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(文科数学)深圳市高级中学2012-2013学年高二下学期期末考试


深圳高级中学 2012-2013 学年高二下学期期末测试 文科数学试题
参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 ? S ? h 其中 S 是底面面积, h 是高 3 柱体的体积公式 V ? S ? h 其中 S 是底面面积, h 是高 1 圆台的侧面积公式 S ? (c ? c?)l ,其中 c 、 c ? 分别是圆台上、下底面周长, 2

l 是圆台的母线长.
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. “ x ? 0 ”是“ x ? 2 ”的( ) (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 2.已知平面向量 a ? (1 2) , b ? (?2,m) ,且 a ∥ b ,则 2a ? 3b ? ( , (A) (?5, 10) ? 3. 已知 (A) ?1 (B) (?4, 8) ? (C) (?3, 6) ? (D) (?2, 4) ? )

?

?

?

?

?

?



a ? 2i ? b ? i ? a, b ? R ? ,其中 i 为虚数单位,则 a ? b ? ( i
(B) 1 (C) 2 ) (D) 3

4.如果执行右面的框图,输入 N=5,则输出的数等于( (A)

5 4

(B)

4 5

(C)

6 5

(D)

5 6

? x ? ?1 ? 5.若变量 x,y 满足约束条件 ? y ? x 则 z=2x+y 的最大值为 ?3 x ? 2 y ? 5 ?
( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

6. 设 f ( x) 为 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ( x)? x2 ? 2 ? ( b 为常数) x b ,则 f (?1) 的值为(
(A) -3 (B) -1 (C) 1
2

) (D) 3 )

7.已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin x , x ?R ,则 f ( x) 是( (A) 最小正周期为 π 的奇函数 (C)最小正周期为 π 的偶函数 (B) 最小正周期为

π 的奇函数 2 π (D)最小正周期为 的偶函数 2

1

8.已知抛物线 y ? 2 px( p ? 0) ,过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线与 A 、 B 两点,若线
2

段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( ) (A) x ? 1 (B) x ? ?1 (C) x ? 2 (D) x ? ?2 9.已知数列 ?an ? 为等比数列, S n 是是它的前 n 项和,若 a2 ? a3 ? 2a1 ,且 a4 与 2 a7 的等差中 项为

5 ,则 S 5 的值为( 4
(B) 33
x 2

) (C) 3l ) (D) 29

(A) 35

10.函数 y ? 2 ? x 的图像大致是 (

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 在 ?ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a ? 2 ,b ? 2 , sin B ? cos B ? 2 , 则角 A 的大小为 . 12. 已知圆 C 过点(1,0) ,且圆心在 x 轴的正半轴上,直线 l : y ? x ? 1 被该圆所截得的弦长 为 2 2 ,则圆 C 的标准方程为 .

13. 一个空间几何体的三视图如下:其中主视图和侧视图都是上底为 2 ,下底为 4 , 高为 2 2 的等腰梯形,俯视图是两个半径分别为 1 和 2 的同心圆,那么这个几何体的侧面积为

2

2

2 2

4
主视图

4
侧视图 俯视图

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题) 把极坐标方程 ? cos( ? ?

?
6

) ? 1 化为直角坐标方程是

.

2

15. (几何证明选讲选做题)如图, O 是半圆的圆心,直径

P C

AB ? 2 6 , PB 是圆的一条切线,割线 PA 与半圆交
于点 C , AC ? 4 ,则 PB ? . A O B

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ? 2 cos 2 x, x ? R. (1) 求函数 f ( x) 的最小正周期; (2) 当 x ? ? 0,

? ?? ? 时,求函数 f (x) 的最大值与最小值及相应的 x 值。 ? 4?

17、(本小题满分 12 分) 已知点 M 的坐标为( x, y ) ,且 ? 2 ? x ? 2,?2 ? y ? 2 。 (1)当 x , y ? Z 时,求点 M 在区域 ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? 4 内的概率;
2 2

(2)当 x , y ? R 时,求点 M 在区域 ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? 4 内的概率。
2 2

B 18、 (本小题满分 14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4, AB ? 5 ,AA1=4, D 点 D 是 AB 的中点。 (1)求证:AC ⊥ BC1; (2)求证:AC 1 // 平面 CDB1; (3)求多面体 ADC ? A1 B1C1 的体积。 A

B1

C A1

C1

19、 (本小题满分 14 分) 已知正数数列 ?a n ?满足: S n ? n ? 2n ? 2 ,其中 S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和.
2

(1)求数列 ?a n ?的通项 a n ; (2)令 bn ?

1 ,求 ?bn ? 的前 n 项和 T an an ?1

n.

3

20、 (本小题满分 14 分) 设椭圆

x2 y 2 2 ,点 F2 在直线 ? 2 ? 1, ? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e ? 2 2 a b

l : x ? 2 2 的左侧,且 F2 到 l 的距离为 2 。
(1)求 a, b 的值; ( 2 ) 设 M , N 是 l 上 的 两 个 动 点 , F1 M ? F2 N ? 0 , 证 明 : 当 MN 取 最 小 值 时 ,

???? ????? ???? ? ? ? F2 F1 ? F2 M ? F2 N ? 0

21、 (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax3 ?

3 (a ? 2) x 2 ? 6 x ? 3 2

(1)当 a ? 2 时,求函数 f (x) 的单调性 (2)当 a ? 0 时,试讨论曲线 y ? f (x) 与 x 轴的公共点的个数。

4

参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 BBBDC ADBCA 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 14.

? 6

12. ( x ? 3) ? y ? 4
2 2

13. 9?

3x ? y ? 2 ? 0 (写成斜截式 y ? ? 3 x ? 2 也给分) 15. 2 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、 (12 分) 解: (1) f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) 2 2

????3 分

3 1 3 ?? 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? sin? 2 x ? ? ? 2 2 2 6? 2 ? 2? ? f ( x) 的最小正周期 T ? ? ?. 2 ?
(2)? x ? ?0,

????6 分 ????7 分

? ? ? 2? ? ? ?? ? ? 2x ? 6 ? ? 6 , 3 ? ? 4? ? ?

????8 分

? 当2 x ?

?
6

?

?
2

,即 x ?

?
6

时, f ( x ) max ?

5 ; 2

????10 分

当2 x ?

?
6

?

?
6

,即 x ? 0时, f ( x ) min ? 2
x y -2 -1 0 1 2 -2 (-2, -2) (-2, -1) (-2,0 ) (-2,1 ) (-2, 2) -1 (-1, -2) (-1, -1) (-1,0 ) (-1,1 ) (-1, 2)

????12 分

17、 (12 分)解: ( 1 ) 当 x, y ? Z 时 , 设 “ 点 M 在 区 域

? x ? 2?

2

? ? y ? 2? ? 4 内”为事件 A。由表
2

0 (0,-2 ) (0,-1 ) (0,0) (0,1) (0, 2)

1 (1,2) (1,1) (1,0 ) (1,1 ) (1, 2)

2 (2,2) (2,1) (2,0 ) (2,1 ) (2, 2)

知,所有的基本事件共有 25 个,其中事件 A 所包含的基本事件有(0,2)(1,1)(1, 、 、 2)(2,0)(2,1)(2,2) 、 、 、 ,共有 6 个。

6 ?????6 分 25 ( 2 ) 当 x, y ? R 时 , 设 “ 点 M 在 区 域 ? P ( A) ?

? x ? 2?2 ? ? y ? 2?2 ? 4 内”为事件 B。
点 M 所在的区域是一个边长为 4 的正方形 ?( x, y) | ?2 ? x ? 2,?2 ? y ? 2? ,这个正
2 2

方形和区域 {( x , y ) | ? x ? 2? ? ? y ? 2? ? 4} 的公共部分是

? P( B) ?

?
4? 4

?

?
16

? ? 22 1 ?? 。 个圆,其面积是 4 4

??????12 分 (2 分)

18、 (14 分)解: (1)∵底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5,∴ AC⊥BC, 5

又在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AC ? 底面 ABC,∴CC1⊥AC, 分) (3 BC、CC1 ? 平面 BCC1,且 BC 与 CC1 相交 而 BC1 ? 平面 BCC1 ∴ AC⊥BC1 ∴ AC⊥平面 BCC1; (5 分) (6 分)

(2)设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连结 DE, ∵ D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点, ∵ DE ? 平面 CDB1,AC1 ? 平面 CDB1, (3) V ADC ? A1B1C1 ? V ABC ? A1B1C1 ? VB1 ? BCD =20 19、 (14 分)解: (1)当 n=1 时, a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2 时, a n ? s n ? s n?1 ? 2n ? 1 ∴ DE//AC1, ∴ AC1//平面 CDB1 (11 分)= (8 分) (10 分) (13 分) (14 分) ???2 分 ???4 分

1 1 ? 3? 4 ? 4 - ? 4 ? 3 3 2

?1, n ? 1 ? an ? ? ? 2n ? 1, n ? 2

???5 分

?1 ?5 , n ? 1 ? (2)? bn ? ? 1 ? ,n ? 2 ? ? (2n ? 1)(2n ? 3)

???7 分

?当n ? 1时,Tn ?
当n ? 2时,Tn ?

1 5

???8 分

? 1 ? 1 1 1 ?? ? ? ??? ? ? 5 ? 5? 7 7 ?9 (2n ? 1)(2n ? 3) ?

?

1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? 5 2 ?? 5 7 ? ? 7 9 ? ? 9 11 ? ? 2n ? 1 2n ? 3 ? ?
???13 分

1 1?1 1 ? 3 1 ? ? ? ? ?? ? 5 2 ? 5 2n ? 3 ? 10 2(2n ? 3)
综上所述, Tn ?

3 1 ? , (n ? N ? ) 10 2(2n ? 3)

???14 分

?c 2 c ? ? 20、 (14 分)解: (1)因为 e ? , F2 到 l 的距离= 2 2 ? c ,所以由题设得 ? a 2 a ?2 2 ? c ? 2 ?
解得 c ?

2, a ? 2 由 b2 ? a 2 ? c2 ? 2 ,得 b ? 2

????5 分

6

? ? 2, 0 ? , 因为 l 的方程为 x ? 2 2 ,故可设 M ? 2 2, y ? , N ? 2 2, y ? ????? ???? ? 由知 F M ? F N ? 0 知 ? 2 2 ? 2, y ? ? ? 2 2 ? 2, y ? ? 0
(2)由 c ?

2, a ? 2 得 F1 ? 2, 0 , F2

?

1

2

????7 分

1

2

1

2

得 y1 y2 ? ?6 ,所以 y1 y2 ? 0, y2 ? ?

6 y1

????9 分

MN ? y1 ? y2 ? y1 ?

6 6 ? y1 ? ?2 6 y1 y1
????12 分

当且仅当 y1 ? ? 6 时,上式取等号,此时 y2 ? ? y1 所以, F2 F1 ? F2 M ? F2 N ? ?2 2, 0 ?

???? ????? ???? ? ?

?

? ?

2, y1 ?

? ?
2

? 2, y2 ? ? 0, y1 ? y2 ? ? 0

?

????14 分 21、 (14 分)解: (1)若 a ? 2 ,则 f ?( x) ? 6( x ? 1) ? 0 ,∴ f ( x) 在 R 上单调递增 ?????4 分 (2) f ?( x) ? 3ax 2 ? 3(a ? 2) x ? 6 ? 3a( x ? ①若 0 ? a ? 2 ,则

2 )( x ? 1) a

??????6 分

2 2 2 ? 1 ;当 x ? 1或x ? 时, f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 时, f ?( x) ? 0 a a a 2 2 ( ? f (x) 在 (??,1) , , ? ?) 内单调递增, 在 (1, ) 内单调递减 a a a ? f ( x) 的极大值为 f (1) ? ? ? 0 , 2

? f (x) 的图象与 x 轴只有一个交点
②若 a ? 2 ,则 f ?( x) ? 6( x ? 1) ? 0 ,∴ f ( x) 在 R 上单调递增,
2

?????9 分

又? f (1) ? ?1 ? 0, f (2) ? 1 ? 0 ? f (x) 的图象与 x 轴有且只有一个交点 ③ 若 a ? 2 , ? a ? 2, ?

???10 分

2 2 2 ? 1 ? 当 x ? 或 x ? 1 时 , f ?( x) ? 0 ; 当 ? x ? 1 时 , a a a 2 2 (1, ? ?) 内单调递增,在 ( ,1) 内单调递减 f ?( x) ? 0 ? f (x) 在 ( ??, ) , a a 2 ?4 6 f (x) 的极大值为 f ( ) ? 2 ? ? 3 ? 0 , a a a
?????13 分 ?????14 分

? f ( x) 的图象与 x 轴只有一个公共点
综上所述,当 a ? 0 时, f (x) 的图象与 x 轴有且只有一个公共点 7


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