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3机械能与机械能守恒


本章题头

内容提要
功与动能
work and kinetic energy

Contents

chapter 3

保守力与势能
conservative force and potential energy

机械能守恒定律
pr

inciple of conservation of mechanical energy

碰撞
collision

第一节
3-1

work and kinetic energy
, 。 。

质点系动能定理
对单个质点

下面作一简要证明

证明

注意:

随堂练习一 功的概念与特点
力(功)与状态(动能)及系统(质点系)的分析

=2吨

( = 6×103 N/s )

2.25 107

练习二

练习三

第二节
3-2
保守力做功的 非保守力做功的 大小,只与运动 大小,不仅与物体 conservative force and potential energy 的始 末位置有关, 物体的始 末位 而且还与物体的运 置有关,与路径 动路径有关。 无关。

保守力的功:
下面将进一步讨论几种常见的保守力
及其做功的共同特点

重力的功

万有引力的功 弹力的功

重力的功

引力的功

续引力功

弹力的功






保守力功小结

势能概念

初态 势能

末态 势能

保守力做正功,物体系的势能减少; 保守力做负功,物体系的势能增加。 通常写成
末态 势能 初态 势能

势能性质

势能曲线
选地面 为势能零点 选 为势能零点 选无形变处 为势能零点

:离地面高度

力势关系
势能是标量,保守 力是矢量。两者之间 是否存在某种普遍的 空间关系?

普遍关系
三维空间中某质点在保守力 作用下势能发生微变

随堂小议
近 地 点

卫星
质量

(1)G M m m
地球
质量

远 地 点

r2 r1 r1 r2 r2 r1 r1 r2 r2 r1 r1
r2 r1 r2

A

O

M

B

(2) G M m (3)G M m

r1

r2
上图中,

卫星在A,B两点处
的势能差为
(请点击你要选择的项目)

(4) G M m

近 地 点

卫星
质量

m
地球
质量

选项1链接答案 r m 2 r1 (1)G M r1 r2 远
地 点

A

O

M

B

(2) G M m (3)G M m

r2 r1 r1 r2 r2 r1 r1
r2 r1 r2

r1

r2
上图中,

卫星在A,B两点处
的势能差为
(请点击你要选择的项目)

(4) G M m

近 地 点

卫星
质量

m
地球
质量

选项2链接答案 r m 2 r1 (1)G M r1 r2 远
地 点

A

O

M

B

(2) G M m (3)G M m

r2 r1 r1 r2 r2 r1 r1
r2 r1 r2

r1

r2
上图中,

卫星在A,B两点处
的势能差为
(请点击你要选择的项目)

(4) G M m

近 地 点

卫星
质量

m
地球
质量

选项3链接答案 r m 2 r1 (1)G M r1 r2 远
地 点

A

O

M

B

(2) G M m (3)G M m

r2 r1 r1 r2 r2 r1 r1
r2 r1 r2

r1

r2
上图中,

卫星在A,B两点处
的势能差为
(请点击你要选择的项目)

(4) G M m

近 地 点

卫星
质量

m
地球
质量

选项4链接答案 r m 2 r1 (1)G M r1 r2 远
地 点

A

O

M

B

(2) G M m (3)G M m

r2 r1 r1 r2 r2 r1 r1
r2 r1 r2

r1

r2
上图中,

卫星在A,B两点处
的势能差为
(请点击你要选择的项目)

(4) G M m

principle of conservation of mechanical energy

第三节 机械能
3-3

某一力学系统的 机械能 是该系统的 动能 与 势能 之 和



系统的

系统的

系统的

机械能

动能

势能

在一般情况下,系统的机械能并不保持恒定。

principle of conservation

系统机械能发生变化的

of mechanical energy

外因: 系统外各种形式的力对系统做功,简称 内因:系统内存在非保守力做功(如摩擦消耗),简称
只有在一定条件下,系统的机械能才能保持恒定。

守恒条件与结果
条 件:
即 若 外力和非保守内力不做功,或其总功为零时,

结 果:系统的机械能
若用
0

保持恒定,

表示此过程中系统机的械能


则 即

表过程中某时刻系统的机械能
0



0

系统机械能不变

此结果既是大量观测的总结和归纳,还可从动能定理和势能概念推演出来 :

(推演及文字表述) 守恒定律推演





续推演(推演及文字表述)

若某一过程中外力和非保守内力都不对 系统做功,或这两种力对系统做功的代数和 为零,则系统的机械能在该过程中保持不变。





随堂练习一:
机械能守恒定律的应用 用守恒定律求运动参量( x, v, a )和 力(F ),一般较简便,注意掌握。 用守恒定律求解有条件

基本方法和步骤:

分析条件选系统; 根据过程状态算功能; 应用定律列、解方程。

第二宇宙速度


半 球



练习二 球面任意点 P 处
由静止开始释放 滚至 Q 点处开始 切向脱离球面



证明:









半 球



续练习二 证 处明: 球面任意点 P
球面任意点 P 处 由静止开始释放

R

半 球取系统:地球,质点。

θ

v

滚至 Q 点处开始 由静止开始释放 切向脱离球面

滚至 Q 点处开始
内力:重力。 外力:支撑力,但不做功。 切向脱离球面



故 在 P — Q 过程中机械能守恒 在 Q 点处脱离球面时,质点动力学方程为

· (1) · ·
· (2) · · · (6) · ·

由 (1) 得 由 (2) 得

· (3) · · · (4) · ·

即 由 (5) 、 得 (6)

证明:

由 (3) 、 得 (4)

· (5) · ·

.

第三宇宙速度

经典黑洞

黑洞新证据
据美联社 2 0 0 4
年 2月19 日报道,欧 洲和美国天文学家宣 布,他们借助 X 射 线太空望远镜,在一 个距地球大约 7 亿光 年的星系中观测到了 这一强大的X射线爆 发是黑洞撕裂恒星的 确凿证据。

据天文学家的描
“RX-J1242-11”的星 系中央地带观测到了 这场“生死决斗”。 黑

洞的质量约为太阳

耀眼的 X 射线爆发。 述 , 他 们 在 代 号 为

质量的一亿倍,而
该恒星与太阳的质 量差不多。
摘自《人民日报》

和平号有控坠落
空间站椭圆轨道的扁率,与运行 速度 有关 。设地球质量为 空 间站在近地点时到地心的距离为 , 的取值范围是
逐步减小 ,并在预设位置达下限 开始坠落、烧毁、余烬落入安全区。

空间站在椭圆轨道 上运行,若近地点至地 心的距离为 ,在该 点的运动速率为 , 椭圆轨道的扁率与 的大小有关。 的 取值范围是

续和平号

在运行中,若间歇向前 喷发燃气(逆向点火制 动)减小运行速度,可 逐步改变椭圆轨道扁率, 进入预期的低轨道,然 后更精确地控制最后一 次逆向点火制动时间和 姿态,使 , 令其按预定地点落入稠 密大气层坠毁。

第四节 碰撞

3 m1 - 4

m1

v2 v1 collision m1

碰撞系统的动量

m1 v 1
对于

m2v 2

m 1 u1

m 2 u2

,因孤立系统不考虑外力,动量守恒。

其内力为弹性力(保守力)做功。对心正碰,碰后系统弹性势

能完全恢复到无形变的初态,系统机械能守恒,且动能守恒。

完全弹性碰撞

v1
m1 v 1 m1 v 1 m2v 2 m2v 2

v2
m 1 u1 m 1 u1
m 2 u2 m 2 u2

续全弹碰

v1
m1 v 1 m2v 2

v2
m 1 u1
2

m 2 u2 m 2 u2

v1m v 1 1

v2v m
2

m 1 u1

m1 v 1
1 2

m1 v

2 1

由 (1) 得 由 (2) 得 (4) (3) 得 即

m 2 v 2 m 1 u1 m 2 u2 全弹碰速度公式 2 2 2 1 1 m2 v 2 m 1 u1 1 m 2 u2 2 2 2 m2 ( v 1 u1 m 1 u2 v 2 ) m2 ( 2 2 2 2 v 1 u1 m 1 u2 v 2 )

… (1) … (2) … (3) … (4)

v 1 u1 v2 v 1 v1

u2 v 2 u1 u2
( m1

… (5)

由 (3) 和 (5) 得

v2

( m2

m 2 ) u1 2 m 2 u2 ( m1 m2 ) m 1 ) u2 2 m 1 u1 ( m1 m2 )

归纳上述推导结果

公式讨论
u1 u2

v2 v 1

v1
v2
讨论:

( m1 ( m2

m 2 ) u1 2 m 2 u2 ( m1 m2 ) m 1 ) u2 2 m 1 u1 ( m1 m2 )

v1
v1 v2 v2

v2 v1
v1

v2

完全非弹性碰撞

随堂练习一

v1

( m1

m 2 ) u1 2 m 2 u2 ( m1 m2 )

1,2,为同类粒子, m 相同,在一水平面 X-Y 上 发生弹性碰撞,粒子系统在水平的各个方向 上无 外力作用,其碰撞过程如下图所示: Y , ,

随堂练习二

1

1

400 m/s
2 碰前 静 2

碰后

30 °

X







1,2,为同类粒子,m 相同,发生弹性碰撞。 1,2,为同类粒子,

Y

m 相同,在一水平面 X-Y 上 1 , , 发生弹性碰撞,粒子系统在水平的各个方向 上无 400 m/s 外力作用,其碰撞过程如下图所示: 30° 1

续练习二 v
v2

u

碰前



碰后

Y

: , , 1 m u1 2 1 m u1 2

X-Y 为, , 水平面 X

判知 三矢量构成 1 直角三角形

由题意知,系统在水平面上动量守恒,且动能守恒。30

2 0 mv 1 m v 2 2 2 静 碰前 1 m v 1 1 m v 2 0
2 2

400 m/s

u° v 1 v 2 1 2 碰后 2 2 u1 v 1 v 2

得 由三角关 系可算得

2,

v 1 u1 cos v 2: u1 sin

X 3 346 (m·-1) s 400× 2 s 400× 1 , 200 (m·-1) , 2

2 2

90? 30? 60?

附一:非弹碰

附二:恢复系数

作业
HOME WORK

3 - 12
3- 18

3- 15

3- 21

3- 25


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