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广东省珠海市2009年高中数学竞赛试题


广东省珠海市 2009 年高中数学竞赛试题
一选择题(每题 5 分,满分 60 分) 2 1. 如果 a,b,c 都是实数,那么 P∶ac<0,是 q∶关于 x 的方程 ax +bx+c=0 有一个正根和一个负根 的( ) (A)必要而不充分条件 (B)充要条件 (C)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 2. 某种放射性元素,100 年后只剩原来质量的一

半,现有这种元素 1 克,3 年后剩下( ) 。 (A)

3 ? 0 .5 克 100

(B)(1-0.5%)3 克

(C)0.925 克

(D) 100 0.125 克

3. 由甲城市到乙城市 t 分钟的电话费由函数 g(t)=1.06×(0.75[t]+1)给出,其中 t>0,[t]表示大于或 等于 t 的最小整数,则从甲城市到乙城市 5.5 分钟的电话费为( ) 。 (A)5.83 元 (B)5.25 元 (C)5.56 元 (D)5.04 元 4. 已 知 函 数 的值 A、一定大于零 B、一定小于零 C、等于零 D、正负都有可能 ) (D)第 25 项 >0 , 则

5. 已知数列 3 , 7 , 11 , 15 ,?则 3 11 是它的( (A)第 23 项 (B)第 24 项 (C)第 19 项

6. 已知等差数列 {an } 的公差不为零,{an } 中的部分项 ak1 , ak2 , ak3 ,?, akn ,? 构成等比数列,其 中 k1 ? 1, k 2 ? 5, k3 ? 17, 则 k1 ? k 2 ? k3 ? ? ? k n 等于( (A) 3 ? n ? 1
n



(B) 3 ? n ? 1
n

(C) 3 ? n ? 1
n

(D)都不对

7. 已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ( a 、 b 为常数, a ? 0 , x ? R )在 x ? 函数 y ? f (

?
4

处取得最小值,则

3? ? x) 是( 4

) B.偶函数且它的图象关于点 (

A.偶函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 C.奇函数且它的图象关于点 ( 8. 如果

1 ? tan A ? = 4+ 5 ,那么 cot( ? A )的值等于 1 ? tan A 4
B 4+ 5 C -

3? ,0) 对称 2

3? ,0) 对称 2

D.奇函数且它的图象关于点 (? ,0) 对称 ( )

A -4- 5

1 4? 5

D

1 4? 5

9. 已 知 ︱ OA ︱ =1 , ︱ OB ︱ =

, 3 , OA? OB =0, 点 C 在 ∠ AOB 内 , 且 ∠ AOC=30° 设

OC =m OA +n OB (m、n∈R),则
1 3

m 等于 n
C.

A.

B.3

3 3

D. 3

10. 等边△ABC 的边长为

,AD 是 BC 边上的高,将△ABD 沿 AD 折起,使之与△ACD 所在平

面成 1200 的二面角,这时 A 点到 BC 的距离是

A、

B、

C、3

D、2

11. 抛两个各面上分别标有 1,2,3,4,5,6 的均匀的正方体玩具, “向上的两个数之和为 3” 的概率是 A. ( B. )

1 3

1 6

C.

1 36

D.

1 18

12. 对于直角坐标平面内的任意两点 A(x 1 , y 1 )、B(x 2 ,y 2 ),定义它们之间的一种“距离” :‖ AB‖=︱x 1 -x 2 ︱+︱y 1 -y 2 ︱.给出下列三个命题: ①若点 C 在线段 AB 上,则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖; ②在△ABC 中,若∠C=90° ,则‖AC‖ +‖CB‖ =‖AB‖ ; ③在△ABC 中,‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3
2 2 2

二填空题:(每题 5 分,满分 30 分)

13 棱锥的底面面积为 150cm2,平行于底面的截面面积为 54cm2 底面和截面

距离为 14cm,则这个棱锥高为_________

14 函数 y=x-2+

的最小值是________;最大值是________.

15. 若数列{an}由 a1=2,an+1=an+2n(n≥1)确定,求通项公式 an ==________.

16. 有一公用电话亭,在观察使用这个电话的人的流量时,设在某一个时刻,有 n 个人正在

使 用 电 话 或 等 待 使 用 的 概 率 为 P(n) , 且 P(n) 与 时 刻 t 无 关 , 统 计 得 到
? 1 n ?( ) ? P(0) , 1 ? n ? 5 P ( n) ? ? 2 ,那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率 ? 0 , n?6 ?

P(0)的值是



?1 ? f (n), n为偶数,   17. 定义在 N+上的函数 f(x),满足 f (1 )=1,且 f(n+1)= ? 2 则 f(22) = . ? f (n), n为奇数. ?
18. 定义在 R 上的函数 y ? f (x) ,它同时满足具有下述性质: ①对任何 x ? R均有f ( x 3 ) ? f 3 ( x); ②对任何 x1 , x2 ? R, x1 ? x2均有f ( x1 ) ? f ( x2 ).则 f (0) ? f (1) ? f (?1) ? 三解答题(每题 15 分,满分 60 分) 19. 三 角 形 ABC 中 , 三 个 内 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 为 ,求角 C 的大小。 , 若 .

20.一农民有田 2 亩,根据他的经验:若种水稻,则每亩每期产量为 400 公斤,若种花生,则每
亩产量为 100 公斤,但水稻成本较高,每亩每期 240 元,而花生只要 80 元,且花生每公斤 可卖 5 元,稻米每公斤只卖 3 元,现在他只能凑足 400 元,问这位农民对两种作物应各种 多少亩,才能得到最大利润?

21.已知点的序列 An ( xn ,0), n ? N * ,其中 x1 ? 0, x 2 ?

1 , A3 是线段 A1 A2 的中点, A4 是线段 2

A2 A3 的中点, ?, An 是线段 An?2 An?1 (n ? 3) 的中点,
(1) 写出 xn 与 xn?1 , xn?2 之间的关系式 (n ? 3) ; (2) 设 an ? xn?1 ? xn ,求 ?an ? 的通项公式。

22. (本小题满分 14 分)已知二次函数

满足条件:

= (Ⅰ )求

,且方程

= 有等根。

的解析式; 的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n]?如果存在,求出

(Ⅱ )是否存在实数 m、n(m<n),使

m、n 的值;若不存在,说明理由。

珠海市 2009 年高中数学竞赛试题参考答案
一选择题 1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.A 7.D 8.B 9. B 10.A 11.D 12.B

二填空题:

13. 16.

35

14 17.

? 4;2 2 ? 2
1 1024

15 18. 0

an ? n 2 ? n ? 2

32 63

19 解: 由 故 B=60 ,A+C=120 。…………………..5’
0 0

=cosB,

于是 sinA=sin(1200-C)=

,…………………8’

又由正弦定理有:

,………………….10’

从而可推出 sinC=cosC,得 C=450。…………………….15’ 20 解:设水稻种 x 亩,花生种 y 亩,则有题意得:

即 …………………………6’

而利润 P=(3×400-200)x+(5×100-80)y=960x+420y…………………9’

所以当 x=1.5,y=0.5 时,Pmax=960×1.5+420×0.5=1650(元)…………14’

即水稻种 1.5 亩,花生种 0.5 亩时所得的利润最大。……………………15’

xn ? 2 ? xn ?1 (n ? 3) ;……………………6’ 2 x ? xn x ? xn (2) an = xn?1 ? xn = n ?1 - xn = n ?1 ,…………..9’ 2 2 1 由此可见,数列 ?an ? 是公比为 ? 的等比数列,………………….12’ 2 1 。…………..15’ an = ? (? ) n (n ? N ? ) 2
21.解:(1) xn ?

22.解:Ⅰ )

。………………..7’

(Ⅱ )存在 m=-4,n=0 满足要求。………………….15’


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