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对数运算法则


1.4对数的运算

知识回顾

a ? 0, 且a ? 1 N ?0 b? R

性质:
1.a
loga N

?N
n

2.loga a ? n

3.loga 1 ? 0 4.loga a ? 1

(a ? 0, a ? 1, N ? 0, n ? R)

指数运算法则 : m n m?n a ? a ? a (m, n ? R )
a m?n ? a (m, n ? R ) n a m n mn (a ) ? a ( m, n ? R ) (ab) ? a ? b (n ? R )
n n n m

log a M + log a N =

?



loga M ? p, loga N ? q,

由对数的定义可以得:M ∴ MN ? 即得

? a , N ? aq
p
p?q

a a

p

q

?a

? loga MN ? p ? q

loga MN ? loga M ? loga N

积、商、幂的对数运算法则:
如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N n loga M ? nloga M(n ? R) (3)

证明:③设 loga M ? p, 由对数的定义可以得:M ∴

?a ,
p

M ?a
n

np

? loga M n ? np

即证得

loga M ? nlog a M(n ? R) (3)
n

上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数 式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形; 然后再根据对数定义将指数式化成对数式。 loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)
①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”……

②有时逆向运用公式
③真数的取值范围必须是 (0,??) ④对公式容易错误记忆,要特别注意:
loga (MN ) ? loga M ? loga N , loga (M ? N ) ? loga M ? loga N

例1 用

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:
xy log a ? log a ( xy ) ? log a z z ? loga x ? loga y ? loga z

解(1)

xy (1)loga ; z

(2) loga

x2 y
3

z

解(2) loga

x2 y
3

z

? loga ( x 2 y ) ? loga z
1 2

1 2

1 3

? loga x 2 ? loga y ? loga z

1 3

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

x ? 3? log a yz

? 4? loga

x

2 3

y z

1 解:(3)原式 ? log a x ? log a y ? log a z 2 1 1 (4)原式=2 log a x+ log a y- log a z 2 3

7 例2 计算: (1)lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3
解法一: 解法二:

自然对数

7 7 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3 3 7 7 2 ? lg14 ? lg( ) ? lg 7 ? lg18 ? lg( 2 ? 7) ? 2 lg 3 3 2 ? lg 7 ? lg( 2 ? 3 ) 14? 7 ? lg 7 2 ? lg 2 ? lg 7 ? 2(lg 7 ? lg 3) ( ) ?18 3 ? lg 7 ? (lg 2 ? 2 lg 3) ? lg1 ? 0 ?0

log10 N ? lg N常用对数 loge N ? ln N (e ? 2.71828 .

练习 1.求下列各式的值:

6 (1) log2 6 ? log2 3 ? log 2 ? log2 2 ? 1 3 ? lg(5 ? 2) ? lg10 ? 1 (2) lg 5 ? lg 2

1 (3) log 5 3 ? log 5 3

1 ? log 5 (3 ? ) ? log5 1 ? 0 3 5 ?1 ? log ? ?1 ? log 3 3 (4)log3 5 ? log3 15 3 15

lg 243 (2) lg 9

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 (3) lg1.2

lg 243 lg 35 ? 5 lg 3 ? 5 解: (2) ? 2 lg 9 lg 32 2 lg 3

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(3 ) ? lg 23 ? 3 lg(10) (3) ? 3 ? 22 lg1.2 lg 10

1 3 2

1 2

3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) ? 2 lg 3 ? 2 lg 2 ? 1

3 ? 2

小结 : 积、商、幂的对数运算法则: 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N n loga M ? nloga M(n ? R) (3)

作业 1. 用lgx,lgy,lgz表示下列各式: ( 1) ( 2)

lg( xyz)

( 3)

xy lg z

2

xy lg z

3

x (4) lg 2 y z
3

2.求下列各式的值
log3 12 ? log3 4; ( 1 ) log2 (16? 4 ); (2)
1 2 (3) 4 lg 2 ? 3 lg 5 ? lg ( ; 4) ? lg 2? ? lg 20? lg 5. 5


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