y0 x2 ①当 PA,PB 都不与 x 轴垂直且 y0≠0 时,设 lPB:y= (x-2),代入方程 +y2=1, 5 x0-2 消去 x,得 2 2 [(x0-2)2+5y2 0]y +4y0(x0-2)y-y0=0, -y2 0 故有 y0y2= , ?x0-2?2+5y2 0 -y0 所以 y2= , ?x0-2?2+5y2 0 y0 从而 λ2=- =(x0-2)2+5y2 0; y2 y0 同理可得 λ1=- =(x0+2)2+5y2 0. y1 2 2 所以 λ1+λ2=[(x0+2)2+5y2 0]+[(x0-2) +5y0] 2 2 =2(x0+5y0)+8. x2 x2 0 又点 P(x0,y0)在椭圆 +y2=1 上,所以 +y2 0=1, 5 5 2 即 x2 0+5y0=5. 故 λ1+λ2=18. ②当 PA 或 PB 与 x 轴垂直或 y0=0 时, 也易得 λ1+λ2=18. 故 λ1+λ2 恒为 18. x2 16.[解答] (1)∵椭圆 +y2=1(a>0),右焦点 F 的坐标为(a,0), 1+a2 → ∴NF=(a,-n). → ∵MN=(-m,n), → → ∴由MN· NF,得 n2+am=0. → → → 设点 P 的坐标为(x,y),由OM=2ON+PO, 得(m,0)=2(0,n)+(-x,-y), m=-x, ? ? ? y 代入 n2+am=0,得 y2=4ax(a>0). n = , ? ? 2 (2)(法一)设直线 AB 的方程为 x=ty+a, y2 y2 1 2 ? ? ? , y A?4a 1?、B?4a,y2? ?, 4a 4a 则 lOA:y= x,lOB:y= x. y1 y2

x2 ∴椭圆 C 的标准方程为 +y2=1. 5 (2)设 P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2), 易知 F1(-2,0),F2(2,0). → → ∵PF1=λ1F1A,∴(-2-x0,-y0)=λ1(x1+2,y1). y0 ∴λ1=- . y1 → → 又PF2=λ2F2B, y0 ∴(2-x0,-y0)=λ2(x2-2,y2),∴λ2=- . y2

4a ? ?y= y x, 4a2? 4a2? ? ? 1 - a ,- - a ,- 由? 得 S? y1 ?,同理得 T? y2 ?. ? ?x=-a, 4a2? → ? 4a2? → ? - 2 a ,- - 2 a ,- ∴FS=? y1 ?,FT=? y2 ?, 16a4 →→ 则FS· FT=4a2+ . y1y2 ?x=ty+a, ? 由? 2 得 y2-4aty-4a2=0,∴y1y2=-4a2. ? y = 4 ax , ? 16a4 →→ 则FS· FT=4a2+ =4a2-4a2=0. ?-4a2? →→ 因此,FS· FT的值是定值,且定值为 0. (法二)①当 AB⊥x 轴时,A(a,2a)、B(a,-2a), 则 lOA:y=2x,lOB:y=-2x. ?y=2x, ? 由? 得点 S 的坐标为(-a,-2a), ? ?x=-a, → 则FS=(-2a,-2a). ? ?y=-2x, 由? 得点 T 的坐标为 T(-a,2a), ?x=-a, ? → 则FT=(-2a,2a). →→ ∴FS· FT=(-2a)×(-2a)+(-2a)×2a=0.

y2 y2 1 2 ,y1?、B? ,y2?, ②当 AB 不垂直 x 轴时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-a)(k≠0),A? ?4a ? ? 4a ? 16a4 →→ 同解法一,得FS· FT=4a2+ . y1y2 ? ?y=k?x-a?, 由? 2 得 ky2-4ay-4ka2=0,∴y1y2=-4a2. ?y =4ax, ? 16a4 →→ 则FS· FT=4a2+ =4a2-4a2=0. ?-4a2? →→ 因此,FS· FT的值是定值,且定值为 0.


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