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10.6离散型随机变量的分布列、均值与方差


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2015 级数学课堂导学案提纲

编号:058

选修 2-1( 2017.0610)

编制:原建苹

审核:理数组

10.6 离散型随机变量的分布列、均值与方差
【学习目标】 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念。 2.了解分布对于刻画随机现象的重要性。 3.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用。 4.理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念。能计算简单离散型 随机变量均值、方差,能根据计算的均值、方差解决实际问题。 【基础感知】阅读课本选修 2-3 第 60-69 页并学习以下内容: 思考一、取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其特点。 思考二、超几何分布的特点是什么,并了解其导出过程。 思考三、取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,如何进行计算。 知识点一 离散型随机变量的分布列 1.随机变量有关概念 1)随机变量随着试验结果变化而变化的变量,常用字母 X,Y,ξ ,η ,…表示. 2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量. 2.离散型随机变量的分布列的概念及性质 (1)概念:若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2,…,xi,…,xn,X 取 每一个值 xi(i=1 ,2,…,n)的概率 P(X= xi) =pi,则表称为离散型随机变量 X 的概率分布 列,简称为 X 的分布列,有时也用等式 P(X= xi)=pi,i=1,2,…,n 表示 X 的分布列. (2)性质:①pi≥0(i=1,2,…,n);② ?pi=1.
i =1 n

X P

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

xn pn

X P

0 1-p

1 p

3.常见离散型随机变量的分布列 (1)两点分布

若随机变量 X 服从两点分布,即其分布列为其中 p=P(X=1)称为成功概率. (2)超几何分布 在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则事件{X=k}
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2015 级数学课堂导学案提纲

编号:058

选修 2-1( 2017.0610)

编制:原建苹

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发生的概率为

n-k Ck MCN-M P(X=k)= Cn ,k=0,1,2,…,m,其中 N

m=min{M,n},

且 n≤N,M≤N,n,M,N∈N*,称分布列为超几何分布列. X P 知识点二 0
n-0 C0 MCN-M Cn N

1
n-1 C1 MCN-M Cn N

… …

m
n-m Cm MCN-M Cn N

离散型随机变量的均值与方差 X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn

1.离散型随机变量的均值与方差 (1)离散型随机变量 X 的分布列 (2)离散型随机变量 X 的均值与方差 均值(数学期望) 计算 公式 作用 标准 差 2.均值与方差的性质

方差 D(X)= ?[xi-E(X)]2pi
i=1 n

E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+… +xnpn

反映了离散型随机变量取值的平 刻画了随机变量 X 与其均值 均水平 E(X)的平均偏离程度

方差的算术平方根, D(X)为随机变量 X 的标准差

(1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b 为常数),(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b 为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差 均值 变量 X 服从两点分布 X~B(n,p) 典型考点: 考点一、离散型随机变量及其分布列求解方法 【例 1】 (2016· 豫南九校模拟)甲,乙,丙三名音乐爱好者参加某电视台举办的 演唱技能海选活动,在本次海选中有合格和不合格两个等级,若海选合格记 1
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方差 D(X)=p(1-p) D(X)=np(1-p)

E(X)=p E(X)=np

2015 级数学课堂导学案提纲

编号:058

选修 2-1( 2017.0610)

编制:原建苹

审核:理数组

2 3 1 分,海选不合格记 0 分,假设甲,乙,丙海选合格的概率分别为3,4,2,他们 海选合格,不合格是相互独立的. (1)求在这次海选中,这三名音乐爱好者至少有一名海选合格的概率; (2)记在这一次海选中,甲,乙,丙三名音乐爱好者所得分之和为随机变量 ξ, 求随机变量 ξ 的分布列和数学期望 Eξ.

考点二、离散型随机变量的均值与方差解题策略 【例 2】 根据以往的经验,某工程施工期间的降水量 X(单位:mm)对工期的影 响如下表: 降水量 X 工期延误 天数 Y X<300 300≤X <700 2 700≤ x<900 6 x≥900

0

10

历年气象资料表明,该工程施工期间降水量 X 小于 300,700,900 的概率分别 为 0.3,0.7,0.9.求: (1)工期延误天数 Y 的均值与方差; (2)在降水量 X 至少是 300 的条件下,工期延误不超过 6 天的概率.

考点三、离散型随机变量的期望和方差与统计的综合问题求解策略
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【例 3】 (2016· 四川雅安诊断)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单 位:分钟 ),并将所得数据绘制成频率分布直方图 (如图),其中,上学所需时间 的范围是 [0, 100) ,样本数据分组为 [0, 20) , [20 ,40), [40 ,60) , [60 , 80), [80,100]. (1)求直方图中 x 的值; (2)如果上学所需时间不少于 1 小时的学生可申请 在学校住宿,请估计学校 600 名新生中有多少名 学生可申请住宿; (3)从学校的新生中任选 4 名学生,将这 4 名学生中上学所需时间少于 20 分钟的 人数记为 X,求 X 的分布列和数学期望.(以直方图中新生上学所需时间少于 20 分钟的频率作为每名新生上学所需时间少于 20 分钟的概率).

【课堂检测】 利用二项分布求概率问题 1、 口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球,有放回地每次摸取一个球,定 义数列{an}: ?-1,第n次摸取红球, an=? 如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和,那么 S7=3 的概率 ?1,第n次摸取白球, 为( ) ?2?2 ?1?5 B.C2 7?3? ·?3? ? ? ? ? ?1?2 ?2?5 D.C3 7?3? ·?3? ? ? ? ?

?1?2 ?2?5 A.C5 7?3? ·?3? ? ? ? ? 2 ?1?5 5?1? ?3? ·?3? C.C7 ? ? ? ? 【探究未知】



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