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高一数学必修二第四节空间图形的公理(公理1、2、3)


§4 空间图形的基本关系与公理
4.1 空间图形基本关系的认识 4.2 空间图形的公理(公理1、2、3)

学习目标
1. 通过长方形这一常见的空间图形,了解空间图形的基
本构成----点、线、面的基本位置关系; 2. 理解异面直线的概念,掌握空间图形的三个基本公理;

3. 培养和发展自己的空间想象能力、运

用图形语言进行
交流的能力、几何直观能力,通过典型例子的学习和自

主探索活动,理解数学概念和结论,体会蕴涵在其中的
数学思想方法.

新课导入

空间图形是丰富的,它由一些基本的图形:点、线、 面组成.认识清楚它们的位置关系,对于我们认识空间图 形是很重要的.

观察长方体,你能发现长方体的顶点,棱所在的直 线,以及侧面、底面之间的位置关系吗? 长方体由上下、前后、左右六个面
D?
A?

C?
B?

围成.
有些面是平行的,有些面是相交的;

有些棱所在直线与面平行,有些棱所在
D

直线与面相交,每条棱所在的直线都可
C

以看成是某个平面内的直线,等等.

A

B

课堂探究1
空间图形基本关系的认识
1 .观察上述长方体,并填空 . ① 长方形共有 8 个顶点,有 12 条棱,有 6 个面; ②观察多面体,归纳一下,空间图形通常由 点 、 线 、 面 组成

2 观察并归纳点、线、面之间的位置关系有哪些. a A A a b A
?

?
c ①

?
b

?
B

?

B




(1)空间点与直线的位置关系有两种.
点在直线上和点在直线外. 如①图,B∈b,B

?

a

(2)空间点与平面的位置关系有两种: 点在平面上和点在平面外 . 如①图, (3)空间两条直线的位置关系有三种: I 如①图中直线a和b在同一个平面内,但没有公共

点,这样的两条直线叫作平行直线,记作:a∥b;
II 如①图中直线b和c只有一个公共点B,这样的两

条直线叫作相交直线,记作:b∩c=B;

III

如①图中直线a和b不同在任何一个平面内,这样的两

条直线叫作异面直线,为了表示异面直线不共面的特点, 作图时通常用一个或两个平面衬托,如下图. a b
?
?

b a

?

(4)空间直线与平面的位置关系有三种: I 如图①中,直线b和平面α有无数个公共点,我们称

这条直线在这个平面内,记作:b

α;

II 如图②中,直线b和平面α只有一个公共点A, 我们称这条直线与这个平面相交,记作:b∩α=A; III 如图③中,直线a和平面α没有公共点,我们称 这条直线和这个平面平行,记作:a∥α;

(5)空间平面与平面的位置关系有两种: I 如图②中,平面α和平面β没有公共点,这样

的两个平面叫作平行平面,记作:α∥β; II 如图③中,平面α和平面β不重合,但有公共点,

这样的两个平面叫作相交平面.

思考交流
1. 观察图①②③所示的长方体,再举出一些点、线、面

的位置关系的例子.

2.

观察你周围的一些实物,指出一些点、线、面的位置

关系.

课堂探究2
空间图形的公理 思考1:如果直线 l 与平面α有一个公共点P,直线 l 是 否在平面α内?

思考2:如果直线l与平面α 有两个公共点,直线l是否在

平面α 内?
实际生活中,我们有这样的经验:把一根直尺边缘 上的任意两点放到桌面上,可以看到,直尺的整个边缘 就落在了桌面上.

公理1

如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这

条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内).

?

A

l B

A ? l ,B ? l ,A ??,B ?? ? l
作用:

?

在生产、生活中, 人们经过长期观察与实 践,总结出关于平面的 一些基本性质,我们把 它作为公理.这些公理 是进一步推理的基础.

判定直线是否在平面内.

思考3:我们知道,两点确定一条直线.那么怎样确定一个

平面呢? 生活中经常看到用三角架支撑照相机.

测量员用三角架支撑测量仪器平板仪.

公理2

经过不在同一条直线上的三点,有且只有一

个平面(即可以确定一个平面).
B

?

A

C

经过不在同一条直线上的三个点A、B、C的平面α,

又可记作“平面ABC”.
作用:确定平面的主要依据.

A, B, C不共线? A, B, C确定一平面

思考4: 1.经过一条直线和这条直线外一点,可以确定一个平面吗?

2.经过两条相交直线,可以确定一个平面吗?
3.经过两条平行直线,可以确定一个平面吗? 三条推论: 1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 . 2.经过两条相交直线,有且只有一个平面. 3.经过两条平行直线,有且只有一个平面.

思考5:把三角板的一个角立在课桌面上,三角板所在平面
与桌面所在平面是否只相交于一点B?为什么?

?

B

?

B

思考6:观察长方体,你发现长方体的两个相交平面有公
共直线吗? 这条公共直线B′C′叫作这两个平面
D?
A?

C ? A′B′C′D′和平面BB′C′C的交线.
B?

另一方面,相邻两个平面有一个公共

点,如平面A′B′C′D′和平面BB′C′C有一个公
D
A B

C 共点B′,经过点B有且只有一条过该点的

公共直线B′C′.

公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点,那么

它们有且只有一条通过这个点的公共直线.

P ?? ? ? ? ? ? ? ? l , 且P ? l
?

?

P

l

作用: ①判断两个平面相交的依据. ②判断点在直线上.

1、如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间 的位置关系.

?

a

?
a l

?
A l

B

P

b
(2)

?

(1)

2、在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中,判断下列命题是否正确. ①直线 AC1 在平面 CC1B1B 内;
C

B A

D

错误
B1

C1 D1 A1

②设正方形ABCD与 A1B1C1D1 的中心分别为O,O1 ,则平面
AA1C1C 与平面 BB1D1D 的交线为 OO1 ;

C

D

O

B A

正确

C1 D1 O1 A1

B1

③由点A,O,C可以确定一个平面;
C

B
O

D

A

错误

C1 D1 A1

B1

④由 A,C1 ,B1 确定的平面是 ADC1B1 ; 正确 ⑤由 A,C1 ,B1 确定的平面与由 A,C1 ,D 确定的平面是同一个 平面. 正确
C

B A

D

C1 D1 A1

B1

实例引入空间图 形的基本关系

点、直线、平面 的位置关系

平面三 个公理

空间图形

文字叙述

符号表示

不能自助的人也难以受到别人的帮助。


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