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2.3.1 直线与平面垂直的判定 (1)


2.3.1 直线与平面垂直的判定 数学组:类卫卫 指导教师:苗建秀 思考1 阳光下直立于地面的旗杆及它在地面 的影子有何位置关系. 1.旗杆所在的直线始终与 A 影子所在的直线垂直. B α A C1 C α B1 B 一、直线和平面垂直的定义 1.定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都 垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直, 记作l⊥α. l 平面α的垂线 直线l的垂面 ? A 垂足 2.直线和平面垂直的画法 注:画直线与水平平面垂直时,通常把直线 画成与表示平面的平行四边形的一边垂直. l P α 思考2 若定义中的任意一条改为无数条,直 线垂直于平面吗? 平行 l 相交 ? C B ? C B 在面内 3.提升总结 ①“任何”表示所有 ≠ 无数. ②线面垂直的定义既是判定又是性质,相互 转化 思考3:怎么判断学校北大广场的旗杆是否 垂直于地面呢? 动手操作 请同学们准备一块三角形的纸片,过△ABC的 顶点A翻折纸片,得到折痕AD,将翻折后的纸 片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触). A B D C 思考4 (1)折痕AD与桌面垂直吗? (2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面α 垂直? A A B D C B D C A B D C A B D C A B D C A B D C A B D C A B D C A B D C A B D C A B C D A B D C ? 二、直线和平面垂直的判定定理 1.定理 一条直线与一个平面内的两条相交直 线都垂直,则该直线与此平面垂直. 2.符号表示: l P m ? ?,n ? ? ? ? m?n ? P ?? l ?? ? ? l ? m, l ? n ? m n 3.提升总结: 1."平面内",“相交”,“垂直”三个 条件必 不可少 (线不在多,有交则灵) 2.简记为:线线垂直 线面垂直 (转化思想) 例1 如图,已知a∥b,a⊥α,求证:b⊥α. 分析:在平面内作两条相交直线. 证明:在平面 ? 内作两条相交 直线m,n. 因为直线 a ? ?, 根据直线与平面垂直的定义知 a b n ? m a ? m, a ? n. 又因为 b / / a, 所以 b ? m, b ? n. 又因为 m ? ? , n ? ? , m, n 是两条相交直线, 所以 b ? ? . 4.判断直线与平面垂直的方法 1.定义法 2.线面垂直的判定定理 3.间接法:两条平行直线中的一条垂直于 一个平面,那么另一条也垂直于这一个平 面. 【变式练习】 1.下列说法正确的个数( B ) ?如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直 的直线 ?如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无 数条直线与l垂直 ?如果一条直线和一个平面垂直,该直线垂直 于平面内的任何直线 A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 前 卫 歪 塔 三、探究:如何求直线与平面所成角? A B b ? O ? a' a 1.线面所成的角 关键:过斜线上异于斜足一点作平面的垂线 斜线 斜足 A α O P 线面所成角 射影 垂足 2.提升总结 (1)点P是斜线上异于斜足的任意 一点. (2)射影是过斜足和垂足的直线, 不是线段. (3)线面角的范围[0

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