当前位置:首页 >> 数学 >>

《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查48 直线的倾斜角与斜率、直线的方程


开卷速查(四十八) 方程

直线的倾斜角与斜率、直线的

A 级 基础巩固练 1.设直线 l 的方程为 x+ycosθ+3=0 (θ∈R),则直线 l 的倾斜角 α 的范围是( A.[0,π)
?π 3π? C.?4, 4 ? ? ?

)
?π π? B.?4,2? ? ? ?π π? ?π 3π? D.?4,2?∪?2, 4 ? ? ? ? ?

π 解析:当 cosθ=0 时,方程变为 x+3=0,其倾斜角为2; 1 当 cosθ≠0 时,由直线方程可得斜率 k=-cosθ. ∵cosθ∈[-1,1]且 cosθ≠0, ∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞), 即 tanα∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
?π π? ?π 3π? 又 α∈[0,π),∴α∈?4,2?∪?2, 4 ?. ? ? ? ? ?π 3π? 由上知,倾斜角的范围是?4, 4 ?,故选 C. ? ?

答案:C

-1-

2.如图中的直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则( A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2

)

解析:直线 l1 的斜率角 α1 是钝角,故 k1<0,直线 l2 与 l3 的倾斜角 α2 与 α3 均为锐角,且 α2>α3,所以 0<k3<k2,因此 k1<k3<k2,故选 D. 答案:D 3.若 k,-1,b 三个数成等差数列,则直线 y=kx+b 必经过定点 ( ) A.(1,-2) C.(-1,2) B.(1,2) D.(-1,-2)

解析:因为 k,-1,b 三个数成等差数列,所以 k+b=-2,即 b =-2-k,于是直线方程化为 y=kx-k-2,即 y+2=k(x-1),故直线 必过定点(1,-2). 答案:A 4.直线 ax+by+c=0 同时要经过第一、第二、第四象限,则 a, b,c 应满足( )
-2-

A.ab>0,bc<0 C.ab<0,bc>0

B.ab>0,bc>0 D.ab<0,bc<0

解析:由于直线 ax+by+c=0 经过第一、二、四象限,所以直线 a c a c 存在斜率,将方程变形为 y=-bx-b,易知-b<0 且-b>0,故 ab >0,bc<0. 答案:A 5.直线 Ax+By-1=0 在 y 轴上的截距是-1,而且它的倾斜角是 直线 3x-y=3 3的倾斜角的 2 倍,则( A.A= 3,B=1 C.A= 3,B=-1 )

B.A=- 3,B=-1 D.A=- 3,B=1

A 1 解析:将直线 Ax+By-1=0 化成斜截式 y=-Bx+B. 1 ∵B=-1,∴B=-1,故排除 A、D. π 又直线 3x-y=3 3的倾斜角 α=3, 2π ∴直线 Ax+By-1=0 的倾斜角为 2α= 3 , A 2π ∴斜率-B=tan 3 =- 3,∴A=- 3. 答案:B 6.设点 A(-2,3),B(3,2),若直线 ax+y+2=0 与线段 AB 没有交 点,则 a 的取值范围是(
? ? ?

)
?

5? ?4 ? ? A.?-∞,-2?∪?3,+∞?
? 4 5? B.?-3,2? ? ?
-3-

? 5 4? C.?-2,3? ? ? ? ? ?

4? ?5 ? ? D.?-∞,-3?∪?2,+∞?
?

解析:直线 ax+y+2=0 恒过点 M(0,-2),且斜率为-a, 3-?-2? 5 ∵kMA= =-2, -2-0 kMB= 2-?-2? 4 ? 4 5? 5 4 =3,由图可知:-a>-2且-a<3,∴a∈?-3,2?. ? ? 3-0

答案:B 7.一条直线经过点 A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面 积为 1,则此直线的方程为__________. x y 2 解析:设所求直线的方程为a+b=1,∵A(-2,2)在直线上,∴-a+ 2 b=1.① 又因直线与坐标轴围成的三角形面积为 1, 1 ∴2|a|· |b|=1.②

-4-

?a-b=1, ?a-b=-1, 由①②可得(1)? 或(2)? ?ab=2 ?ab=-2. ?a=2, 由(1)解得? ?b=1 ?a=-1, 或? ?b=-2,
方程组(2)无解.

x y x y 故所求的直线方程为2+1=1 或 + =1, -1 -2 即 x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 为所求直线的方程. 答案:x+2y-2=0 或 2x+y+2=0 8.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大 值是__________. x y 3 解析:直线 AB 的方程为3+4=1,设 P(x,y),则 x=3-4y, 3 3 ∴xy=3y-4y2=4(-y2+4y) 3 =4[-(y-2)2+4]≤3.
?3 ? 即当 P 点坐标为?2,2?时,xy 取最大值 3. ? ?

答案:3 9.若 ab>0,且 A(a,0)、B(0,b)、C(-2,-2)三点共线,则 ab 的 最小值为__________. x y 解析:根据 A(a,0)、B(0,b)确定直线的方程为a+b=1,又 C(-2, -2 -2 -2)在该直线上, 故 a + b =1, 所以-2(a+b)=ab.又 ab>0, 故 a<0, b<0.
-5-

根据基本不等式 ab=-2(a+b)≥4 ab,从而 ab≤0(舍去)或 ab ≥4,故 ab≥16, 当且仅当 a=b=-4 时取等号.即 ab 的最小值为 16. 答案:16 10.过点 P(3,0)作一直线,使它夹在两直线 l1:2x-y-2=0 与 l2: x+y+3=0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分,求此直线的方程. 解析:设点 A(x,y)在 l1 上,点 B(xB,yB)在 l2 上. x+ x ? ? 2 =3, 由题意知? y+ y ? ? 2 =0,
B B

则点 B(6-x,-y),

11 ? x = 2 x - y - 2 = 0 , ? ? 3, 解方程组? 得? 16 ? 6 - x ? + ? - y ? + 3 = 0 , ? ? y = ? 3, 16 3 -0 k=11 =8. 3 -3



故所求的直线方程为 y=8(x-3),即 8x-y-24=0. B级 能力提升练

11.已知点 A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|= 3,则直线 AB 的 方程为( )

A.y= 3x+ 3或 y=- 3x- 3 3 3 3 3 B.y= 3 x+ 3 或 y=- 3 x- 3
-6-

C.y=x+1 或 y=-x-1 D.y= 2x+ 2或 y=- 2x- 2 解析: |AB|= ?cosα+1?2+sin2α= 1 2+2cosα= 3, 所以 cosα=2,

3 3 3 sinα=± 2 ,所以 kAB=± 3 ,即直线 AB 的方程为 y=± 3 (x+1),所以 3 3 3 3 直线 AB 的方程为 y= 3 x+ 3 或 y=- 3 x- 3 . 答案:B 1 12.已知数列{an}的通项公式为 an= (n∈N*),其前 n 项和 n?n+1? 9 x y Sn=10,则直线 +n=1 与坐标轴所围成三角形的面积为( n+1 A.36 B.45 C.50 D.55 )

1 1 1 解析:由 an= ,可知 an=n- , n?n+1? n+1 1 ? ?1 1? ?1 1? ?1 1? ? 1 ? - ∴Sn=?1-2?+?2-3?+?3-4?+…+? =1- , n ? ? n+1? ? ? ? ? ? ? n+1 ? 9 1 9 又知 Sn=10,∴1- =10,即 n=9. n+1 x y ∴直线方程为10+9=1,且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9), 1 ∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为2×10×9=45. 答案:B

-7-

13.如图,射线 OA,OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 分别交 OA,OB 于 A,B 两点,当 AB 的中点 C 恰好 1 落在直线 y=2x 上时,求直线 AB 的方程. 解析:由题意可得 kOA=tan45° =1, 3 3 kOB=tan(180° -30° )=- 3 ,所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 3 x, 设 A(m,m),B(- 3n,n), 所以 AB 的中点 C? ?
? ?m- 3n

2

m+n? ? , 2 ?,
?

1 由点 C 在 y=2x 上,且 A,P,B 三点共线得 m- 3n ?m+n=1· ? 2 2 2 , ?m-0 n-0 = , ? ?m-1 - 3n-1

解得 m= 3,所以 A( 3, 3).

又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 3+ 3 所以 lAB:y= 2 (x-1).

3 3-1

3+ 3 = 2 ,

-8-

即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0. 14.已知直线 l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线 l 过定点; (2)若直线 l 不经过第四象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标 原点,设△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值及此时直线 l 的方程. 解析:(1)证明:方法一:直线 l 的方程可化为 y=k(x+2)+1, 故无论 k 取何值,直线 l 总过定点(-2,1). 方法二:设直线 l 过定点(x0,y0),则 kx0-y0+1+2k=0 对任意 k ∈R 恒成立,即(x0+2)k-y0+1=0 恒成立, ∴x0+2=0,-y0+1=0, 解得 x0=-2,y0=1,故直线 l 总过定点(-2,1). (2)直线 l 的方程为 y=kx+2k+1,则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k

?k≥0, +1,要使直线 l 不经过第四象限,则? ?1+2k≥0,
解得 k 的取值范围是[0,+∞). (3)依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为- 1+2k,
? 1+2k ? ? ? ∴A?- , 0 ?,B(0,1+2k). k ? ?

1+2k k ,在 y 轴上的截距为

-9-

1+2k 又- k <0 且 1+2k>0,∴k>0. 1 1 1+2k 故 S=2|OA||OB|=2× k (1+2k) 1 ? 1 1? =2?4k+k+4?≥2(4+4)=4,
? ?

1 1 当且仅当 4k=k,即 k=2时,取等号. 故 S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 x-2y+4=0.

- 10 -


相关文章:
...开卷速查49 两条直线的位置关系、距离公式
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查49 两条直线的位置关系、距离公式_数学_高中教育_教育专区。开卷速查(四十九) 两条直线的...
...开卷速查51 直线与圆、圆与圆的位置关系
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查51 直线与圆、圆与圆的位置关系_数学_高中教育_教育专区。开卷速查(五十一) 直线与圆、...
...开卷速查13 变化率与导数、导数的计算
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查13 变化率与导数、导数的计算_数学_高中教育_教育专区。开卷速查(十三) 变化率与导数、...
...开卷速查23 解三角形应用举例
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查23 解三角形应用举例_数学_高中教育_教育专区。开卷速查(二十三) 解三角形应用举例 A 级...
...:必修部分 开卷速查56 圆锥曲线的综合问题
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查56 圆锥曲线的综合问题_数学_高中教育_教育专区。开卷速查(五十六) 圆锥曲线的综合问题 A ...
...一轮总复习:必修部分 开卷速查50 圆的方程
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查50 圆的方程_数学_高中教育_教育专区。开卷速查(五十) 圆的方程 A 级 基础巩固练 1.[...
...版一轮总复习:必修部分 开卷速查54 抛物线
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查54 ...所以直线 AK 的倾 -7- 斜角为 45° ,直线 AK 的方程为 y=x+4,代入...
...数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查52 椭...
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查52 椭圆_数学_高中教育_教育专区。开卷速查(五十二) 椭 圆 A 级 基础巩固练 x2 2 1...
...轮总复习:必修部分 开卷速查55 曲线与方程
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查55 曲线与方程_数学_高中教育_教育专区。开卷速查(五十五) 曲线与方程 A 级 基础巩固练...
...一轮总复习:必修部分 开卷速查65 古典概型
《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习:必修部分 开卷速查65 古典...则点 P 在直线 x+y=5 下方的概率为( 1 A.6 1 1 1 B.4 C.12 D....
更多相关标签: