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四川省成都石室天府中学2012-2013学年高一4月月考数学试题 Word版含答案


4 月月考高 2012 级 数学试题
命题人:蒋奎
注意事项: 1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。 2、本堂考试 120 分钟,满分 150 分。 3、答题前,请考生务必先将自己的姓名、学号填写密封线内。 4、考试结束后,请考生将答题卷交回。

审题人:刘利亚

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

/>一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,请将答案写在答题卡上) 1. 化简 cos53 ? cos67 ? -sin53 ? sin67 ? 等于 ( )

(A)

1 2

(B) ?

1 2

(C)

3 2

(D) ?

3 2
( )

2.已知集合 A ? x | x 2 ?16 ? 0 , B ? x | ? x 2 ? 4x ? 3 ? 0 ,求 A ? B = (A) (??,1) ? (3,4)

?

?

?

?

, 3) (B) (1

1) ? (3, 4) (C) (?4,

(D) R ( (D) 常数列 ( (D) a | c |? b | c | . ( (D) 45° ( ) ) ) )

3.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , (A) 递增数列

a n ?1 1 ? ,则数列 ?an ? 是 an 2
(C) 摆动数列

(B) 递减数列

4. 若 a、b、c ? R, a ? b ,则下列不等式恒成立的是 (A)

1 1 ? . a b
2

(B)
2

a b ? 2 c ?1 c ?1
2

(C) a 2 ? b 2

5.△ABC 中,若 c= a ? b ? ab ,则角 C 的度数是 (A)60° (B)120° (C)60°或 120°

6.已知数列 ?an ? 为等差数列,且 a1 ? a8 ? a15 ? ? ,则 cos( a4 ? a12 ) 的值为 (A) ?

1 2

(B)

3 2

(C)

1 2

(D) ?

3 2


7. 已知等比数列{ an }中, 各项都是正数, 且 a1 , a3 , 2 a2 成等差数列, 则 (A) 1 ? 2 (B) 1 ? 2 (C) 3 ? 2 2

1 2

a9 ? a10 ?( a7 ? a8

(D)1

8.在△ABC 中,若

a2 a2 ? c2 ? b2 ,则△ABC 是 ? b2 b2 ? c2 ? a2

( D )

(A)等腰三角形 (C)等腰直角三角形

(B)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形

9.在△ABC 中,A=60°,b=1,其面积为 3 ,则 (A)3 3 (B)

2 39 3
*

a?b?c 等于 sin A ? sin B ? sin C 8 3 39 (C) (D) 3 2

( B )

10、已知数列 ?an ? 是递增数列,且对任意 n ? N ,都有 an ? n 2 ? ?n 恒成立,则实数 ? 的 取值范围是 (A) (? ( D )

7 ,?? ) 2

(B) (0,??)

(C) [?2,??)

(D) (?3,??)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
二.填空题(本大题 5 个小题,每题 5 分,共 25 分,请把答案填在题中横线上) 11.在等差数列中已知 a1 ? 12, a6 ? 27 ,则 d=_______________. 12. 已 知 △ ABC 的 三 边 分 别 是 a 、 b 、 c , 且 面 积 S ?

a2 ? b2 ? c2 ,则角 4

C=____________.
13.若关于 x 的一元二次方程 x 2 ? (m ? 1) x ? m ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,求 m 的取值 范围 . . 14. 已知 ?an ? 是等差数列, a7 ? a13 ? 20 ,则 a9 ? a10 ? a11 =

15.把公差 d ? 2 的等差数列 {an } 的各项依次 插入等比数列 {bn } 中,将 {bn } 按 原顺序分成 1 项, 2 项, 4 项, …,2 n ?1 项的各组, 得到数列 {c n } :b1 , a1 , b2 , b3 , a2 , b4 , b5 , b6 , b7 , a3 , …, 数列 {c n } 的前 n 项的和为 S n .若 c1 ? 1 , c2 ? 2 , S 3 ?

13 .则数列 {cn } 的前 100 项之和 4

S100 =

1 1 [130 ? ( )186 ] 3 2

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 16. (本小题满分 12 分)在锐角△ABC 中,已知角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、

c 且边 a、b 是方程 x2-2 3 x+2=0 的两根,角 A、B 满足 2sin(A+B)- 3 =0,求 角 C 的度数,边 c 的长度及△ABC 的面积.

17. (本小题满分 12 分)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (1)求边 c 的长; (2)若 △ ABC 的面积为 sin C ,求角 C 的度数.

1 6

18.(本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12 ; (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? an ? 3n ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 sn .

19.(本小题满分 13 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (1)设 bn ? an ?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (2)求数列 {an } 的通项公式。

20.(本小题满分 12 分) 如图所示,港口 A 北偏东 30 ? 方向的点 C 处有一观测站,港口正东方向的 B 处有一轮 船, 测得 BC 为 31海里. 该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处, 测得 CD 为 21 海里. 问此时轮船离港口 A 还有多少海里?
北 30° 东 A D 20题图 B C

21. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的通项公式为 an ? pn ? q(n ? N ? , P ? 0) . 数列 {bn } 定义如下:对于正整数 m , bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值.

(1)若 p ?

1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 2 3

(2)若 p ? 2, q ? ?1 ,求数列 {bm } 的前 2 m 项和公式;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (3)是否存在 p 和 q ,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围; 如果不存在,请说明理由.

石室天府中学 2012—2013 学年度下学期高 2012 级

数学试题答题卡 一、选择题(共 10 题,满分 50 分) 题号 选项 二、填空题(共 5 题,满分 25 分)
11、_______________ 13、_______________ 15、_______________ 12、_______________ 14、_______________

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

三、解答题(本大题共 6 道题,答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤,共 75 分)
16.(本小题满分 12 分)

17.(本小题满分 12 分)

18.(本小题满分 12 分)

19.(本小题满分 13 分)

20.(本小题满分 12 分)

21.(本小题满分 14 分)

石室天府中学 2012—2013 学年度下学期高 2012 级

数学试题答案
1-5 BCBBB 6-10 ACDBD

11. 3

12.

? 4

, 3) 13. (?1

14. 30

15. [130 ? ( )

1 3

1 2

186

]

16.解:由 2sin(A+B)- 3 =0,得 sin(A+B)=

3 , ∵△ABC 为锐角三角形 2
2

∴A+B=120°, C=60°, 又∵a、b 是方程 x -2 3 x+2=0 的两根,∴a+b=2 3 , 2 2 2 2 a·b=2, ∴c =a +b -2a·bcosC=(a+b) -3ab=12-6=6, ∴c= 6 , 1 1 3 3 S△ABC= absinC= ×2× = 2 2 2 2 .

17.解: (1)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 ,

BC ? AC ? 2 AB ,两式相减,得 AB ? 1.
(2)由 △ ABC 的面积 由余弦定理,得 cos C ? 所以 C ? 60 18.解: (1) an ? 2n ; (2) sn ? (n ? ) ? 3 ?
n

1 1 1 BC AC sin C ? sin C ,得 BC AC ? , 3 2 6

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ( AC ? BC )2 ? 2 AC BC ? AB 2 1 ? ? , 2 AC BC 2 AC BC 2

1 2

3 2

19.解: (1)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 , 有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,?an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又

bn ? an?1 ? 2an ,?bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列.
an ?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

(2)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?

an 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 2 4 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ) ? n ? , an ? (3n ?1) ? 2n?2 2 2 4 4 4

? 数列 {

20.解:由已知 A ? 60? ,在 ?BCD 中,由余弦定理得

cos ?BDC ?

BD 2 ? CD 2 ? BC 2 1 ?? , 2 ? BD ? CD 7
2

C

故 sin ?BDC ? 1 ? cos ?BDC ?

4 3 , 7
A D B

从而 sin ?ACD ? sin(?BDC ? 60?) ? sin ?BDC cos 60? ? cos ?BDC sin 60? ? 在 ?ACD 中,由正弦定理得 于是 AD ?

5 3 . 14

AD CD ? , sin ?ACD sin 60?

CD ? sin ?ACD ? 15 (海里),即此时轮船距离港口 A 还有 15 海里. sin 60? 20 1 1 1 1 21.解: (1)由题意,得 an ? n ? ,解 n ? ? 3 ,得 n ? . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 3 2 3 2 3


1 1 n ? ? 3 成立的所有 n 中的最小整数为 7,即 b3 ? 7 . 2 3 m ?1 . 2

(2)由题意,得 an ? 2n ? 1,对于正整数,由 an ? m ,得 n ?
* 根据 bm 的定义可知 :当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k k ? N ; * 当 m ? 2 k 时, bm ? k ? 1 k ? N .

?

?

?

?

∴ b1 ? b2 ?

? b2m ? ?b1 ? b3 ?

? b2m?1 ? ? ?b2 ? b4 ?
? ? m ? 1? ? ?

? b2m ?

? ?1 ? 2 ? 3 ?

? m? ? ? ?2 ? 3 ? 4 ?

?

m ? m ? 1? m ? m ? 3? ? ? m2 ? 2m . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 2
m?q . p

(3)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ?

∵ bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ,根据 bm 的定义可知,对于任意的正整数 m 都有

3m ? 1 ?

m?q ? 3m ? 2 , 即 ?2 p? q? ? 3 p? 1 m ?q ??? p p

对任意的正整数 m 都成立.

当 3 p ? 1 ? 0 (或 3 p ? 1 ? 0 )时,得 m ? ? 这与上述结论矛盾!w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 3 p ? 1 ? 0 ,即 p ?

p?q 2p ? q (或 m ? ? ) , 3 p ?1 3 p ?1

1 2 1 2 1 时,得 ? ? q ? 0 ? ? ? q ,解得 ? ? q ? ? . 3 3 3 3 3

∴ 存在 p 和 q ,使得 bm ? 3m ? 2(m ? N ? ) ;

p 和 q 的取值范围分别是 p ? , ? ? q ? ? . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1 3

2 3

1 3


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