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若干平面几何竞赛题的源流演变


5 一   疗  

数 学教 学 

2 0 1 6 年第 5 期 

若 干平 面 几何 竞赛 题 的源流 演 变 
5 1 8 0 6 7 广东省深圳 育才 中学  王  扬 

本文 将 从分 析一 道平 面 几何 竞赛 题 的 构 
图和 证 明 出发 , 研 究 由本

题 演 绎 出 的若 干 竞 赛  题 目, 深 刻 阐述 如 何 发 现 新 命 题 及 其 证 明方 法 ,   为 老 师 和 学 生 提 供 学 习 的思 维 方 法 和 素 材 .  

证 明 二 :下 面 将 用 到 f 1 ) 将 四 边 形 沿 对 角  线剖分 , 再运用三 角 形面积 公式; ( 2 ) 三 角 函 数 

定义; ( 3 ) 相似三角形 ; ( 4 ) 正弦二倍角公式.  
如图 1 , 注 意 到 AL Ⅳ 平 分 角  B  , 于是,  

先看一 道较为 陈旧的赛题  不妨称 为源头 
题 目:  

可设从点 Ⅳ 到边 A B、A C 的距离 为 ^ , 注意到 


A  , 则 

题 目1  f 1 9 8 7 年第2 8 届I MO试 题) 锐 角  AA BC中,   的 平 分 线 交 BC于 点 L 交  △AB  的 外 接 圆 于 点 Ⅳ ,   上  B 于 点  ,  
M_ l _   于点 M , 则S A A B C=  四 边形   ⅣM.  

s 四 边 形 A   Ⅳ M=言  ? (   +  M)  
Ⅳ s i n下 /B AC
:  


2 AK  

Ⅳ . s i n下 /B AC
:  


2 AL  c o s下 ZB AC 

先看本题 的几个优美证 明:  
证 明一 : 下 面 的过 程 用 到 了( 1 ) 运 用 四边  形 面 积 的对 角 线 形 式 ; ( 2 ) A、K 、L、 M 四 点 
=  

Ⅳ .  

. s i n   ZB AC.  

又 S A A B C=   ? AB ? AC ? s i n   ZBAC.  

共 圆;( 3 ) 运 用 正弦 定理;( 4 ) 三 角 形面 积 公式;  
f 5 1 相似三 角形.   如图 1 , 连 结  M , 则 由条 件 知  M 上  Ⅳ ,  
、   、  、

于 是, 要 证 明 结 论 ,只 要 证 明  L . AⅣ =  
AB . AC .  

M 四 点 共 圆,且 4   是 该 圆 的 直 

这 由 AABⅣ  AAL C 可 以得 到 , 从 而 命 

径, 结合正弦定理, 所以S [  ̄ . A K N M=去   Ⅳ?  
1  

题获得证明.   注 :上 述 两 个 证 明 都 多 少 含 有 一 些 三 角 函  数 的气 息 , 有 无 纯 正 的 平 面 几 何 方 法 ? 这 是 我  们 在 做 完 一 道 题 目之 后 的习 惯 思 考 .   证 明 三 :下 面 将 用 到 ( 1 ) 将 四边 形 和 三 角  形 沿 对 角 线  Ⅳ 、   剖 分, 再 运 用 三 角 形 的面 

KM 一  ̄   AN ?   A C  s i n   BAC 一  

? s i n   ZBA C, S AA BC =  ̄AB ?  
f 1 厶 

积公式 ; ( 2 ) 相似三角形.  

图1  

于是, 要 证 明 结论 , 只 要 证 明:  
L.   N = AB . AC.  

这 由 AABN  ̄AALC可 以 得 到 ,从 而 命 
题 获 得 证 明.  

F 

图2  

2 0 1 6 年第 5 期 
如 图2 , 作 E 上  

数 学款 学 
交  Ⅳ 于 点 E, E 

5 一   7  

上AB, Ⅳyj _  B, Ⅳ  上A  , D、y、   分 别 为 

垂 足, 设 点 Ⅳ 到 边 AB、AC 的 距 离 为 h ,由题 
意 知 道  =   M,   y = AX,Ⅳy = Ⅳ  ,   NB = NC、 故 △NY B   △NxC   BY = CX .   进 一 步 —  △yⅣE  △  ⅣE, Dy =  
X —  D Y : y B .  

同 理 可 得 D  = Dy, 从 而 LE =   Ⅳ =  
Ⅳ F=  AE + AF = 2 AN .  
1   1  

S A A B C =言   J E } ?   +言   ? L M;  
1   1  

坦  
绝佳途径 !  

图3  

将第 2 8届 I M O几 何 题 中 的角 平 分 线 剪 开 

f AD、AF ) 一分为二, 并保持 Z BAD= CAF,  

S  ̄ K N M =言 A K? h +言 A M? h—  
K . h = AM . h.  

即得本题, 这样 我们便找到 了一条命题证 明 的 
从 分 析 解 题 过 程 学 解 题 去 探 索 新 问题 的  解 法 是 学 习 数 学 解 题 的灵 丹 妙 药 . 思 考 源 头 题 

注 意 到 

S  ̄ A K N=S A A M N=云   四 边 形   Ⅳ M,  
从 而 结 论 等 价 于 
S AA BC   S四 边 形 A  Ⅳ埘 .  
B ?   +  ?  

的证 明可 能会给我们一些好 的启示.  
证 明一 : 下面将用到( 1 1 将 四 边 形 沿对 角线 

剖分, 再运 用 三 角形 面 积 公 式; ( 2 ) 四 点共 圆;  

( 3 ) 正弦 和 角公 式; ( 4 ) 正弦 定 理; ( 5 ) 相似 三 角 
形.  
K ? h+ AM ? h  

如 图3  由条 件可 记 Z B AD =   CA F=  

B. L  

A  .  M 

= = =   而
一  

+   而
‘ 一

 
’ 。。‘— ——一 ●  



Z DA F:  , 则有S  ̄ A M D N =言  D?   1   二 
1  

1, AB  LK 


Ac  LM \  

[   』  s i n  +   Ⅳs i n ( e+  ) ]= 言   D? [   F   c o s (  ̄ + Z ) s i n  +  Fc o s  s i n (   +   ) 】 =言  D?  
1  

2\ 、 A 
1, ,   F 
= = 一 l 一

h   。  
+ …

M 
E 

h , ,  
、  
l  

2\ 、  

AⅣ

  。

Ⅳ/  

F   s i n ( 2  ̄+  ) =去  D-  F   s i n Z B A C ,   S & A B C=言  B? A C   s i n Z B A C .  
于是, 只 要 证 明  D .   F =  B .   .  
1  

] ( / 丽 A F   + 丽 A E 、 J   = = =   ?  
从 而 命 题 获 得 证 明.   注 : 这 个 证 明 使 用 了 平 面 几 何 方 法 ,虽 

这 由 △ABD  AAFC可 以 得 到 , 从 而 命  题获得证明.   证 明 二 :下 面 将 用 到 f 1 1 将 四 边 形 沿 对 角  线剖分, 再运用三 角形面积公式; ( 2 ) 四点 共 圆;  

然 多 了一 些 辅 助 线, 但 完 全适 合 初 中学 生 的 
知 识 基 础 . 其 成 功 根 基 来 自于 AⅣ 平 分 四 边  形 A ⅣM 的面 积 .  

本题 证 明的本质 在 于抓 住 角平 分线 是 与  角 的两边 成等角, 如果抓 住这个思路继 续前行  会获得什么信息呢 ?   题 目2  f 2 0 0 0 年 全 国 高 中数 学联 赛 加试 
题) 如 图3 ,在 锐 角 AABC 的 边 BC 上 有 两 点 

( 3 ) 托勒密定理; ( 4 ) 正弦定理 ; ( 5 ) 相似 三角形.  
如 图3 ,连 结 M Ⅳ,则 由条 件 FM _ l _  j E } ,   FⅣ 上   知 A  Ⅳ 四 点 共 圆 记 ZBAD 
=  

C AF =  ,  DA F=  , 所 以 由四边形 面 

积 公 式 知 
四边 形 AM DⅣ 


E、F、 满 是 BA E:   CAF 、 I 乍F M LA B于 
点 M, FⅣ上  C 于 点 Ⅳ , 延 长 A 交 △AB   的 

S△A ND + S  ADN 

外接 圆于点 D, 证 明: S A A B C=S 四 边 形 A MD J Ⅳ .  



去 A D . [ A M   s i n   +   Ⅳ s i n (   +  . ①  

5 — — 4 8  

数 学 教 学 

2 0 1 6 年第 5 期 
证 明一 : 下 面将 用 到 ( 1 ) 将 四边 形 沿对 角 线 

注 意 到  、M 、F、Ⅳ 四点 确 定 的 圆直 径  为 AF ,由托 勒 密 定 理 以及 正 弦 定 理 知 
AF ? M  N = AM ? F N + AN ? FM 、  

剖分 , 再运用三 角形面积公式 ; ( 2 ) 托勒 密定理;  

即 
AF . AF  s i n   B AC 


( 3 ) 正弦定理 ; ( 4 ) 剖 分三角形成两 部分, 再运用  三角形面积公式.  
如图4 , 设 ZBAD =   CAF= & ,   E F=  


A M ? A F   s i n   O L +AN ? A F   s i n ( a+  ) ,  

AABC 的 外 接 圆 半 径 为 R,四边 形 A FⅣ 
S ̄
1  


故 
AF . s i n   BA C 


的外接 圆半径 为 , 则 
A M DN = S AA MD   SA ADN 

AM . s i n   +A N. s i n ( a+  ) . ………? ② 

将②代入①得到S  ̄ A M D N=言   D?  
F  s i n   B AC .  

 ̄ A D ( A M   s i n O L +  Ⅳs i n ( a +   ) ) . … ①  

于 是 要 证 明 结 论 , 只 要 证 明 AD .   F = 
B . A  .  

这 由 △A召 D  △AF C 可 以得 到 ,从 而 命  题 获得 证 明 .   证 明 三 :下 面 将 用 到 ( 1 ) 将 四 边 形 沿 对 角 

C 

线剖分, 再运用三角形面积 公式; ( 2 ) 四点共 圆;  

图4  

( 3 ) 正弦定理 ; ( 4 ) 托勒密定理; ( 5 ) 剖分三角形成 
两 部 分 再运 用 三 角 形面 积 公 式 .   设 GABC 的 外 接 圆 半 径 为 R,   则  由 上 面 的 证 明 二 ,以 及 正 弦 定 理 可 以 得 到  又 在 圆 内接 四 边 形 A  FⅣ 中 , 运 用 托 勒 
密 定 理 有 

A F. M N =AM . FN +AN . M  F. …. ② 

S  ̄ A M D N=言   D ?   F   s i n Z B A C=言   D ?  

去   .   另 外 ,由三 角 形 面 积 公 式 以及 正 弦 定 理 、  


由正弦 定理 知道MF = = =2 r   s i n ( a+  ) ,   MN = 2 r   s i n ( 2 a+  ) , F Ⅳ :2 r   s i n  , 将以  
上三个 式子代 入到 ② 式, 得 到  A F   s i n ( 2 a +9 ) =  M  s i n  +  Ⅳs i n ( a+  ) . ③  再将 ⑧ 代 入 到 ① 得 到 S  ̄ r g A MD Ⅳ=  

托 勒 密 定 理 有 
SAAB C : SAA BF   S/ , A FC  






 ̄ A F [ A B   s i n ( a+  ) +A C   s i n  1  
.  一  

去 A D  s i n ( 2   =   .   又 由面 积 公 式 、 正 弦 定 理 以及 托 勒 密 定 
理 知 道 
SAAB C = SAA BF 一 _ SAA FC  


,  

J  



 

A F [ A B . 罢+  
F ? AD ? B  ?  

]  

去A F [ A B ?   D +   C ? B D 】  
= ==  

言 -  F? ( A B   s i n ( a +  ) +A C   s i n   )  

壶‘   F ’ ( A B ? C D +   C ? B D )  
=   ,  

于是, 命题获得证 明.   本 题 还 可 以推 广 到 一 般 情 形 .  

即 SAA BC = S ̄ r g AM DN .  

题 目3 在 锐 角 AA BC的 边 BC上 有 两 
点  、 F,满 足 ZBAE = ZCAF,在 边 AB、   AC 上 取 点 M 、Ⅳ ,使 得  、M 、F、Ⅳ 四 点 

证 明 二 :由上 面证 明得 到 
S ̄


AM DN 

共 圆, 延 长 E交 AA BC的外接圆于 点 D. 证 
明: S/ , A B C=S 四边形A MDⅣ.  


 ̄ A D ( A M   s i n   a + A N   s i n (   +   ) )  
1   D

. 

‘ )  

F  s i n   ZB AC .  

2 0 1 6 年第 5 苴 J J  


数 学教 学 
N = ZPAM
=  

5 — — 4 9  
+ ZP M A 

 ̄ S A A B C=去 ? A B? A C   s i n Z B A C , 于是,  
所 以 

要 证 明 结论 , 只要 证 明 AD. AF = AB. AC, 这  由 △ BD  △ F  呵 以得 到 , 从 而 命 题 获 得 
证明.  

FAN 七  AFN = 1 8 0 o一  A N  F.  

s   q 也} 够 A   f   DN  
lAD



证 明三 :运 用 四 边 形 的 对 角 线 犁 面 积 公 
式.  

3 I N  s i nZAP N  

如图5 , 设 AD与  Ⅳ 交 于 点 P.  



 

D . MⅣ s i nZAN F  D.   F  s i nZB AC ,  



 

s △ A B   : 三   B . A C   s i n Z B A C .  
所 以, 只要 证 【 J ] AD . A  = AB . AC, 这  由 AABD  △AFC 可 以得 到 ,从 而 命 题 获 得 
证 明.  

这 个 证 明 是 对 原 问题 f 第2 8届 I MO 几 何 
5  

题 日) 证明 一 的 直接 思 考 结 果 .  

( 上 接 第5 — 2 9 页)  

分机: 如果  求 【 x . 1 日 J 小 是征 卜1 , 1 ] 上, 而  

在  , q ] ,我们可 以进行适 当的变 换将  变  到区 问 [ 一1 , 1 ]上.   令  = "   +n ,满 足 
,   一2  

+ C( a 、b 、C ∈ R)且 a ≠ 0 ,i  ̄ M( a , b )   足l , (   ) l   问 , g ] _ 上的最 大 值,  ̄ J J M( a , b )≥   I a l ( p—g ) 。  
8   。  

懈  盈 ’ 一=  
m  

结束 语: 在 数学解 题 中, 我们 都希望 自己  能有 超 能 力 “ 猜猜 、算算” 就 把 问题 解 决 , 但 这  种一 眼看透 问题本 质的能力 , 实质 是对 概念 的  熟络, 靠 的是对基本 知识 的熟练程 度 以及对基  本 方 法 的活 学 活 用 f 活 在 思 考 角 度 、研 究 对 象  以及 问题 形式) .数 学 学习首 要 的是能沉 得下 
样 的“ 灵 感” 成 为 自 己解 题 的 自然 “ 突现” .在 教  学过 程 中, 我 们 要 善 于 挖 掘 高 考 题 的功 能 , 注  重 各 知 识 问 的联 系 , 加 强 对 数 学 知 识 背 景 及 数 

代 入 原 函 数 得,t 厂 (   ): _ 9 (   , ):  

( X ! m - l t ) ,   + 。 (   ) + 6 =  1 (  +   m   + ( \   — n 2 - — a m m   n ‘   一 + b m 2 " /  ̄ 『   . 由( : , c ) 式   心,要 理解 、读 懂奇 思妙想 的缘 由,真正 让这 


2 n ̄ a  ,

矢 口 ,令 

= -1 , 0 , 1 ,贝 0   4 M ≥ l 9 I ( 1 ) I +  

I 夕 ( 一1 ) l +2 I 9 ( 0 ) l ≥I g ( 一1 ) + 夕 ( 1 ) - 2 g ( 0 ) l =   ,  

即  ∈ [ 一 1 , 1 ] 时 , I g ( x , ) l 的 最 大 值M≥  i ,  
故 t 厂 ( z ) 的最大值 M ≥  
推 广   2  已知 函数

学本源 的探索, 关注 知识的生成, 让 问题 “ 返 朴  归真” 、“ 水到渠成” . 在 问题探究 中, 要力争透 
过 纷 繁 的现 象 看 清 问题 的 本 质 , 让 学 生 感 受 数 
学解 答 是 “ 言之有理” 的.  

.  
厂  ) : n   2+ 6  


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