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第二章 圆锥曲线 章末归纳整合课件(北师大版选修4-1)


章末归纳整合

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专题一 截面问题 【例1】 已知如图所示,P是以AB为直径的半圆上的一点,过P作

半圆的切线,分别交直径 BA 的延长线于 S ,交过 B 的半圆的切
线于C,将图形绕SB旋转一周,得到一个圆锥和一个球,若球 的表面积为4,求当圆锥的体积最小时,该圆锥的表面积.

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解:图中△SDC 为圆锥的轴截面, 设球半径为 r,∵S 球=4,∴r=1. 连接 OC,设∠SCB=2θ,则∠OCD=θ, ∴圆锥底面半径 BC=cot θ,圆锥的高 SB=cot θ· tan 2θ, 1 圆锥的体积 V=3π(cot θ)2×cot θ×tan 2θ -1 π π =3 2 0<θ<4, 2 tan θ?1-tan θ?
?tan2θ+1-tan2θ? ? ?2 1 2 2 ∴tan θ(1-tan θ)≤? ? =4. 2 ? ?

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2 2 当且仅当 tan θ=1-tan θ,tan θ= 2 ,θ=arctan 2 时,当圆锥底
2 2

面半径 BC=cot θ= 2,高 SD=cot θ· tan 2θ=4 时,圆锥体积取得 最小值.此时,圆锥表面积 S=π·BC2+π·BC· SC=2π+6π=8π.

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1.如图所示,在棱长为 a 的正方体 AC1 中,求. (1)过 BD1 所作的最小截面面积; (2)过 BD1 所作截面周长最小时的截面面积. 6 2 答案:(1) a 2 6 2 (2) a 2

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专题二 圆锥曲线 【例2】 如图所示,用一个平面分别与球O1、O2切于F1、F2,截圆 柱于G1、G2点,求证所得的截面为椭圆.

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证明:如图所示由平面图形的性质可知,当点P与G1或G2重合时.

G2F1+G2F2=AD,G1F1+G1F2=AD,
当 P 不与 G1 、 G2 重合时,连接 PF1 、 PF2 ,则 PF1 、 PF2 分别是两个 球面的切线,切点分别为F1、F2过P作圆柱的母线,与两个球分别 K2,由切线长定理可知:PF1=PK1,PF2=PK2,

相交于K1、K2二点,则PK1、PK2分别为两个球的切线,切点为K1、

所 以 有 PF1 + PF2 = PK1 + PK2 = AD = G1G2 , 由 于 AD 为 定 值 且
AD>F1F2.故点P的轨迹为椭圆. 点评:利用图形,分析其中的相等关系,及等量替换.

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2.试确定如图中椭圆的离心率e.

cos β 答案:cos α
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【例 3】 已知 F1、F2 是椭圆的左、右焦点,以 F1 为顶点,F2 为 PF1 焦点的抛物线交椭圆于两点 P、Q,且PF =e,其中 e 是椭圆 2 的离心率,那么 e=________. PF1 解析:如图,设 l 是椭圆的准线,由离心率定义,则 PM =e. PF1 PF1 PF1 由条件PF =e,∴ PM =PF .∴PM=PF2. 2 2

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而点 P 在抛物线上,F2 为抛物线焦点, 根据抛物线定义, ∴l 又是抛物线的准线.∴F1H=F1F2=2c.∴OH=3c. 2a2 又∵椭圆两准线间距离为 c , a2 a2 c 3 ∴OH= c .∴ c =3c.∴e=a= 3 . 3 答案: 3

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点评:本题综合考查了圆锥曲线的定义、几何性质(焦点、顶点、

中心、准线、离心率),只要画出平面示意图是比较容易求解的.

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x2 y2 3.已知双曲线 C:a2-b2=1(a>0,b>0),B 是右顶点,F 是右焦 → → → 点,点 A 在 x 轴正半轴上,且满足|OA|,|OB|,|OF|成等比数列, 过 F 作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线 l,垂足为 P.

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→ → → → (1)求证:PA· OP=PA· FP; (2)若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点 D,E,求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围. (1)证明:法一:由题意知直线 l 的方程为 a y=- (x-c). b a ? ?y=-b?x-c? 由? ?y=bx ? a
?a2 ab? P? c , c ?. ? ?

,解得

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→ → → ∵|OA|,|OB|,|OF|成等比数列,
2 ?a2 ? a 2 ∴xA· c=a ,∴xA= c ,∴A? c ,0?. ? ?

ab? → ?a2 ab? → ? b2 ab? → ? ∴PA=?0,- c ?,OP=? c , c ?,FP=?- c , c ?.
? ? ? ? ? ?

a2b2 → → a2b2 → → ∴PA· OP=- c2 ,PA· FP=- c2 , → → → → ∴PA· OP=PA· FP.

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?a2 ab? 法二:∵P? c , c ?,∴PA⊥x ? ?

轴,

→ → → → → → ∴PA· OP-PA· FP=PA· OF=0, → → → → ∴PA· OP=PA· FP. (2)e> 2

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