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2.1.1合情推理-归纳推理


2.1.1合情推理

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推理是人们思维活动的过程,是根据一 个或几个已知的判断来确定一个新的判断的 思维过程,本节将介绍人们在日常活动和科 学研究中经常使用的两种推理-----合情推理和 演绎推理。

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教 师,也是一位著名的数学家,生于1690年,1725年当选为 俄国彼得堡科学院院士。1742年,哥德巴赫在教学中发现 ,每个不小于6的偶数都是两个素数(只能被和它本身整 除的数)之和。如6=3+3,12=5+7等等。 公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数 学家欧拉(Euler),提出了以下的猜想: (a) 任何一个>=6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和 。 (b) 任何一个>=9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和 。 这就是着名的哥德巴赫猜想。

歌德巴赫猜想: 即:偶数=奇质数+奇质数 “任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质 数之和”
3+7=10,3+17=20,13+17=30, 改写为:10=3+7,20=3+17,30=13+17. 6=3+3, 8=3+5, 10=5+5, 12=5+7, 14=7+7, 16=5+11, 18 =7+11, …, 1000=29+971, 1002=139+863,

歌德巴赫猜想的提出过程:



这种由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概栝出一般结论 的推理,称为归纳推理.(简称;归纳) 归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明

归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。

例1:已知数列{an}的第1项a1=1且an +1

(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.

an = 1 + an

例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

猜想 F+V-E=2
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 10

欧拉公式
6 8 9 10 12 12

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

7 7
9

15 15
16

10 9

例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3

2

1

3

解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 猜想 an= 2n -1 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15

2

1

3


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