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空间点线面的位置关系


空间点、直线、平面间的位置关系 考纲要求 1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为 推理依据的公理和定理. 2.能证明一些空间位置关系的简单命题. 考情分析 1.点、线、面的位置关系是本节的重点,也是高考的热点. 2.以考查点、线、面的位置关系为主,同时考查逻辑推理能力与空间想象能力. 3.多以选择题、填空题的形式考查,有时也出现在解答题中,属低中档题. 教学过程 基

础梳理 1.平面的基本性质 (1)公理 1:如果一条直线上的两点在同一平面内,那么 符号表示: 。 (2)公理 2:经过不在同一条直线上的三点, 符号表示: 。 (3)公理 3:如果两个平面(不重合的两个平面)有一个公共点,那么 符号表示: 。



推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 2.直线与直线的位置关系 (1)位置关系的分类
?平行 ?共面直线? ? ?相交 ? ? ?异面直线:不同在任何一个平面内

(2)异面直线所成的角 ①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的锐角或直角叫做异 面直线 a,b 所成的角(或夹角). ? π? ②范围:?0, ?. 2? ? 3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况. 图示:

4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况. 图示:

5.平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示: 6.等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 双基自测 1.(教材习题改编)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为 ( A.3 B.4 C.5 D.6 2.下列说法正确的是 ( ) A.若 a?α ,b?β ,则 a 与 b 是异面直线 B.若 a 与 b 异面,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面 C.若 a,b 不同在平面α 内,则 a 与 b 异面 D.若 a,b 不同在任何一个平面内,则 a 与 b 异面

)

3.(2011·四川高考)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是 A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 4.(教材习题改编)两个不重合的平面可以把空间分成______部分. 5.一个正方体纸盒展开后如图所示, 在原正方体纸盒中有如下结论: ①AB⊥EF; ②AB 与 CM 所成的角为 60°; ③EF 与 MN 是异面直线; ④MN∥CD. 以上四个命题中,正确命题的序号是________.

(

)

两种方法 异面直线的判定方法: (1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面. 三个作用 (1)公理 1 的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平面内判断直线上的点在平面内. (2)公理 2 的作用:公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法. (3)公理 3 的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证明多点共线(演练习题 2.1B 组 2.3 两题) 典例分析 考点一、平面的基本性质及其应用 [例 1] (2012·台州模拟)以下四个命题中 ①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点 A、B、C、D 共面,点 A、B、C、E 共面,则点 A、B、C、D、E 共面; ③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共面,则直线 b、c 共面;④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 [巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!) 1.(2011·沈阳模拟)如图是正方体或四面体,P、Q、 R、S 分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一 个图是 ( )

2.(2011· 南通月考)定线段 AB 所在的直线与定平面α 相交,P 为直线 AB 外的一点,且 P 不在α 内,若直线 AP、BP 与α 分别交于 C、D 点,求证:不论 P 在什么位置,直线 CD 必过一定点. [冲关锦囊] 1.证明线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上. 2.证明点或线共面问题,一般有以下两种途径: ①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面, 然后再证其余线(或点)均在这个平面内; ②将所有条件分为两部分, 然后分别确定平面,再证平面重合. 考点二、异面直线 [例 2] (2012· 金华模拟)在图中,G、N、M、H 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线 GH、MN 是异面直 线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)

[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!) 3.(2012· 广州模拟)若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的 ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

)

4.(2012· 杭州模拟)若两条异面直线所成的角为 60°, 则称这对异面直线为“黄金异面直线对”,在连接正方体各顶点的所有直线中与 AC 成“黄金异面直线”共有________对. [冲关锦囊] 1.异面直线的判定常用的是反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设的条件出发,经过 严格的推理,导出矛盾,从而否定假设肯 定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到. 2.客观题中,也可用下述结论:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线. 考点三、异面直线所成的角 [例 3] (2011· 全国高考)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 C1D1 的中点,则异面直线 AE 与 BC 所成的角的余弦 值为________.

[巧练模拟]—————(课堂突破保分题,分分必保!) (2012· 青岛模拟)已知正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中, AA1=2AB,E 为 AA1 中点,则异面直线 BE 与 CD1 所成的角的余弦值为________. [冲关锦囊] 求异面直线所成的角一般用平移法,步骤如下 1.一作:即找或作平行线,作出异面直线所成的角; 2.二证:即证明作出的角是异面直线所成的角; 3.三求:解三角形,求出所作的角,如果求出的角是锐角 或直角,则它就是要求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角. 考向四 点共线、点共面、线共点的证明 【例 4】?正方体

ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E、C、D1、F 四点共面;(2)CE、D1F、DA 三线共点.

一、选择题 1.(2012· 东城模拟)设 A、B、C、D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不 正确的是 . ( A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC 2.(2012· 东北三校联考)已知 a、b、c、d 是空间四条直线,如果 a⊥c,b⊥c,a⊥d,b⊥d,那么( A.a∥b 且 c∥d B.a、b、c、d 中任意两条可能都不平行 C.a∥b 或 c∥d D.a、b、c、d 中至多有一对直线互相平行 ) )

3.对两条不相交的空间直线 a 与 b,必存在平面 α,使得( ) A.a?α,b?α B.a?α,b∥α C.a⊥α,b⊥α D.a?α,b⊥α 4.已知异面直线 a,b 分别在平面 α,β 内,且 α∩β=c,那么直线 c 一定( ) A.与 a,b 都相交 B.只能与 a,b 中的一条相交 C.至少与 a,b 中的一条相交 D.与 a,b 都平行 5. (2011· 济宁一模)已知空间中有三条线段 AB、 BC 和 CD, 且∠ABC=∠BCD, 那么直线 AB 与 CD 的位置关系是(

)

A.AB∥CD B.AB 与 CD 异面 C.AB 与 CD 相交 D.AB∥CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 二、填空题 6.a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出三个命题: ①若 a∥b,b∥c,则 a∥c;②若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ③若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b.上述命题中正确的命题是________(只填序号)


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