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竞赛数学


深圳大学数学与计算科学学院

课程教学大纲
(2006 年 10 月重印版)

课程编号

课程名称

竞赛数学

课程类别

综合选修

教材名称 竞赛数学的原理和方法

制 订 人

张文俊

审 核 人

胡鹏彦

2005 年 4 月修订

一、课程设计的指导思想
(一)课程性质
1.课程类别:综合选修课 2.适应专业:数学与应用数学专业(数学教育方向) 3.开设学期:第六学期 4.学时安排:周学时 3,总学时 54 5.学分分配:3 学分

(二)开设目的
拓宽学生的初等数学知识面,加深学生对初等数学的本质理解,培养学生提高初等数 学的解题能力,以便他们在毕业后的工作岗位上指导中小学生参加各种数学竞赛。

(三)基本要求
在学习本课程过程中,学生应特别注意学习竞赛数学的基本原理与方法。

(四)主要内容
介绍中小学数学竞赛中所涉及到的基本数学原理、方法及其应用,内容包括:抽屉原 理、容斥原理、极端原理、相似原理、对称原理等基本原理;不等式解题方法、数论方法、 递归方法、图论方法、组合论方法、组合几何方法等基本方法。

(五)先修课程
中学数学

(六)考核方式
开卷考查

(七)参考教材
柳柏濂等编.竞赛数学的原理和方法[M].广州:广东高等教育出版社,2002 年,第 二版.

二、教学内容
第一章 数学竞赛与竞赛数学
教学目的
通过本章的系统学习,使学生了解数学竞赛活动概况。

主要内容
1. 数学竞赛活动 2. 竞赛数学

教学要求
了解数学竞赛活动概况。

第二章 抽屉原理
教学目的
通过本章的系统学习,使学生掌握抽屉原理基本形式及其推广形式,并能用抽屉原 理解决一些实际问题。

主要内容
1. 抽屉原理基本形式 2. 抽屉原理应用技巧

教学要求
1. 掌握抽屉原理基本形式及其推广形式; 2. 会用抽屉原理解决一些实际问题。

第三章 容斥原理
教学目的
通过本章的系统学习,使学生掌握容斥原理基本形式,并能用容斥原理解决一些实 际问题。

主要内容
1. 容斥原理基本形式 2. 容斥原理应用技巧

教学要求
1. 掌握容斥原理基本形式; 2. 会用容斥原理解决一些实际问题。

第四章 不等式解题方法
教学目的
通过本章的系统学习,使学生能运用序轴法解不等式,并掌握平均不等式、柯西不 等式、排序原理。

主要内容
1. 不等式基础解法

2. 排序原理

教学要求
1. 掌握序轴法解不等式,掌握平均不等式、柯西不等式; 2. 掌握排序原理及其推广,掌握排序原理的应用技巧。

第五章 数论方法
教学目的
通过本章的系统学习,使学生能掌握整除性理论在数学竞赛中的运用方法及奇偶性 分析与同余方法的运用。

主要内容
(1) 奇偶性分析与同余方法 (2) 数谜与不定方程

教学要求
1. 掌握整除性理论在数学竞赛的运用方法,掌握奇偶性分析与同余方法的运用; 2. 掌握存在性问题与整除性问题的证明思路; 3. 掌握一些特殊性质的整数特点及其应用。

第六章 递归方法
教学目的
通过本章的系统学习,使学生能建立与求解递归关系的方法,以及函数迭代和函数 方程的方法。

主要内容
1. 递归关系应用方法 2. 线性递归关系解法

教学要求

掌握建立与求解递归关系的方法,以及函数迭代和函数方程的方法。

第七章 组合计数方法
教学目的
通过本章的系统学习,使学生能依据加法原理、乘法原理、容斥原理,或建立递归 关系、一一对应关系等,求出精确的计数式。

主要内容
1. 一一对应方法 2. 组合恒等式证法

教学要求
掌握依据加法原理、乘法原理、容斥原理,或建立递归关系、一一对应关系等,以 求出精确的计数式,并通过组合恒等式证明结果的方法。

第八章 图论方法
教学目的
通过本章的系统学习,使学生能应用图论思想把实际问题转化为数学问题的原则与 技巧,并会利用图论理论解决实际问题。

主要内容
1. 图论基本知识 2. 应用图论解决实际问题

教学要求
掌握应用图论思想把实际问题转化为数学问题的原则与技巧,会利用图论理论解决 实际问题。

第九章 组合几何方法
教学目的
通过本章的系统学习,使学生能用组合几何的原理进行计数。

主要内容
1. 组合几何计数方法 2. 整点问题

教学要求

掌握组合几何的原理进行计数的方法。

第十章 若干重要的解题原理与方法
教学目的
通过本章的系统学习,使学生掌握极端原理、相似原理与对称原理。

主要内容
1. 极端原理 2. 相似原理与对称原理

教学要求
掌握极端原理、相似原理与对称原理。

注:根据各课程的具体情况编写,但必须写明各章教学目的、教学要求、主要内容。

三、课时分配及其它

(一)课时分配
课程总教学时数为 54 学时,安排在第六学期,每周 3 学时,上课 18 周。具体分 配如下: 第一章 数学竞赛与竞赛数学 第二章 抽屉原理 第三章 容斥原理 第四章 不等式解题方法 第五章 数论方法 第六章 递归方法 第七章 组合计数方法 第八章 图论方法 第九章 组合几何方法 第十章 若干重要的解题原理与方法 2 学时 4 学时 4 学时 6 学时 6 学时 6 学时 6 学时 8 学时 6 学时 6 学时

(二)考核要求
1. 成绩评价
平时成绩(含考勤、课堂表现、作业)占 30%,期末(卷面)成绩占 70%。

2. 命题说明
题型应多样化,设计适当的开放性问题。计算题(主要考查学生对竞赛数学基本方 法的具体、灵活应用)、证明题(主要考查学生对竞赛数学基本理论、基本方法的综合运 用能力)的比例约为 1/1。 难、 易题的比例约为 20%难、 80%适中。 涉及课堂内容的 100%。 试卷采用 A、B 卷。

注:必须写明各学期教学的总时数及各章学时数。


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